fracción egipcia

Una fracción egipcia es una suma finita de fracciones unitarias distintas , como por ejemplo: ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}.$ Es decir, cada fracción en la expresión tiene un numerador igual a 1 y un denominador que es un entero positivo , y todos los denominadores son diferentes entre sí. El valor de una expresión de este tipo es un número racional positivo . ${\tfrac {a}{b}}$ ; por ejemplo, la fracción egipcia anterior suma ${\tfrac {43}{48}}$ Todo número racional positivo puede representarse mediante una fracción egipcia. Sumas de este tipo, y sumas similares también incluyen ${\tfrac {2}{3}}$ y ${\tfrac {3}{4}}$ Las fracciones egipcias, como sumandos , eran una notación formal para los números racionales utilizada por los antiguos egipcios y continuaron siendo empleadas por otras civilizaciones hasta la Edad Media. En la notación matemática moderna, las fracciones egipcias han sido reemplazadas por las fracciones comunes y la notación decimal . Sin embargo, siguen siendo objeto de estudio en la teoría de números moderna y las matemáticas recreativas , así como en los estudios históricos modernos de las matemáticas antiguas .

Aplicaciones

Más allá de su uso histórico, las fracciones egipcias tienen algunas ventajas prácticas sobre otras representaciones de números fraccionarios. Por ejemplo, las fracciones egipcias pueden ayudar a dividir alimentos u otros objetos en partes iguales. ^{[ 1 ]} Por ejemplo, si se quiere dividir 5 pizzas en partes iguales entre 8 comensales, la fracción egipcia ${\frac {5}{8}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}$ Esto significa que cada comensal recibe media pizza más un octavo de pizza, por ejemplo, dividiendo 4 pizzas en 8 mitades y la pizza restante en 8 octavos. Los ejercicios para realizar este tipo de división equitativa de alimentos son un ejemplo estándar en el aula para enseñar a los estudiantes a trabajar con fracciones unitarias. ^{[ 2 ]}

Las fracciones egipcias pueden proporcionar una solución a los rompecabezas de la quema de cuerdas , en los que se debe medir una duración determinada encendiendo cuerdas no uniformes que se queman después de una unidad de tiempo. Cualquier fracción racional de una unidad de tiempo se puede medir expandiendo la fracción en una suma de fracciones unitarias y luego, para cada fracción unitaria $1/x$ quemando una cuerda para que siempre tenga $x$ Puntos iluminados simultáneamente donde está ardiendo. Para esta aplicación, no es necesario que las fracciones unitarias sean distintas entre sí. Sin embargo, esta solución puede requerir un número infinito de pasos de reencendido. ^{[ 3 ]}

Historia temprana

La notación de fracciones egipcias se desarrolló en el Reino Medio de Egipto . Cinco textos antiguos en los que aparecen fracciones egipcias son el Rollo de Cuero Matemático Egipcio , el Papiro Matemático de Moscú , el Papiro de Reisner , el Papiro de Kahun y la Tablilla de Madera de Akhmim . Un texto posterior, el Papiro Matemático de Rhind , introdujo formas mejoradas de escribir fracciones egipcias. El papiro de Rhind fue escrito por Ahmes y data del Segundo Período Intermedio ; incluye una tabla de expansiones de fracciones egipcias para números racionales. ${\tfrac {2}{n}}$ , así como 84 problemas de palabras . Las soluciones a cada problema se escribieron en taquigrafía de escriba, y las respuestas finales de los 84 problemas se expresaron en notación de fracciones egipcias. Tablas de expansiones para ${\tfrac {2}{n}}$ Fracciones similares a las del papiro de Rhind también aparecen en otros textos. Sin embargo, como demuestra el papiro de Kahun , los escribas también utilizaban fracciones comunes en sus cálculos.

