Geodésicas en un elipsoide

Figura 2. Elemento diferencial de una elipse meridiana.

Figura 3. Elemento diferencial de una geodésica sobre un elipsoide.

Aquí se desarrollan las ecuaciones para una geodésica; la derivación sigue de cerca la de Bessel (1825) . Jordan y Eggert (1941) , Bagratuni (1962 , §15) , Gan'shin (1967 , cap. 5) , Krakiwsky y Thomson (1974 , §4) , Rapp (1993 , §1.2) , Jekeli (2012) y Borre y Strang (2012) también proporcionan derivaciones de estas ecuaciones.

Consideremos un elipsoide de revolución con radio ecuatorial a y semieje polar b . Definamos el achatamiento f , la excentricidad e y la segunda excentricidad e ′ :

$${\displaystyle f={\frac {ab}{a}},\quad e={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}={\sqrt {f(2-f)}},\quad e'={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}={\frac {e}{1-f}}.}$$

^{(En la mayoría de las} aplicaciones en geodesia, se considera que el elipsoide es oblato, a > b ; sin embargo, la teoría se aplica sin cambios a elipsoides alargados, a < b , en cuyo caso f , e₂ y e′₂ son negativos).

Sea ds un segmento elemental de una trayectoria en el elipsoide . De las figuras 2 y 3, vemos que si su azimut es α , entonces ds está relacionado con dφ y dλ mediante $${\displaystyle \cos \alpha \,ds=\rho \,d\varphi =-{\frac {dR}{\sin \varphi }},\quad \sin \alpha \,ds=R\,d\lambda ,}$$(1) donde ρ es el radio de curvatura meridional , R = ν cos φ es el radio del círculo de latitud φ , y ν es el radio de curvatura normal . Por lo tanto, el segmento elemental viene dado por $${\displaystyle ds^{2}=\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}+R^{2}\,d\lambda ^{2}}$$ o $${\displaystyle {\begin{aligned}ds&={\sqrt {\rho ^{2}\varphi '^{2}+R^{2}}}\,d\lambda \\[3mu]&\equiv L(\varphi ,\varphi ')\,d\lambda ,\end{aligned}}}$$ donde φ ′ = dφ / dλ y la función lagrangiana L depende de φ a través de ρ ( φ ) y R ( φ ) . La longitud de un camino arbitrario entre ( φ ₁ , λ ₁ ) y ( φ ₂ , λ ₂ ) viene dada por $${\displaystyle s_{12}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}L(\varphi ,\varphi ')\,d\lambda ,}$$ donde φ es una función de λ que satisface φ ( λ ₁ ) = φ ₁ y φ ( λ ₂ ) = φ ₂ . El camino más corto o geodésica implica encontrar la función φ ( λ ) que minimiza s ₁₂ . Este es un ejercicio en el cálculo de variaciones y la condición de minimización viene dada por la identidad de Beltrami , $${\displaystyle L-\varphi '{\frac {\partial L}{\partial \varphi '}}={\text{const.}}}$$ Sustituyendo L y utilizando las ecuaciones (1) se obtiene $${\displaystyle R\sin \alpha ={\text{const.}}}$$Clairaut (1735) halló esta relación , utilizando una construcción geométrica; Lyusternik (1964 , §10) presenta una derivación similar . ^{[ 2 ]} Al diferenciar esta relación se obtiene $${\displaystyle d\alpha =\sin \varphi \,d\lambda .}$$ Esto, junto con las ecuaciones (1) , conduce a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias para una geodésica. $${\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {\cos \alpha }{\rho }};\quad {\frac {d\lambda }{ds}}={\frac {\sin \alpha }{\nu \cos \varphi }};\quad {\frac {d\alpha }{ds}}={\frac {\tan \varphi \,\sin \alpha }{\nu }}.}$$ Podemos expresar R en términos de la latitud paramétrica , β , usando $${\displaystyle R=a\cos \beta ,}$$ y la relación de Clairaut entonces se convierte en $${\displaystyle \sin \alpha _{1}\cos \beta _{1}=\sin \alpha _{2}\cos \beta _{2}.}$$

Figura 4. Problema geodésico representado en la esfera auxiliar.

Figura 5. El problema geodésico elemental en la esfera auxiliar.

