Fórmula del personaje de Weyl

En matemáticas , la fórmula del carácter de Weyl en la teoría de la representación describe los caracteres de las representaciones irreducibles de grupos de Lie compactos en términos de sus pesos más altos . ^{[ 1 ]} Fue demostrada por Hermann Weyl ( 1925 , 1926a , 1926b ) . Hay una fórmula estrechamente relacionada para el carácter de una representación irreducible de un álgebra de Lie semisimple . ^{[ 2 ]} En el enfoque de Weyl a la teoría de la representación de grupos de Lie compactos conexos , la demostración de la fórmula del carácter es un paso clave para demostrar que cada elemento integral dominante surge realmente como el peso más alto de alguna representación irreducible. ^{[ 3 ]} Consecuencias importantes de la fórmula del carácter son la fórmula de dimensión de Weyl y la fórmula de multiplicidad de Kostant . 

Por definición, el personaje${\displaystyle \chi }$de una representación${\displaystyle \pi }$de G es la traza de${\displaystyle \pi (g)}$, en función de un elemento de grupo${\displaystyle g\in G}$. Las representaciones irreducibles en este caso son todas de dimensión finita (esto forma parte del teorema de Peter-Weyl ); por lo tanto, la noción de traza es la habitual del álgebra lineal . Conocimiento del carácter${\displaystyle \chi }$de${\displaystyle \pi }$da mucha información sobre${\displaystyle \pi }$sí mismo.

La fórmula de Weyl es una fórmula cerrada para el carácter${\displaystyle \chi }$, en términos de otros objetos construidos a partir de G y su álgebra de Lie .

La fórmula de caracteres puede expresarse en términos de representaciones de álgebras de Lie semisimples complejas o en términos de la teoría de representación (esencialmente equivalente) de grupos de Lie compactos .

En el caso especial de la representación trivial unidimensional, el carácter es 1, por lo que la fórmula del carácter de Weyl se convierte en la fórmula del denominador de Weyl : ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}=\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}.}$

Para grupos unitarios especiales , esto es equivalente a la expresión

${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,X_{1}^{\sigma (1)-1}\cdots X_{n}^{\sigma (n)-1}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i})}$

para el determinante de Vandermonde . ^{[ 10 ]}

Al evaluar el carácter en${\displaystyle H=0}$La fórmula del personaje de Weyl da como resultado la fórmula de la dimensión de Weyl.

${\displaystyle \dim V_{\lambda }={\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\rho ,\alpha )}}$

para la dimensión de una representación de dimensión finita${\displaystyle V_{\lambda }}$con mayor peso${\displaystyle \lambda }$. (Como es habitual, ρ es la mitad de la suma de las raíces positivas y los productos se extienden sobre las raíces positivas α .) La especialización no es completamente trivial, porque tanto el numerador como el denominador de la fórmula del carácter de Weyl se anulan en orden alto en el elemento identidad, por lo que es necesario tomar un límite de la traza de un elemento que tiende a la identidad, utilizando una versión de la regla de L'Hôpital . ^{[ 11 ]} En el caso SU(2) descrito anteriormente, por ejemplo, podemos recuperar la dimensión${\displaystyle m+1}$de la representación mediante el uso de la regla de L'Hôpital para evaluar el límite como${\displaystyle \theta }$tiende a cero de${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$.

Podemos considerar como ejemplo el álgebra de Lie semisimple compleja sl(3, C ), o equivalentemente el grupo compacto SU(3). En ese caso, las representaciones se etiquetan mediante un par${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$de enteros no negativos . En este caso, hay tres raíces positivas y no es difícil verificar que la fórmula de dimensión toma la forma explícita ^{[ 12 ].}

${\displaystyle \dim V_{m_{1},m_{2}}={\frac {1}{2}}(m_{1}+1)(m_{2}+1)(m_{1}+m_{2}+2)}$

El caso${\displaystyle m_{1}=1,\,m_{2}=0}$es la representación estándar, y de hecho la fórmula de dimensión da el valor 3 en este caso.

La fórmula del carácter de Weyl da el carácter de cada representación como un cociente, donde el numerador y el denominador son cada uno una combinación lineal finita de exponenciales. Si bien esta fórmula en principio determina el carácter, no es especialmente obvio cómo se puede calcular este cociente explícitamente como una suma finita de exponenciales. Ya en el caso SU(2) descrito anteriormente, no es inmediatamente obvio cómo pasar de la fórmula del carácter de Weyl, que da el carácter como${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$, volvamos a la fórmula para el carácter como una suma de exponenciales:

${\displaystyle e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.}$

En este caso, tal vez no sea terriblemente difícil reconocer la expresión${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$como la suma de una serie geométrica finita, pero en general necesitamos un procedimiento más sistemático.

En general, el proceso de división se puede realizar calculando el recíproco formal del denominador de Weyl y luego multiplicando el numerador de la fórmula del carácter de Weyl por este recíproco formal. ^{[ 13 ]} El resultado da el carácter como una suma finita de exponenciales. Los coeficientes de esta expansión son las dimensiones de los espacios de pesos, es decir, las multiplicidades de los pesos. Así, obtenemos de la fórmula del carácter de Weyl una fórmula para las multiplicidades de los pesos, conocida como la fórmula de multiplicidad de Kostant . En la siguiente sección se presenta una fórmula alternativa, que en algunos casos es más manejable computacionalmente.