Notación

Para escribir las fracciones unitarias utilizadas en su notación de fracciones egipcia, en escritura jeroglífica, los egipcios colocaron el jeroglífico :

( er , " [uno] entre" o posiblemente re , boca) encima de un número para representar el recíproco de ese número. De manera similar, en la escritura hierática dibujaban una línea sobre la letra que representaba el número. Por ejemplo:

Los egipcios tenían símbolos especiales para ${\tfrac {1}{2}}$ , ${\tfrac {2}{3}}$ , y ${\tfrac {3}{4}}$ que se utilizaban para reducir el tamaño de los números mayores que ${\tfrac {1}{2}}$ cuando dichos números se convertían a una serie de fracciones egipcias. El número restante después de restar una de estas fracciones especiales se escribía como una suma de fracciones unitarias distintas según la notación de fracciones egipcia habitual.

Los egipcios también utilizaron una notación alternativa modificada del Imperio Antiguo para denotar un conjunto especial de fracciones de la forma $1/2^{k}$ (para $k=1,2,\dots ,6$ ) y sumas de estos números, que son necesariamente números racionales diádicos . Estos se han llamado "fracciones del Ojo de Horus" por una teoría (ahora desacreditada) ^{[ 4 ]} que decía que se basaban en las partes del símbolo del Ojo de Horus . Se usaban en el Reino Medio junto con la notación posterior para fracciones egipcias para subdividir un hekat , la principal medida de volumen del antiguo Egipto para grano, pan y otras pequeñas cantidades de volumen, como se describe en la Tablilla de Madera de Akhmim . Si quedaba algún resto después de expresar una cantidad en fracciones del Ojo de Horus de un hekat, el resto se escribía usando la notación de fracciones egipcias habitual como múltiplos de un ro , una unidad igual a ${\tfrac {1}{320}}$ de un hekat.

Métodos de cálculo

Los historiadores modernos de las matemáticas han estudiado el papiro de Rhind y otras fuentes antiguas en un intento por descubrir los métodos que los egipcios utilizaban para calcular con fracciones egipcias. En particular, el estudio en esta área se ha concentrado en comprender las tablas de expansión para números de la forma ${\tfrac {2}{n}}$ En el papiro de Rhind. Si bien estas expansiones pueden describirse generalmente como identidades algebraicas, los métodos empleados por los egipcios podrían no corresponderse directamente con dichas identidades. Además, las expansiones de la tabla no coinciden con ninguna identidad en particular; más bien, diferentes identidades coinciden con las expansiones para denominadores primos y compuestos , y más de una identidad se ajusta a los números de cada tipo:

Para denominadores primos impares pequeños $p$ la expansión ${\frac {2}{p}}={\frac {1}{(p+1)/2}}+{\frac {1}{p(p+1)/2}}$ se utilizó.
Para denominadores primos más grandes, una expansión de la forma ${\frac {2}{p}}={\frac {1}{A}}+{\frac {2A-p}{Ap}}$ se utilizó, donde $A$ es un número con muchos divisores (como un número práctico ) entre ${\tfrac {p}{2}}$ y $p$ . El término restante $(2A-p)/Ap$ se amplió representando el número $2A-p$ como suma de divisores de $A$ y formando una fracción ${\tfrac {d}{Ap}}$ para cada divisor de este tipo $d$ en esta suma. ^{[ 5 ]} Como ejemplo, la expansión de Ahmes ${\tfrac {2}{37}}={\tfrac {1}{24}}+{\tfrac {1}{111}}+{\tfrac {1}{296}}$ encaja con este patrón $A=24$ y $2A-p=11=8+3$ , como ${\tfrac {1}{111}}={\tfrac {8}{24\cdot 37}}$ y ${\tfrac {1}{296}}={\tfrac {3}{24\cdot 37}}$ Puede haber muchas expansiones diferentes de este tipo para un dado $p$ Sin embargo, como observó KS Brown, la expansión elegida por los egipcios era a menudo la que hacía que el denominador mayor fuera lo más pequeño posible, entre todas las expansiones que se ajustaban a este patrón.
Para algunos denominadores compuestos, factorizados como $p\cdot q$ , la expansión para ${\tfrac {2}{pq}}$ tiene la forma de una expansión para ${\tfrac {2}{p}}$ con cada denominador multiplicado por $q$ . Este método parece haber sido utilizado para muchos de los números compuestos en el papiro de Rhind, ^{[ 6 ]} pero hay excepciones, en particular ${\tfrac {2}{35}}$ , ${\tfrac {2}{91}}$ , y ${\tfrac {2}{95}}$ . ^{[ 7 ]}
También se puede ampliar ${\frac {2}{pq}}={\frac {1}{p(p+q)/2}}+{\frac {1}{q(p+q)/2}}.$ Por ejemplo, Ahmes amplía ${\tfrac {2}{35}}={\tfrac {2}{5\cdot 7}}={\tfrac {1}{30}}+{\tfrac {1}{42}}$ . Los escribas posteriores utilizaron una forma más general de esta expansión, ${\frac {n}{pq}}={\frac {1}{p(p+q)/n}}+{\frac {1}{q(p+q)/n}},$ que funciona cuando $p+q$ es un múltiplo de $n$ . ^{[ 8 ]}
La expansión final (primaria) en el papiro de Rhind, ${\tfrac {2}{101}}$ no se ajusta a ninguna de estas formas, sino que utiliza una expansión. ${\frac {2}{p}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p}}+{\frac {1}{3p}}+{\frac {1}{6p}}$ que se pueden aplicar independientemente del valor de $p$ . Eso es, ${\tfrac {2}{101}}={\tfrac {1}{101}}+{\tfrac {1}{202}}+{\tfrac {1}{303}}+{\tfrac {1}{606}}$ . Una expansión similar también se utilizó en el Rollo de Cuero Matemático Egipcio para varios casos.