Esta es la regla del seno de la trigonometría esférica que relaciona dos lados del triángulo NAB (ver Fig.  4), NA = 1 ⁄ 2 π − β ₁ , y NB = 1 ⁄ 2 π − β ₂ y sus ángulos opuestos B = π − α ₂ y A = α ₁ .

Para hallar la relación entre el tercer lado AB = σ ₁₂ , la longitud del arco esférico y el ángulo incluido N = ω ₁₂ , la longitud esférica , es útil considerar el triángulo NEP que representa una geodésica que parte del ecuador; véase la figura 5. En esta figura, las variables referidas a la esfera auxiliar se muestran con las cantidades correspondientes para el elipsoide que se muestra entre paréntesis. Las cantidades sin subíndices se refieren al punto arbitrario P ; E , el punto en el que la geodésica cruza el ecuador en dirección norte, se utiliza como origen para σ , s y ω .

Si el lado EP se extiende moviendo P infinitesimalmente (ver Fig. 6), obtenemos $${\displaystyle \cos \alpha \,d\sigma =d\beta ,\quad \sin \alpha \,d\sigma =\cos \beta \,d\omega .}$$(2) La combinación de las ecuaciones (1) y (2) da como resultado ecuaciones diferenciales para s y λ.$${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\frac {ds}{d\sigma }}={\frac {d\lambda }{d\omega }}={\frac {\sin \beta }{\sin \varphi }}.}$$

La relación entre β y φ es $${\displaystyle \tan \beta ={\sqrt {1-e^{2}}}\tan \varphi =(1-f)\tan \varphi ,}$$ lo cual da $${\displaystyle {\frac {\sin \beta }{\sin \varphi }}={\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }},}$$ de modo que las ecuaciones diferenciales para la geodésica se convierten en $${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\frac {ds}{d\sigma }}={\frac {d\lambda }{d\omega }}={\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }}.}$$

El último paso consiste en utilizar σ como parámetro independiente en ambas ecuaciones diferenciales y, por lo tanto, expresar s y λ como integrales. Aplicando la ley de los senos a los vértices E y G del triángulo esférico EGP de la figura 5 se obtiene $${\displaystyle \sin \beta =\sin \beta (\sigma$$ ;\alpha _{0})=\cos \alpha _{0}\sin \sigma ,} donde α ₀ es el acimut en E . Sustituyendo esto en la ecuación para ds / d σ e integrando el resultado se obtiene $${\displaystyle {\frac {s}{b}}=\int _{0}^{\sigma }{\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\sigma '}}\,d\sigma ',}$$(3) donde $${\displaystyle k=e'\cos \alpha _{0},}$$ y los límites de la integral se eligen de modo que s ( σ = 0) = 0 . Legendre (1811 , p. 180 ) señaló que la ecuación para s es la misma que la ecuación para el arco en una elipse con semiejes b √ 1 + e ′ ² cos ² α ₀ y b . Para expresar la ecuación para λ en términos de σ , escribimos $${\displaystyle d\omega ={\frac {\sin \alpha _{0}}{\cos ^{2}\beta }}\,d\sigma ,}$$ lo cual se deduce de la ecuación 2 y de la relación de Clairaut. Esto produce $${\displaystyle \lambda -\lambda _{0}=\omega -f\sin \alpha _{0}\int _{0}^{\sigma }{\frac {2-f}{1+(1-f){\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\sigma '}}}}\,d\sigma ',}$$(4) y los límites de las integrales se eligen de modo que λ = λ ₀ en el cruce del ecuador, σ = 0 .

Esto completa la solución de la trayectoria de una geodésica utilizando la esfera auxiliar. Mediante este dispositivo, se puede mapear con precisión un círculo máximo a una geodésica sobre un elipsoide de revolución.

También existen varias formas de aproximar geodésicas en un elipsoide terrestre (con un pequeño achatamiento) ( Rapp 1991 , §6) ; algunas de ellas se describen en el artículo sobre distancia geográfica . Sin embargo, su complejidad suele ser comparable a la del método para la solución exacta ( Jekeli 2012 , §2.1.4) .

Geodésica en un elipsoide oblato ( f = 1/50 ) con α0 ₌45° .

