Serie Dyson

En la teoría de la dispersión , una rama de la física matemática , la serie de Dyson , formulada por Freeman Dyson , es un desarrollo perturbativo del operador de evolución temporal en la representación de interacción . Cada término del desarrollo puede representarse mediante una suma de diagramas de Feynman .

Esta serie diverge asintóticamente , pero en electrodinámica cuántica (QED) de segundo orden la diferencia con los datos experimentales es del orden de 10⁻¹⁰ ^. Esta estrecha concordancia se debe a que la constante de acoplamiento (también conocida como constante ^de estructura fina ) de QED es mucho menor que  1.

En la imagen de interacción , un hamiltoniano H se puede dividir en una parte libre H ₀ y una parte interactuante V _S ( t ) como H = H ₀ + V _S ( t ) .

El potencial en la imagen interactiva es

${\displaystyle V_{\mathrm {I} }(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0}(t-t_{0})/\hbar }V_{\mathrm {S} }(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0}(t-t_{0})/\hbar },}$

dónde${\displaystyle H_{0}}$es independiente del tiempo y${\displaystyle V_{\mathrm {S} }(t)}$es la parte interactiva posiblemente dependiente del tiempo de la imagen de Schrödinger . Para evitar subíndices,${\displaystyle V(t)}$representa${\displaystyle V_{\mathrm {I} }(t)}$en lo que sigue.

En la representación de interacción, el operador de evolución U se define mediante la ecuación:

${\displaystyle \Psi (t)=U(t,t_{0})\Psi (t_{0})}$

A esto a veces se le llama operador Dyson .

El operador de evolución forma un grupo unitario con respecto al parámetro de tiempo. Posee las siguientes propiedades de grupo:

• Identidad y normalización:${\displaystyle U(t,t)=1,}$^{[ 1 ]}
• Composición:${\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}),}$^{[ 2 ]}
• Inversión del tiempo:${\displaystyle U^{-1}(t,t_{0})=U(t_{0},t),}$
• Unitaridad:${\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=\mathbb {1} }$^{[ 3 ]}

y a partir de estos es posible derivar la ecuación de evolución temporal del propagador: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}U(t,t_{0})\Psi (t_{0})=V(t)U(t,t_{0})\Psi (t_{0}).}$

En la representación de interacción , el hamiltoniano es el mismo que el potencial de interacción.${\displaystyle H_{\rm {int}}=V(t)}$y por lo tanto la ecuación también se puede escribir en la imagen de interacción como

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\Psi (t)=H_{\rm {int}}\Psi (t)}$

Precaución : esta ecuación de evolución temporal no debe confundirse con la ecuación de Tomonaga-Schwinger .

La solución formal es

${\displaystyle U(t,t_{0})=1-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\ V(t_{1})U(t_{1},t_{0})},}$

que en última instancia es un tipo de integral de Volterra .

Una solución iterativa de la ecuación de Volterra anterior conduce a la siguiente serie de Neumann :

${\displaystyle {\begin{aligned}U(t,t_{0})={}&1-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}V(t_{1})+(-i\hbar ^{-1})^{2}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt_{2}V(t_{1})V(t_{2})+\cdots \\&{}+(-i\hbar ^{-1})^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})+\cdots .\end{aligned}}}$

Aquí,${\displaystyle t_{1}>t_{2}>\cdots >t_{n}}$y, por lo tanto, los campos están ordenados cronológicamente . Es útil introducir un operador.${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, llamado operador de ordenación temporal , y para definir

${\displaystyle U_{n}(t,t_{0})=(-i\hbar ^{-1})^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n}).}$

Los límites de la integración se pueden simplificar. En general, dada alguna función simétrica${\displaystyle K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}),}$uno puede definir las integrales

${\displaystyle S_{n}=\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}).}$

y

${\displaystyle I_{n}=\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}).}$

La región de integración de la segunda integral se puede romper en${\displaystyle n!}$subregiones, definidas por${\displaystyle t_{1}>t_{2}>\cdots >t_{n}}$. Debido a la simetría de${\displaystyle K}$, la integral en cada una de estas subregiones es la misma e igual a${\displaystyle S_{n}}$Por definición. De ello se deduce que

${\displaystyle S_{n}={\frac {1}{n!}}I_{n}.}$

Aplicado a la identidad anterior, esto da como resultado

${\displaystyle U_{n}={\frac {(-i\hbar ^{-1})^{n}}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n}).}$

Sumando todos los términos, se obtiene la serie de Dyson. Es una versión simplificada de la serie de Neumann anterior que incluye los productos ordenados en el tiempo; es la exponencial ordenada por trayectoria : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}U(t,t_{0})&=\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(t,t_{0})\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\hbar ^{-1})^{n}}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})\\&={\mathcal {T}}\exp {-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}{d\tau V(\tau )}}\end{aligned}}}$

Este resultado también se denomina fórmula de Dyson. ^{[ 6 ]} Las leyes de grupo se pueden derivar de esta fórmula.

El vector de estado en el tiempo${\displaystyle t}$puede expresarse en términos del vector de estado en el tiempo${\displaystyle t_{0}}$, para${\displaystyle t>t_{0},}$como

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\underbrace {\int dt_{1}\cdots dt_{n}} _{t\,\geq \,t_{1}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{n}\,\geq \,t_{0}}\,{\mathcal {T}}\left\{\prod _{k=1}^{n}e^{iH_{0}(t_{k}-t_{0})/\hbar }V_{\rm {S}}(t_{k})e^{-iH_{0}(t_{k}-t_{0})/\hbar }\right\}|\Psi (t_{0})\rangle .}$

El producto interno de un estado inicial en${\displaystyle t_{i}=t_{0}}$con un estado final en${\displaystyle t_{f}=t}$en la imagen de Schrödinger , para${\displaystyle t_{f}>t_{i}}$es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \Psi (t_{\rm {i}})&\mid \Psi (t_{\rm {f}})\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\times \\&\underbrace {\int dt_{1}\cdots dt_{n}} _{t_{\rm {f}}\,\geq \,t_{1}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{n}\,\geq \,t_{\rm {i}}}\,\langle \Psi (t_{i})\mid e^{iH_{0}(t_{1}-t_{i})/\hbar }V_{\rm {S}}(t_{1})e^{-iH_{0}(t_{1}-t_{2})/\hbar }\cdots V_{\rm {S}}(t_{n})e^{-iH_{0}(t_{n}-t_{\rm {i}})/\hbar }\mid \Psi (t_{i})\rangle \end{aligned}}}$

La matriz S se puede obtener escribiendo esto en la imagen de Heisenberg , tomando los estados de entrada y salida en el infinito: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \langle \Psi _{\rm {out}}\mid S\mid \Psi _{\rm {in}}\rangle =\langle \Psi _{\rm {out}}\mid \sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\underbrace {\int d^{4}x_{1}\cdots d^{4}x_{n}} _{t_{\rm {out}}\,\geq \,t_{n}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{1}\,\geq \,t_{\rm {in}}}\,{\mathcal {T}}\left\{H_{\rm {int}}(x_{1})H_{\rm {int}}(x_{2})\cdots H_{\rm {int}}(x_{n})\right\}\mid \Psi _{\rm {in}}\rangle .}$

Nótese que el orden temporal se invirtió en el producto escalar.

• ecuación de Schwinger-Dyson
• Serie Magnus
• Serie Peano-Baker
• Iteración de Picard

• Charles J. Joachain , Teoría de colisiones cuánticas , North-Holland Publishing, 1975, ISBN 0-444-86773-2(Elsevier)