Proceso de Feller

En la teoría de la probabilidad relacionada con los procesos estocásticos , un proceso de Feller es un tipo particular de proceso de Markov .

Dejar${\textstyle X}$Sea un espacio de Hausdorff localmente compacto con base numerable .${\textstyle C_{0}(X)}$denotemos el espacio de todas las funciones continuas de valor real en${\textstyle X}$que se desvanecen en el infinito , equipados con la norma superior${\textstyle \|f\|}$. Del análisis sabemos que${\textstyle C_{0}(X)}$con la norma sup es un espacio de Banach .

Un semigrupo de Feller en${\textstyle C_{0}(X)}$es una contracción C ₀ -semigrupo de operadores positivos en${\textstyle C_{0}(X)}$. Concretamente, es una colección${\textstyle (T_{t})_{t\geq 0}}$de mapas lineales de${\textstyle C_{0}(X)}$a sí mismo con las siguientes propiedades ^{[ 1 ]} :

• ${\textstyle T_{t}f\geq 0}$a pesar de${\textstyle t\geq 0}$y${\textstyle f\in C_{0}(X)}$dónde${\textstyle f\geq 0}$, es decir, cada${\textstyle T_{t}}$es un operador positivo ;
• ${\textstyle \|T_{t}f\|\leq \|f\|}$a pesar de${\textstyle t\geq 0}$y${\textstyle f\in C_{0}(X)}$, es decir, es una contracción (en sentido débil);
• ${\textstyle T_{0}=\operatorname {Id} }$y${\textstyle T_{t+s}=T_{t}\circ T_{s}}$a pesar de${\textstyle s,t\geq 0}$, es decir, es un semigrupo ;
• ${\textstyle \lim _{t\to 0}\|T_{t}ff\|=0}$por cada${\textstyle f\in C_{0}(X)}$. Usando la propiedad de semigrupo, esto es equivalente al mapa${\textstyle T_{t}f}$de${\textstyle t\in [0,\infty )}$a ${\textstyle C_{0}(X)}$tener razón continuamente para cada${\textstyle f}$.

Advertencia : Esta terminología no es uniforme en toda la literatura. En particular, la suposición de que${\textstyle T_{t}}$mapas${\textstyle C_{0}(X)}$en sí mismo es reemplazado por algunos autores por la condición de que mapee${\textstyle C_{b}(X)}$, el espacio de funciones continuas acotadas, en sí mismo. La razón de esto es doble: primero, permite incluir procesos que entran "desde el infinito" en un tiempo finito. Segundo, es más adecuado para el tratamiento de espacios que no son localmente compactos y para los cuales la noción de "desvanecimiento en el infinito" carece de sentido.

Una función de transición de Feller es una función de transición de probabilidad asociada a un semigrupo de Feller.

Un proceso de Feller es un proceso de Markov con una función de transición de Feller.

Los procesos de Feller (o semigrupos de transición) pueden describirse mediante su generador infinitesimal . Una función${\textstyle f}$en${\textstyle C_{0}(X)}$Se dice que está en el dominio del generador si el límite uniforme

${\displaystyle Af=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {T_{t}ff}{t}},}$

existe. El operador${\textstyle A}$es el generador de${\textstyle (T_{t})_{t\geq 0}}$y el espacio de funciones sobre el que se define se escribe como${\textstyle D(A)}$.

El teorema de Hille-Yosida caracteriza a los operadores que pueden aparecer como generadores infinitesimales de procesos de Feller . Para ello, se utiliza la resolvente del semigrupo de Feller, definida más adelante.

La resolvente de un proceso de Feller (o semigrupo) es una colección de mapas.${\textstyle (R_{\lambda })_{\lambda >0}}$de${\textstyle C_{0}(X)}$a sí mismo definido por

${\displaystyle R_{\lambda }f=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda t}T_{t}f\,dt.}$

Se puede demostrar que satisface la identidad.

${\displaystyle R_{\lambda }R_{\mu }=R_{\mu }R_{\lambda }=(R_{\mu }-R_{\lambda })/(\lambda -\mu ).}$

Además, para cualquier fijo${\textstyle \lambda >0}$, la imagen de${\textstyle R_{\lambda }}$es igual al dominio${\textstyle D(A)}$del generador${\textstyle A}$, y

${\displaystyle {\begin{aligned}&R_{\lambda }=(\lambda -A)^{-1},\\&A=\lambda -R_{\lambda }^{-1}.\end{aligned}}}$

• El movimiento browniano y el proceso de Poisson son ejemplos de procesos de Feller (con semigrupos de Feller dados por${\textstyle T_{t}f:=\mathbb {E} [f(X_{t})]}$En términos más generales, todo proceso de Lévy es un proceso de Feller.
• Los procesos de Bessel son procesos de Feller.
• Las soluciones a ecuaciones diferenciales estocásticas con coeficientes continuos de Lipschitz son procesos de Feller.
• Todo proceso de Feller continuo derecho adaptado en un espacio de probabilidad filtrado${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0})}$satisface la propiedad de Markov fuerte con respecto a la filtración${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t^{+}})_{t\geq 0}}$, es decir, para cada ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t^{+}})_{t\geq 0}}$- detener el tiempo${\displaystyle \tau }$, condicionado al evento${\displaystyle \{\tau <\infty \}}$, tenemos que para cada${\displaystyle t\geq 0}$,${\displaystyle X_{\tau +t}}$es independiente de${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau ^{+}}}$dado${\displaystyle X_{\tau }}$. ^{[ 2 ]}

• proceso de Markov
• cadena de Markov
• Proceso de caza
• Generador infinitesimal (procesos estocásticos)