Figura 8. Siguiendo la geodésica sobre el elipsoide durante aproximadamente 5 vueltas.

Figura 9. La misma geodésica después de aproximadamente 70 circuitos.

La figura 7 muestra las geodésicas cerradas simples, formadas por los meridianos (verde) y el ecuador (rojo). (Aquí, el término "simple" significa que la geodésica se cierra sobre sí misma sin ninguna autointersección intermedia). Esto se deduce de las ecuaciones para las geodésicas presentadas en la sección anterior.

Todas las demás geodésicas se representan mediante las figuras 8 y 9, que muestran una geodésica que comienza en el ecuador con α ₀ = 45° . La geodésica oscila alrededor del ecuador. Los cruces ecuatoriales se denominan nodos y los puntos de latitud máxima o mínima se denominan vértices ; las latitudes paramétricas de los vértices vienen dadas por β = ± ( 1 ⁄ 2 π − | α ₀ |) . La geodésica completa una oscilación completa en latitud antes de que la longitud haya aumentado en360° . Por lo tanto, en cada cruce sucesivo del ecuador hacia el norte (véase la figura 8 )  , λ no alcanza a completar una vuelta completa del ecuador por aproximadamente 2πf sen α₀ (para un elipsoide prolato, esta cantidad es negativa y λ completa más de una vuelta completa; véase la figura 10). Para casi todos los valores de _α₀ , la geodésica ocupará la porción del elipsoide comprendida entre las dos latitudes de los vértices (véase la figura ₉  ).

Dos geodésicas cerradas adicionales para el elipsoide oblato, b ⁄ a = 2 ⁄ 7 .

Figura 11. Vista lateral.

Figura 12. Vista superior.

Si el elipsoide es suficientemente oblado, es decir, b / a < 1 / 2 , es posible otra clase de geodésicas cerradas simples ( Klingenberg 1982 , §3.5.19) . Dos de dichas geodésicas se ilustran en las figuras 11 y 12. Aquí b / a = 2 / 7 y el acimut ecuatorial, α ₀ , para la geodésica verde (respectivamente, azul) se elige como53.175° (resp.75,192° ), de modo que la geodésica completa 2 (respectivamente, 3) oscilaciones completas alrededor del ecuador en un circuito del elipsoide.

La figura  13 muestra geodésicas (en azul) que emanan de A con α ₁ un múltiplo de15° hasta el punto en el que dejan de ser caminos más cortos. (El aplanamiento se ha aumentado a 1/10 para acentuar los efectos elipsoidales). También se muestran (en verde) curvas de s 12 constante , que _son los círculos geodésicos centrados en A. Gauss (1828) demostró que, en cualquier superficie, las geodésicas y los círculos geodésicos se intersecan en ángulos rectos .

La línea roja es el lugar geométrico de corte , el lugar geométrico de los puntos que tienen múltiples (dos en este caso) geodésicas más cortas desde A. En una esfera, el lugar geométrico de corte es un punto. En un elipsoide oblato (mostrado aquí), es un segmento del círculo de latitud centrado en el punto antipodal a A , φ = − φ ₁ . La extensión longitudinal del lugar geométrico de corte es aproximadamente λ ₁₂ ∈ [ π (1 − f cos φ ₁ ), π (1 + f cos φ ₁ )] . Si A se encuentra en el ecuador, φ ₁ = 0 , esta relación es exacta y, en consecuencia, el ecuador es una geodésica más corta solo si | λ ₁₂ | ≤ π (1 − f ) . Para un elipsoide prolato, el lugar geométrico de corte es un segmento del antimeridiano centrado en el punto antipodal a A , λ ₁₂ = π , y esto significa que las geodésicas meridionales dejan de ser caminos más cortos antes de que se alcance el punto antipodal.

