Dualidad Eckmann-Hilton

En las disciplinas matemáticas de topología algebraica y teoría de la homotopía , la dualidad de Eckmann - Hilton , en su forma más básica, consiste en tomar un diagrama dado para un concepto particular e invertir la dirección de todas las flechas, de forma similar a como en la teoría de categorías se utiliza la idea de la categoría opuesta . Una formulación significativamente más profunda argumenta que el hecho de que la noción dual de límite sea un colímite permite modificar los axiomas de Eilenberg-Steenrod para la homología y convertirlos en axiomas para la cohomología . Recibe su nombre de Beno Eckmann y Peter Hilton .

Un ejemplo lo da el currying , que nos dice que para cualquier objeto${\displaystyle X}$, un mapa${\displaystyle X\times I\to Y}$es lo mismo que un mapa${\displaystyle X\to Y^{I}}$, dónde${\displaystyle Y^{I}}$es el objeto exponencial , dado por todos los mapas de${\displaystyle I}$a${\displaystyle Y}$. En el caso de espacios topológicos , si tomamos${\displaystyle I}$ser el intervalo unitario, esto lleva a una dualidad entre${\displaystyle X\times I}$y${\displaystyle Y^{I}}$, lo que luego genera una dualidad entre la suspensión reducida${\displaystyle \Sigma X}$, que es un cociente de${\displaystyle X\times I}$y el espacio del bucle${\displaystyle \Omega Y}$, que es un subespacio de${\displaystyle Y^{I}}$Esto conduce entonces a la relación adjunta .${\displaystyle \langle \Sigma X,Y\rangle =\langle X,\Omega Y\rangle }$, lo que permite el estudio de los espectros , que dan lugar a teorías de cohomología .

También podemos relacionar directamente las fibraciones y las cofibraciones : una fibración${\displaystyle p\colon E\to B}$se define por tener la propiedad de levantamiento de homotopía , representada por el siguiente diagrama

y una cofibración${\displaystyle i\colon A\to X}$se define por tener la propiedad de extensión de homotopía dual , representada por la dualización del diagrama anterior:

Las consideraciones anteriores también se aplican al observar las secuencias asociadas a una fibración o una cofibración, dada una fibración.${\displaystyle F\to E\to B}$obtenemos la secuencia

${\displaystyle \cdots \to \Omega ^{2}B\to \Omega F\to \Omega E\to \Omega B\to F\to E\to B\,}$

y dada una cofibración${\displaystyle A\to X\to X/A}$obtenemos la secuencia

${\displaystyle A\to X\to X/A\to \Sigma A\to \Sigma X\to \Sigma \left(X/A\right)\to \Sigma ^{2}A\to \cdots .\,}$

y, de forma más general, la dualidad entre las secuencias de Puppe exactas y coexactas .

Esto también nos permite relacionar la homotopía y la cohomología: sabemos que los grupos de homotopía son clases de homotopía de aplicaciones de la n -esfera a nuestro espacio, escritas${\displaystyle \pi _{n}(X,p)\cong \langle S^{n},X\rangle }$y sabemos que la esfera tiene un único grupo de cohomología (reducido) no nulo . Por otro lado, los grupos de cohomología son clases de homotopía de aplicaciones a espacios con un único grupo de homotopía no nulo. Esto viene dado por los espacios de Eilenberg-MacLane.${\displaystyle K(G,n)}$y la relación

${\displaystyle H^{n}(X;G)\cong \langle X,K(G,n)\rangle .}$

Una formalización de las relaciones informales anteriores viene dada por la dualidad de Fuks . ^{[ 1 ]}

• Categoría de modelo
• Adjunción Tensor-hom

• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.
• "Dualidad de Eckmann-Hilton" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]