Hispanopedia WikiEn matemáticas , un número parásito n ( en base 10 ) es un número natural positivo que, al multiplicarse por n , provoca que el último dígito de su representación decimal se desplace hacia adelante. Aquí , n es un número natural positivo de un solo dígito. En otras palabras, la representación decimal sufre un desplazamiento circular a la derecha de una posición. Por ejemplo:
- 4 × 128205 = 512820, por lo que 128205 es 4-parásito.
La mayoría de los matemáticos no permiten el uso de ceros iniciales , y esa es una convención que se sigue comúnmente.
Así que, aunque 4 × 25641 = 102564, el número 25641 no es 4-parásito.
Derivación
Un número n -parásito se puede derivar comenzando con un dígito k (que debe ser igual o mayor que n ) en la posición más a la derecha (unidades) y avanzando un dígito a la vez. Por ejemplo, para n = 4 y k = 7
- 4 × 7 = 2 8
- 4 × 8 7 = 3 48
- 4 × 48 7 = 1 948
- 4 × 948 7 = 3 7948
- 4 × 7948 7 = 3 17948
- 4 × 17948 7 = 717948 .
Entonces 179487 es un número 4-parásito con dígito de unidades 7. Otros son 179487179487, 179487179487179487, etc.
Observe que el decimal periódico
De este modo
En general, un número n -parásito se puede encontrar de la siguiente manera. Elija un entero de un dígito k tal que k ≥ n , y tome el período del decimal periódico k /(10 n −1). Esto será donde m es la longitud del período; es decir, el orden multiplicativo de 10 módulo (10 n − 1) .
Por otro ejemplo, si n = 2, entonces 10 n − 1 = 19 y el decimal periódico para 1/19 es
Entonces, para 2/19 es el doble:
La longitud m de este período es 18, la misma que el orden de 10 módulo 19, por lo que 2 × (10 18 − 1)/19 = 105263157894736842.
105263157894736842 × 2 = 210526315789473684, que es el resultado de mover el último dígito de 105263157894736842 al frente.
Información adicional
El algoritmo de derivación paso a paso que se muestra arriba es una excelente técnica básica, pero no encontrará todos los números n-parásitos. Se quedará atascado en un bucle infinito cuando el número derivado sea igual a la fuente de derivación. Un ejemplo de esto ocurre cuando n = 5 y k = 5. El número n-parásito de 42 dígitos que se derivará es 102040816326530612244897959183673469387755. Consulte los pasos en la Tabla Uno a continuación. El algoritmo comienza a construirse de derecha a izquierda hasta que llega al paso 15, momento en el que se produce el bucle infinito. Las líneas 16 y 17 se muestran para demostrar que nada cambia. Hay una solución para este problema, y cuando se aplica, el algoritmo no solo encontrará todos los números n -parásitos en base diez, sino también en base 8 y base 16. Vea la línea 15 en la Tabla Dos. La solución, cuando se identifica esta condición y no se ha encontrado el número parásito n , consiste simplemente en no desplazar el producto de la multiplicación, sino usarlo tal cual y añadir n (en este caso 5) al final. Tras 42 pasos, se encontrará el número parásito correcto.
Mesa Uno
Tabla dos
Hay una condición más que se debe tener en cuenta al trabajar con este algoritmo: no se deben perder los ceros iniciales. Cuando se crea el número de desplazamiento, este puede contener un cero inicial que es importante posicionalmente y debe conservarse en el siguiente paso. Las calculadoras y los métodos matemáticos computacionales eliminan los ceros iniciales. Consulte la Tabla Tres a continuación, que muestra los pasos de derivación para n = 4 y k = 4. El número de desplazamiento creado en el paso 4, 02564, tiene un cero inicial que se introduce en el paso 5, creando un producto de ceros iniciales. El desplazamiento resultante se introduce en el paso 6, que muestra un producto que prueba que el número 4-parásito que termina en 4 es 102564.
Tabla tres
Números n -parásitos más pequeños
Los números parásitos n más pequeños también se conocen como números de Dyson , en referencia a un acertijo sobre estos números planteado por Freeman Dyson . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] Son: (no se permiten ceros iniciales) (secuencia A092697 en la OEIS )
Nota general
En general, si relajamos las reglas para permitir un cero inicial, entonces hay 9 números parásitos n para cada n . De lo contrario, solo si k ≥ n los números no comienzan con cero y, por lo tanto, se ajustan a la definición real.
Otros enteros n -parásitos se pueden construir mediante concatenación. Por ejemplo, dado que 179487 es un número 4-parásito, también lo son 179487179487, 179487179487179487, etc.
Otras bases
En el sistema duodecimal , los números parásitos n más pequeños son: (usando dos y tres invertidos para diez y once, respectivamente) (no se permiten ceros iniciales)
Definición estricta
En definición estricta, el menor número m que comienza con 1 tal que el cociente m / n se obtiene simplemente desplazando el dígito 1 más a la izquierda de m al extremo derecho son:
- 1, 105263157894736842, 1034482758620689655172413793, 102564, 102040816326530612244897959183673469387755, 1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966, 1014492753623188405797, 1012658227848, 10112359550561797752808988764044943820224719, 10, 100917431192660550458715596330275229357798165137614678899082568807339449541284403669724770642201834862385321, 100840336134453781512605042016806722689075630252, ... (secuencia A128857 en el OEIS )
Son el período de n /(10 n − 1), también el período del entero decimal - n /(10 n − 1).
El número de dígitos de ellos es
Véase también
Notas
- ↑ Dawidoff, Nicholas (25 de marzo de 2009), "El hereje civil" , New York Times Magazine.
- ↑ Tierney, John (6 de abril de 2009), "El rompecabezas matemático de cuarto grado de Freeman Dyson" , New York Times.
- ↑ Tierney, John (13 de abril de 2009), "Premio para el rompecabezas de Dyson" , New York Times.
Referencias
- CA Pickover , Maravillas de los números , Capítulo 28, Oxford University Press, Reino Unido, 2000.
- Secuencia OEIS : A092697 en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros .
- Bernstein, Leon (1968), "Gemelos multiplicativos y raíces primitivas", Mathematische Zeitschrift , 105 : 49– 58, doi : 10.1007/BF01135448 , MR 0225709 , S2CID 121138247
- Secuencias de enteros dependientes de la base