Diversos problemas relacionados con geodésicas requieren conocer su comportamiento cuando se ven perturbadas. Esto es útil en ajustes trigonométricos ( Ehlert 1993 ) , para determinar las propiedades físicas de las señales que siguen geodésicas, etc. Consideremos una geodésica de referencia, parametrizada por s , y una segunda geodésica a una pequeña distancia t ( s ) de ella. Gauss (1828) demostró que t ( s ) obedece la ecuación de Gauss-Jacobi.$${\displaystyle {\frac {d^{2}t(s)}{ds^{2}}}+K(s)t(s)=0,}$$

donde K ( s ) es la curvatura gaussiana en s . Como ecuación diferencial lineal, homogénea y de segundo orden , su solución puede expresarse como la suma de dos soluciones independientes. $${\displaystyle t(s_{2})=Cm(s_{1},s_{2})+DM(s_{1},s_{2})}$$ dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}m(s_{1},s_{1})&=0,&\left.{\frac {dm(s_{1},s_{2})}{ds_{2}}}\right|_{s_{2}=s_{1}}&=1,\\[6mu]M(s_{1},s_{1})&=1,&\left.{\frac {dM(s_{1},s_{2})}{ds_{2}}}\right|_{s_{2}=s_{1}}&=0.\end{aligned}}}$$ La cantidad m ( s ₁ , s ₂ ) = m ₁₂ es la llamada longitud reducida , y M ( s ₁ , s ₂ ) = M ₁₂ es la escala geodésica . ^{[ 3 ]} Sus definiciones básicas se ilustran en la Fig.  14.

La curvatura gaussiana para un elipsoide de revolución es $${\displaystyle K={\frac {1}{\rho \nu }}={\frac {{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}^{2}}{b^{2}}}={\frac {b^{2}}{a^{4}{\bigl (}1-e^{2}\cos ^{2}\beta {\bigr )}^{2}}}.}$$Helmert (1880 , Ec. (6.5.1.)) resolvió la ecuación de Gauss-Jacobi para este caso, lo que permitió expresar m ₁₂ y M _{12 como integrales.}

Como vemos en la Fig. 14 (subfigura superior), la separación de dos geodésicas que parten del mismo punto con acimuts que difieren en d α ₁ es m ₁₂ d α ₁ . En una superficie cerrada como un elipsoide, m ₁₂ oscila alrededor de cero. El punto en el que m ₁₂ se vuelve cero es el punto conjugado al punto de partida. Para que una geodésica entre A y B , de longitud s ₁₂ , sea el camino más corto, debe satisfacer la condición de Jacobi ( Jacobi 1837 ) ( Jacobi 1866 , §6) ( Forsyth 1927 , §§26–27) ( Bliss 1916 ) , que establece que no hay ningún punto conjugado a A entre A y B . Si esta condición no se satisface, entonces hay un camino cercano (no necesariamente una geodésica) que es más corto. Por lo tanto, la condición de Jacobi es una propiedad local de la geodésica y es solo una condición necesaria para que la geodésica sea el camino más corto global. Las condiciones necesarias y suficientes para que una geodésica sea el camino más corto son:

• para un elipsoide achatado, | σ12 |_​ ≤π ;​
• para un elipsoide alargado, | λ12 |_​ ≤ π , si α ₀ ≠ 0 ; si α ₀ = 0 , se requiere la condición suplementaria m ₁₂ ≥ 0 si | λ12 |_​ = π .

Geodésicas desde un único punto ( f = 1 ⁄ 10 , φ ₁ =−30° )

Figura 15. La envolvente de geodésicas desde un punto A en φ ₁ =−30° .

Figura 16. Las cuatro geodésicas que conectan A y un punto B , φ ₂ =26° , λ ₁₂ =175° .

Las geodésicas desde un punto particular A , si se continúan más allá del lugar geométrico de corte, forman una envolvente ilustrada en la Fig.  15. Aquí, las geodésicas para las cuales α ₁ es un múltiplo deLos 3° se muestran en azul claro. (Las geodésicas se muestran solo para su primer paso cerca del punto antipodal, no para los subsiguientes). Algunos círculos geodésicos se muestran en verde; estos forman cúspides en la envolvente. El lugar geométrico de corte se muestra en rojo. La envolvente es el lugar geométrico de los puntos que son conjugados a A ; los puntos en la envolvente se pueden calcular encontrando el punto en el que m ₁₂ = 0 en una geodésica. Jacobi (1891) llama a esta figura estrellada producida por la envolvente un astroide .