Uso posterior

La notación de fracciones egipcias continuó utilizándose en la época griega y hasta la Edad Media, ^{[ 9 ]} a pesar de las quejas ya en el Almagesto de Ptolomeo sobre la torpeza de la notación en comparación con alternativas como la notación babilónica de base 60. Problemas relacionados de descomposición en fracciones unitarias también fueron estudiados en la India del siglo IX por el matemático jainista Mahāvīra . ^[¹⁰^] Un texto importante de las matemáticas medievales europeas, el Liber Abaci (1202) de Leonardo de Pisa (más conocido como Fibonacci), proporciona algunas ideas sobre los usos de las fracciones egipcias en la Edad Media e introduce temas que siguen siendo importantes en el estudio matemático moderno de estas series.

El tema principal del Liber Abaci son los cálculos que involucran la notación decimal y fraccionaria común, que eventualmente reemplazó a las fracciones egipcias. El propio Fibonacci utilizó una notación compleja para fracciones que implicaba una combinación de notación de base mixta con sumas de fracciones. Muchos de los cálculos a lo largo del libro de Fibonacci involucran números representados como fracciones egipcias, y una sección de este libro ^{[ 11 ]} proporciona una lista de métodos para convertir fracciones comunes a fracciones egipcias. Si el número no es ya una fracción unitaria, el primer método de esta lista es intentar dividir el numerador en una suma de divisores del denominador; esto es posible siempre que el denominador sea un número práctico , y el Liber Abaci incluye tablas de expansiones de este tipo para los números prácticos 6, 8, 12, 20, 24, 60 y 100.

Los siguientes métodos implican identidades algebraicas como: ${\frac {a}{ab-1}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{b(ab-1)}}.$ Por ejemplo , Fibonacci representa la fracción 8/11 dividiendo el numerador en una suma de dos números, cada uno de los cuales divide a uno más el denominador: 8/11 = 6/11 + 2/11 . Fibonacci aplica la identidad algebraica anterior a cada una de estas dos partes , produciendo la expansión 8/11 = 1/2 + 1/22 + 1/6 + 1/66 . Fibonacci describe métodos similares para denominadores que son dos o tres menores que un número con muchos factores .

