Teorema de Easton

En teoría de conjuntos , el teorema de Easton es un resultado sobre los posibles números cardinales de los conjuntos potencia . Easton (1970) (extendiendo un resultado de Robert M. Solovay ) demostró mediante el forzamiento que las únicas restricciones sobre los valores permisibles para 2 ^κ cuando κ es un cardinal regular son

${\displaystyle \kappa <\nombre del operador {cf} (2^{\kappa })}$

(donde cf( α ) es la cofinalidad de  α ) y

${\displaystyle {\text{si }}\kappa <\lambda {\text{ entonces }}2^{\kappa }\leq 2^{\lambda }.}$

Si G es una función de clase cuyo dominio consiste en ordinales y cuyo rango consiste en ordinales tales que

1. G no es decreciente,
2. la cofinalidad de es mayor que para cada α en el dominio de G , y${\displaystyle \aleph _{G(\alpha )}}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$
3. ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$es regular para cada α en el dominio de G ,

Entonces existe un modelo de ZFC tal que

${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{G(\alpha )}}$

para cada uno en el dominio de G . ${\estilo de visualización \alpha}$

La prueba del teorema de Easton utiliza el forzamiento con una clase adecuada de condiciones de forzamiento sobre un modelo que satisface la hipótesis del continuo generalizado.

Las dos primeras condiciones del teorema son necesarias. La condición 1 es una propiedad bien conocida de cardinalidad, mientras que la condición 2 se desprende del teorema de König .

En el modelo de Easton, los conjuntos potencia de los cardinales singulares tienen la cardinalidad más pequeña posible compatible con las condiciones de que 2 ^κ tiene cofinalidad mayor que κ y es una función no decreciente de κ.

Silver (1975) demostró que un cardinal singular de cofinalidad incontable no puede ser el cardinal más pequeño para el cual falla la hipótesis del continuo generalizado . Esto muestra que el teorema de Easton no puede extenderse a la clase de todos los cardenales. El programa de la teoría PCF da resultados sobre los posibles valores de para cardenales singulares . La teoría PCF muestra que los valores de la función continua en cardinales singulares están fuertemente influenciados por los valores en cardinales más pequeños, mientras que el teorema de Easton muestra que los valores de la función continua en cardinales regulares están solo débilmente influenciados por los valores en cardinales más pequeños. ${\displaystyle 2^{\lambda}}$${\estilo de visualización \lambda}$

• Hipótesis cardinal singular
• Número aleph
• Número de Beth

• Easton, W. (1970), "Potencias de los cardinales regulares", Ann. Math. Logic , 1 (2): 139– 178, doi :10.1016/0003-4843(70)90012-4
• Silver, Jack (1975), "Sobre el problema de los cardinales singulares", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Vancouver, BC, 1974) , vol. 1, Montreal, Quebec: Congreso de Matemáticas de Canadá, págs.  265– 268, MR  0429564