Fuera del astroide, dos geodésicas se intersecan en cada punto; por lo tanto, hay dos geodésicas (con una longitud aproximadamente igual a la mitad de la circunferencia del elipsoide) entre A y estos puntos. Esto corresponde a la situación en la esfera donde existen rutas "cortas" y "largas" en un círculo máximo entre dos puntos. Dentro del astroide, cuatro geodésicas se intersecan en cada punto. Cuatro de estas geodésicas se muestran en la Fig. 16, donde están numeradas en orden creciente de longitud. (Esta figura utiliza la misma posición para A que la Fig. 13 y está dibujada en la misma proyección). Las dos geodésicas más cortas son estables , es decir, m ₁₂ > 0 , de modo que no hay ninguna ruta cercana que conecte los dos puntos que sea más corta; las otras dos son inestables. Solo la línea más corta (la primera) tiene σ ₁₂ ≤ π . Todas las geodésicas son tangentes a la envolvente, que se muestra en verde en la figura.

El astroide es la evoluta (exterior) de los círculos geodésicos centrados en A. Del mismo modo, los círculos geodésicos son involutas del astroide.

Un polígono geodésico es un polígono cuyos lados son geodésicas. Es análogo a un polígono esférico , cuyos lados son círculos máximos. El área de dicho polígono se puede calcular determinando primero el área entre un segmento geodésico y el ecuador, es decir, el área del cuadrilátero AFHB en la figura 1 ( Danielsen, 1989 ) . Una vez conocida esta área, el área del polígono se puede calcular sumando las contribuciones de todos sus lados.

Aquí se desarrolla una expresión para el área S ₁₂ de AFHB siguiendo a Sjöberg (2006) . El área de cualquier región cerrada del elipsoide es $${\displaystyle T=\int dT=\int {\frac {1}{K}}\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,}$$ donde dT es un elemento de área superficial y K es la curvatura gaussiana . Ahora, el teorema de Gauss-Bonnet aplicado a un polígono geodésico establece: $${\displaystyle \Gamma =\int K\,dT=\int \cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,}$$ dónde $${\displaystyle \Gamma =2\pi -\sum _{j}\theta _{j}}$$ es el exceso geodésico y θ _j es el ángulo exterior en el vértice j . Multiplicando la ecuación para Γ por R ₂ ² , donde R ₂ es el radio autálico , y restando esto de la ecuación para T se obtiene $${\displaystyle {\begin{aligned}T&=R_{2}^{2}\,\Gamma +\int \left({\frac {1}{K}}-R_{2}^{2}\right)\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda \\[3mu]&=R_{2}^{2}\,\Gamma +\int \left({\frac {b^{2}}{{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}^{2}}}-R_{2}^{2}\right)\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,\end{aligned}}}$$ donde se ha sustituido el valor de K para un elipsoide . Aplicando esta fórmula al cuadrilátero AFHB , observando que Γ = α ₂ − α ₁ , y realizando la integral sobre φ se obtiene $${\displaystyle S_{12}=R_{2}^{2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})+b^{2}\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}\left({\frac {1}{2{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}}}+{\frac {\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )}{2e\sin \varphi }}-{\frac {R_{2}^{2}}{b^{2}}}\right)\sin \varphi \,d\lambda ,}$$ donde la integral se realiza sobre la línea geodésica (de modo que φ es implícitamente una función de λ ). La integral puede expresarse como una serie válida para valores pequeños de f ( Danielsen 1989 ) ( Karney 2013 , §6) .

El área de un polígono geodésico se obtiene sumando S ₁₂ sobre sus aristas. Este resultado se cumple siempre que el polígono no incluya un polo; si lo incluye, se debe añadir 2 π R ₂ ² a la suma. Si las aristas se especifican por sus vértices, entonces una expresión conveniente para el exceso geodésico E ₁₂ = α ₂ − α ₁ es $${\displaystyle \tan {\frac {E_{12}}{2}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta _{2}+\beta _{1})}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\beta _{2}-\beta _{1})}}\tan {\frac {\omega _{12}}{2}}.}$$