En el raro caso de que todos estos otros métodos fallen, Fibonacci sugiere un algoritmo "voraz" para calcular fracciones egipcias, en el que se elige repetidamente la fracción unitaria con el denominador más pequeño que no sea mayor que la fracción restante a expandir: es decir, en notación más moderna, reemplazamos una fracción ⁠ x / y ⁠ por la expansión ${\frac {x}{y}}={\frac {1}{\,\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil \,}}+{\frac {(-y)\,{\bmod {\,}}x}{y\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil }},$ donde ⌈ ⌉ representa la función techo ; dado que (− y ) mod x < x , este método produce una expansión finita.

Fibonacci sugiere cambiar a otro método después de la primera expansión de este tipo, pero también da ejemplos en los que esta expansión voraz se iteró hasta que se construyó una expansión completa de fracciones egipcias: ⁠ 4 / 13 ⁠ = ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 18 ⁠ + ⁠ 1 / 468 ⁠ y ⁠ 17 / 29 ⁠ = ⁠ 1 / 2 ⁠ + ⁠ 1 / 12 ⁠ + ⁠ 1 / 348 ⁠ .

En comparación con las expansiones del antiguo Egipto o con métodos más modernos, este método puede producir expansiones bastante largas, con denominadores grandes, y el propio Fibonacci señaló la incomodidad de las expansiones producidas por este método. Por ejemplo, el método voraz expande ${\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763\,309}}+{\frac {1}{873\,960\,180\,913}}+{\frac {1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\,225}},$ mientras que otros métodos dan lugar a una expansión más corta ${\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}.$

La secuencia de Sylvester 2, 3, 7, 43, 1807, ... puede verse como generada por una expansión voraz infinita de este tipo para el número 1, donde en cada paso elegimos el denominador ⌊ ⁠ y / x ⁠ ⌋ + 1 en lugar de ⌈ ⁠ y / x ⁠ ⌉ , y a veces el algoritmo voraz de Fibonacci se atribuye a James Joseph Sylvester .

Después de su descripción del algoritmo voraz, Fibonacci sugiere otro método, expandiendo una fracción ⁠ a / b ⁠ buscando un número c que tenga muchos divisores, con ⁠ b / 2 ⁠ < c < b , reemplazando ⁠ a / b ⁠ por ⁠ ac / bc ⁠ , y expandiendo ac como una suma de divisores de bc , similar al método propuesto por Hultsch y Bruins para explicar algunas de las expansiones en el papiro de Rhind.

Teoría moderna de números

Aunque las fracciones egipcias ya no se utilizan en la mayoría de las aplicaciones prácticas de las matemáticas, los teóricos de números modernos han seguido estudiando diversos problemas relacionados con ellas. Estos incluyen problemas para acotar la longitud o el denominador máximo en las representaciones de fracciones egipcias, encontrar expansiones de ciertas formas especiales o en las que los denominadores sean todos de un tipo especial, la finalización de varios métodos para la expansión de fracciones egipcias y demostrar que existen expansiones para cualquier conjunto suficientemente denso de números suficientemente suaves .