La fórmula de Hans Freudenthal es una fórmula recursiva para las multiplicidades de peso que da la misma respuesta que la fórmula de multiplicidad de Kostant, pero a veces es más fácil de usar para los cálculos ya que puede haber muchos menos términos que sumar. La fórmula se basa en el uso del elemento de Casimir y su derivación es independiente de la fórmula de caracteres. Afirma ^{[ 14 ]}

${\displaystyle (\|\Lambda +\rho \|^{2}-\|\lambda +\rho \|^{2})m_{\Lambda }(\lambda )=2\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}}\sum _{j\geq 1}(\lambda +j\alpha ,\alpha )m_{\Lambda }(\lambda +j\alpha )}$

dónde

• ${\displaystyle \Lambda }$es el peso más alto,
• ${\displaystyle \lambda }$es algún otro peso,
• ${\displaystyle m_{\Lambda }(\lambda )}$es la multiplicidad del peso${\displaystyle \lambda }$en la representación irreducible${\displaystyle V_{\Lambda }}$
• ${\displaystyle \rho }$es el vector de Weyl
• La primera suma se realiza sobre todas las raíces positivas.${\displaystyle \alpha }$.

La fórmula del carácter de Weyl también es válida para representaciones integrables de peso máximo de álgebras de Kac-Moody , cuando se la conoce como la fórmula del carácter de Weyl-Kac . De manera similar, existe una identidad del denominador para las álgebras de Kac-Moody, que en el caso de las álgebras de Lie afines es equivalente a las identidades de Macdonald . En el caso más simple del álgebra de Lie afín de tipo A _1, esta es la identidad del triple producto de Jacobi.

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1-x^{2m-1}y\right)\left(1-x^{2m-1}y^{-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}y^{n}.}$

La fórmula del carácter también puede extenderse a representaciones integrables de peso máximo de álgebras generalizadas de Kac-Moody , cuando el carácter está dado por

${\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}w(e^{\lambda +\rho }S) \over e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.}$

Aquí S es un término de corrección dado en términos de las raíces simples imaginarias por

${\displaystyle S=\sum _{I}(-1)^{|I|}e^{\Sigma I}\,}$

donde la suma se extiende sobre todos los subconjuntos finitos I de las raíces simples imaginarias que son ortogonales entre sí y ortogonales al peso más alto λ, y | I | es la cardinalidad de I y Σ I es la suma de los elementos de I.

La fórmula del denominador para el álgebra de Lie monstruosa es la fórmula del producto.

${\displaystyle j(p)-j(q)=\left({1 \over p}-{1 \over q}\right)\prod _{n,m=1}^{\infty }(1-p^{n}q^{m})^{c_{nm}}}$

para la función modular elíptica j .

Peterson dio una fórmula de recursión para las multiplicidades mult(β) de las raíces β de un álgebra de Kac-Moody simetrizable (generalizada), que es equivalente a la fórmula del denominador de Weyl-Kac, pero más fácil de usar para los cálculos:

${\displaystyle (\beta ,\beta -2\rho )c_{\beta }=\sum _{\gamma +\delta =\beta }(\gamma ,\delta )c_{\gamma }c_{\delta }\,}$

donde la suma se realiza sobre las raíces positivas γ, δ y

${\displaystyle c_{\beta }=\sum _{n\geq 1}{\operatorname {mult} (\beta /n) \over n}.}$

Harish-Chandra demostró que la fórmula de caracteres de Weyl admite una generalización a representaciones de un grupo real y reductivo . Supongamos que${\displaystyle \pi }$es una representación irreducible y admisible de un grupo real y reductivo G con carácter infinitesimal${\displaystyle \lambda }$. Dejar${\displaystyle \Theta _{\pi }}$ser el personaje Harish-Chandra de${\displaystyle \pi }$; se obtiene mediante integración con respecto a una función analítica en el conjunto regular. Si H es un subgrupo de Cartan de G y H′ es el conjunto de elementos regulares en H , entonces

${\displaystyle \Theta _{\pi }|_{H'}={\sum _{w\in W/W_{\lambda }}a_{w}e^{w\lambda } \over e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.}$

Aquí

• ${\displaystyle W}$es el complejo grupo de Weyl de${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$con respecto a${\displaystyle G_{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle W_{\lambda }}$es el estabilizador de${\displaystyle \lambda }$en${\displaystyle W}$

y el resto de la notación es como se indicó anteriormente.

Los coeficientes${\displaystyle a_{w}}$Aún no se comprenden del todo. Los resultados sobre estos coeficientes pueden encontrarse en los trabajos de Herb , Adams, Schmid y Schmid-Vilonen, entre otros.

• Teoría de los personajes
• Carácter algebraico
• Fórmula del personaje Demazure
• Fórmula de integración de Weyl
• Fórmula del carácter de Kirillov

• Fulton, William y Harris, Joe (1991). Teoría de la representación: un primer curso. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0387974954OCLC 22861245. ^{[ 1 ]}
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: Una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  222 (2.ª  ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, James E. (1972), Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7.
• Álgebras de Lie de dimensión infinita , VG Kac, ISBN 0-521-37215-1
• Duncan J. Melville (2001) [1994], "Fórmula de caracteres de Weyl-Kac" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Weyl, Hermann (1925), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. I", Mathematische Zeitschrift , 23 , Springer Berlin / Heidelberg: 271– 309, doi : 10.1007/BF01506234 , ISSN 0025-5874 , S2CID 123145812  
• Weyl, Hermann (1926a), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. II", Mathematische Zeitschrift , 24 , Springer Berlin / Heidelberg: 328– 376, doi : 10.1007/BF01216788 , ISSN 0025-5874 , S2CID 186229448  
• Weyl, Hermann (1926b), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. III", Mathematische Zeitschrift , 24 , Springer Berlin / Heidelberg: 377– 395, doi : 10.1007/BF01216789 , ISSN 0025-5874 , S2CID 186232780