La resolución de los problemas geodésicos implica mapear la geodésica sobre la esfera auxiliar y resolver el problema correspondiente en navegación de círculo máximo . Al resolver el triángulo esférico "elemental" para NEP en la Fig.  5, se pueden emplear las reglas de Napier para triángulos cuadrantales , $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\sin \alpha _{0}&=\sin \alpha \,\cos \beta &&=\tan \omega \,\cot \sigma ,\\\cos \sigma \,&=\cos \beta \,\cos \omega &&=\tan \alpha _{0}\cot \alpha ,\\\cos \alpha \,&=\cos \omega \,\cos \alpha _{0}&&=\cot \sigma \,\tan \beta ,\\\sin \beta \,&=\cos \alpha _{0}\sin \sigma &&=\cot \alpha \,\tan \omega ,\\\sin \omega \,&=\sin \sigma \,\sin \alpha &&=\tan \beta \,\tan \alpha _{0}.\end{alignedat}}}$$ El mapeo de la geodésica implica evaluar las integrales para la distancia, s , y la longitud, λ , ecuaciones (3) y (4) , y estas dependen del parámetro α ₀ .

El manejo del problema directo es sencillo, porque α ₀ se puede determinar directamente a partir de las cantidades dadas φ ₁ y α ₁ ; para un cálculo de ejemplo, véase Karney (2013) .

En el caso del problema inverso, se conoce λ _{12 ; este valor no se puede relacionar fácilmente con el ángulo esférico equivalente} ω ₁₂ porque α ₀ es desconocido. Por lo tanto, la solución del problema requiere hallar α ₀ de forma iterativa ( búsqueda de raíces ); véase Karney (2013) para más detalles.

En aplicaciones geodésicas, donde f es pequeño, las integrales se evalúan típicamente como una serie ( Legendre 1806 ) ( Oriani 1806 ) ( Bessel 1825 ) ( Helmert 1880 ) ( Rainsford 1955 ) ( Rapp 1993 ) . Para un f arbitrario , las integrales (3) y (4) se pueden encontrar mediante cuadratura numérica o expresándolas en términos de integrales elípticas ( Legendre 1806 ) ( Cayley 1870 ) ( Karney 2024 ) .

Vincenty (1975) proporciona soluciones para los problemas directo e inverso; estas se basan en un desarrollo en serie realizado hasta el tercer orden en el aplanamiento y proporcionan una precisión de aproximadamente0,1  mm para el elipsoide WGS84 ; sin embargo, el método inverso no converge para puntos casi antipodales.

Karney (2013) continúa las expansiones hasta el sexto orden, lo cual es suficiente para proporcionar una precisión doble completa para | f | ≤ 1 ⁄ 50 y mejora la solución del problema inverso de manera que converge en todos los casos.

Consideremos el elipsoide definido por $${\displaystyle h={\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {Z^{2}}{c^{2}}}=1,}$$ donde ( X , Y , Z ) son coordenadas cartesianas centradas en el elipsoide y, sin pérdida de ^generalidad , a ≥ b ≥ c > 0. [ ^{5 ]}Jacobi (1866 , §§26–27) empleó las coordenadas elipsoidales (triaxiales) (con latitud elipsoidal triaxial y longitud elipsoidal triaxial , β , ω ) definidas por $${\displaystyle {\begin{aligned}X&=a\cos \omega {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\beta -c^{2}\cos ^{2}\beta }}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}},\\[3mu]Y&=b\cos \beta \,\sin \omega ,\\[6mu]Z&=c\sin \beta {\frac {\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega -c^{2}}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}.\end{aligned}}}$$ En el límite b → a , β se convierte en la latitud paramétrica para un elipsoide oblato, por lo que el uso del símbolo β es coherente con las secciones anteriores. Sin embargo, ω es diferente de la longitud esférica definida anteriormente. ^{[ 6 ]}

Las líneas de cuadrícula de β constante (en azul) y ω constante (en verde) se muestran en la Fig. 17. Estas constituyen un sistema de coordenadas ortogonales : las líneas de cuadrícula se intersecan en ángulo recto. Las secciones principales del elipsoide, definidas por X = 0 y Z = 0, se muestran en rojo. La tercera sección principal, Y = 0 , está cubierta por las líneas β = ± 90° y ω = 0° o ± 180° . Estas líneas se encuentran en cuatro puntos umbilicales (dos de los cuales son visibles en esta figura) donde los radios de curvatura principales son iguales. Aquí y en las demás figuras de esta sección, los parámetros del elipsoide son a : b : c = 1,01:1:0,8 , y se observa en una proyección ortográfica desde un punto por encima de φ = 40° , λ = 30° .

Las líneas de la cuadrícula de las coordenadas elipsoidales pueden interpretarse de tres maneras diferentes:

1. Son "líneas de curvatura" en el elipsoide: son paralelas a las direcciones de curvatura principal ( Monge 1796 ) .
2. También son intersecciones del elipsoide con sistemas confocales de hiperboloides de una y dos hojas ( Dupin 1813 , Parte 5 ) .
3. Finalmente, se trata de elipses geodésicas e hipérbolas definidas mediante dos puntos umbilicales adyacentes ( Hilbert y Cohn-Vossen, 1952 , p. 188 ) . Por ejemplo, las líneas de β constante en la figura 17 se pueden generar con la conocida construcción de cuerdas para elipses, con los extremos de la cuerda fijados a los dos puntos umbilicales.

Jacobi demostró que las ecuaciones geodésicas, expresadas en coordenadas elipsoidales, son separables. Así fue como le contó su descubrimiento a su amigo y vecino Bessel ( Jacobi 1839 , Carta a Bessel) .

Anteayer reduje a cuadratura el problema de las líneas geodésicas en un elipsoide con tres ejes desiguales . Son las fórmulas más simples del mundo, las integrales abelianas , que se convierten en las conocidas integrales elípticas si se igualan dos ejes.

Königsberg , 28 de diciembre de 1938.

La solución dada por Jacobi ( Jacobi 1839 ) ( Jacobi 1866 , §28) es $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta =&\int {\frac {{\sqrt {b^{2}\sin ^{2}\beta +c^{2}\cos ^{2}\beta }}\,d\beta }{{\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\beta -c^{2}\cos ^{2}\beta }}{\sqrt {{\bigl (}b^{2}-c^{2}{\bigr )}\cos ^{2}\beta -\gamma }}}}\\[6pt]&\qquad -\int {\frac {{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega }}\,d\omega }{{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega -c^{2}}}{\sqrt {{\bigl (}a^{2}-b^{2}{\bigr )}\sin ^{2}\omega +\gamma }}}}.\end{aligned}}}$$ Como señala Jacobi, "una función del ángulo β es igual a una función del ángulo ω . Estas dos funciones son simplemente integrales abelianas..." . En la solución aparecen dos constantes, δ y γ . Normalmente, δ es cero si los límites inferiores de las integrales se toman como el punto de partida de la geodésica y la dirección de las geodésicas está determinada por γ . Sin embargo, para geodésicas que comienzan en un punto umbilical, tenemos γ = 0 y δ determina la dirección en el punto umbilical. La constante γ puede expresarse como $${\displaystyle \gamma ={\bigl (}b^{2}-c^{2}{\bigr )}\cos ^{2}\beta \,\sin ^{2}\alpha -{\bigl (}a^{2}-b^{2}{\bigl )}\sin ^{2}\omega \,\cos ^{2}\alpha ,}$$ donde α es el ángulo que forma la geodésica con las líneas de ω constante . En el límite b → a , esto se reduce a sin α cos β = constante, la conocida relación de Clairaut. Darboux (1894 , §§583–584 ) proporciona una derivación del resultado de Jacobi ; él da la solución hallada por Liouville (1846) para superficies cuadráticas generales.

Geodésicas circumpolares, ω ₁ =0° , α ₁ =90° .

Figura 18. β ₁ =45,1° .

Figura 19. β ₁ =87,48° .

En un elipsoide triaxial, existen únicamente tres geodésicas cerradas simples, las tres secciones principales del elipsoide dadas por X = 0 , Y = 0 y Z = 0. [ ^{7 ] Para} analizar las demás geodésicas, conviene considerar aquellas que intersecan la sección principal central, Y = 0 , en ángulo recto. Dichas geodésicas se muestran en las figuras 18 a 22, que utilizan los mismos parámetros del elipsoide y la misma dirección de visualización que la figura 17. Además, las tres elipses principales se muestran en rojo en cada una de estas figuras.

Si el punto de partida es β ₁ ∈ ( − 90°, 90°) , ω ₁ = 0 , y α ₁ = 90° , entonces γ > 0 y la geodésica rodea el elipsoide en un sentido "circumpolar". La geodésica oscila al norte y al sur del ecuador; en cada oscilación completa un poco menos de un circuito completo alrededor del elipsoide resultando, en el caso típico, en que la geodésica llena el área delimitada por las dos líneas de latitud β = ± β ₁ . Se dan dos ejemplos en las Figs. 18 y 19. La figura 18 muestra prácticamente el mismo comportamiento que para un elipsoide de revolución oblato (porque a ≈ b ); compárese con la Fig. 9. Sin embargo, si el punto de partida está en una latitud más alta (Fig. 18) las distorsiones resultantes de a ≠ b son evidentes. Todas las tangentes a una geodésica circumpolar tocan el hiperboloide confocal de una sola hoja que interseca el elipsoide en β = β ₁ ( Chasles 1846 ) ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 , pp. 223–224 ) .

Geodésicas transpolares, β ₁ =90° , α ₁ =180° .

Figura 20. ω ₁ =39,9° .

Figura 21. ω ₁ =9,966° .

Si el punto de partida es β ₁ = 90° , ω ₁ ∈ (0°, 180°) , y α ₁ = 180° , entonces γ < 0 y la geodésica rodea el elipsoide en un sentido "transpolar". La geodésica oscila al este y al oeste de la elipse X = 0 ; en cada oscilación completa un poco más de un circuito completo alrededor del elipsoide. En el caso típico, esto resulta en que la geodésica llena el área delimitada por las dos líneas de longitud ω = ω ₁ y ω = 180° − ω ₁ . Si a = b , todos los meridianos son geodésicas; el efecto de a ≠ b hace que tales geodésicas oscilen al este y al oeste. Se dan dos ejemplos en las figuras. 20 y 21. La constricción de la geodésica cerca del polo desaparece en el límite b → c ; en este caso, el elipsoide se convierte en un elipsoide prolato y la Fig. 20 se asemejaría a la Fig. 10 (rotada de lado). Todas las tangentes a una geodésica transpolar tocan el hiperboloide confocal de doble hoja que interseca el elipsoide en ω = ω ₁ .

En las figuras 18 a 21, las geodésicas están (casi) cerradas. Como se mencionó anteriormente, en el caso típico, las geodésicas no están cerradas, sino que llenan el área delimitada por las líneas de latitud (en el caso de las figuras 18 a 19) o de longitud (en el caso de las figuras 20 a 21).

Si el punto de partida es β ₁ = 90° , ω ₁ = 0° (un punto umbilical) y α ₁ = 135° (la geodésica sale de la elipse Y = 0 en ángulo recto), entonces γ = 0 y la geodésica interseca repetidamente el punto umbilical opuesto y regresa a su punto de partida. Sin embargo, en cada circuito el ángulo en el que interseca Y = 0 se vuelve más cercano a0° o180° de modo que asintóticamente la geodésica se encuentra sobre la elipse Y = 0 ( Hart 1849 ) ( Arnold 1989 , p. 265 ) , como se muestra en la Fig. 22. Una sola geodésica no llena un área en el elipsoide. Todas las tangentes a las geodésicas umbilicales tocan la hipérbola confocal que interseca el elipsoide en los puntos umbilicales.

Las geodésicas umbilicales poseen varias propiedades interesantes:

• Por cualquier punto del elipsoide pasan dos geodésicas umbilicales.
• La distancia geodésica entre puntos umbilicales opuestos es la misma independientemente de la dirección inicial de la geodésica.
• Mientras que las geodésicas cerradas en las elipses X = 0 y Z = 0 son estables (una geodésica inicialmente cercana y casi paralela a la elipse permanece cerca de ella), la geodésica cerrada en la elipse Y = 0 , que pasa por los cuatro puntos umbilicales, es exponencialmente inestable . Si se perturba, se desviará del plano Y = 0 y girará antes de volver a estar cerca del plano. (Este comportamiento puede repetirse dependiendo de la naturaleza de la perturbación inicial).

Si el punto de partida A de una geodésica no es un punto umbilical, su envoltura es un astroide con dos cúspides situadas en β = − β ₁ y las otras dos en ω = ω ₁ + π . El lugar geométrico de corte para A es la porción de la línea β = − β ₁ entre las cúspides.