Una de las primeras publicaciones de Paul Erdős demostró que no es posible que una progresión armónica forme una representación fraccionaria egipcia de un número entero . La razón es que, necesariamente, al menos un denominador de la progresión será divisible por un número primo que no divide a ningún otro denominador. ^{[ 12 ]} La publicación más reciente de Erdős, casi 20 años después de su muerte, demuestra que todo número entero tiene una representación en la que todos los denominadores son productos de tres números primos. ^{[ 13 ]}
La conjetura de Erdős-Graham en teoría combinatoria de números establece que, si los enteros mayores que 1 se dividen en un número finito de subconjuntos, entonces uno de los subconjuntos tiene un subconjunto finito de sí mismo cuyos recíprocos suman uno. Es decir, para cada r > 0 y cada r -coloración de los enteros mayores que uno, existe un subconjunto monocromático finito S de estos enteros tal que $\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.$ La conjetura fue demostrada en 2003 por Ernest S. Croot III .
El problema de Znám y los números pseudoperfectos primarios están estrechamente relacionados con la existencia de fracciones egipcias de la forma $\sum {\frac {1}{x_{i}}}+\prod {\frac {1}{x_{i}}}=1.$ Por ejemplo, el número pseudoperfecto primario 1806 es el producto de los números primos 2, 3, 7 y 43, y da lugar a la fracción egipcia 1 = ⁠ 1 / 2 ⁠ + ⁠ 1 / 3 ⁠ + ⁠ 1 / 7 ⁠ + ⁠ 1 / 43 ⁠ + ⁠ 1 / 1806 ⁠ .
Las fracciones egipcias se definen normalmente como aquellas que requieren que todos los denominadores sean distintos, pero este requisito puede flexibilizarse para permitir denominadores repetidos. Sin embargo, esta forma flexibilizada de las fracciones egipcias no permite representar ningún número con menos fracciones, ya que cualquier expansión con fracciones repetidas puede convertirse en una fracción egipcia de igual o menor longitud (como una fracción mixta que también admite números enteros) mediante la aplicación repetida de la sustitución. ${\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {2}{k+1}}+{\frac {2}{k(k+1)}}$ si k es impar, o simplemente reemplazando 1 / k + 1 / k por 2 / k si k es par . Este resultado fue demostrado por primera vez por Takenouchi ( 1921 ) .
Graham y Jewett ^{[ 14 ]} demostraron que es posible convertir expansiones con denominadores repetidos en fracciones egipcias (más largas) mediante la sustitución ${\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{k(k+1)}}.$ Este método puede dar lugar a expansiones largas con denominadores grandes, como por ejemplo: ${\frac {4}{5}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{930}}+{\frac {1}{931}}+{\frac {1}{992}}+{\frac {1}{1806}}+{\frac {1}{865\,830}}.$ Botts (1967) había utilizado originalmente esta técnica de reemplazo para demostrar que cualquier número racional tiene representaciones de fracciones egipcias con denominadores mínimos arbitrariamente grandes.
Cualquier fracción ⁠ x / y ⁠ tiene una representación de fracción egipcia en la que el denominador máximo está acotado por ^[¹⁵^]. $O\left(y\log y\left(\log \log y\right)^{4}\left(\log \log \log y\right)^{2}\right),$ y una representación con como máximo $O\left({\sqrt {\log y}}\right)$ términos. ^{[ 16 ]} El número de términos debe ser a veces al menos proporcional a log log y ; por ejemplo, esto es cierto para las fracciones en la secuencia ⁠ 1 / 2 ⁠ , ⁠ 2 / 3 ⁠ , ⁠ 6 / 7 ⁠ , ⁠ 42 / 43 ⁠ , ⁠ 1806 / 1807 ⁠ , ... cuyos denominadores forman la secuencia de Sylvester . Se ha conjeturado que O (log log y ) términos son siempre suficientes. ^[¹⁷^] También es posible encontrar representaciones en las que tanto el denominador máximo como el número de términos son pequeños. ^[¹⁸^]
Graham (1964) caracterizó los números que pueden representarse mediante fracciones egipcias cuyos denominadores son potencias n -ésimas. En particular, un número racional q puede representarse como una fracción egipcia con denominadores cuadrados si y solo si q se encuentra en uno de los dos intervalos semiabiertos. $\left[0,{\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\right)\cup \left[1,{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right).$
Martin (1999) demostró que cualquier número racional tiene expansiones muy densas, utilizando una fracción constante de los denominadores hasta N para cualquier N suficientemente grande .
La expansión de Engel , a veces llamada producto egipcio , es una forma de expansión de fracciones egipcias en la que cada denominador es un múltiplo del anterior: $x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots .$ Además, se requiere que la secuencia de multiplicadores a _i sea no decreciente. Todo número racional tiene un desarrollo de Engel finito, mientras que los números irracionales tienen un desarrollo de Engel infinito.
Anshel y Goldfeld (1991) estudian números que tienen múltiples representaciones fraccionarias egipcias distintas con el mismo número de términos y el mismo producto de denominadores; por ejemplo, uno de los ejemplos que proporcionan es ${\frac {5}{12}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{20}}.$ A diferencia de los antiguos egipcios, permiten que los denominadores se repitan en estas expansiones. Aplican sus resultados para este problema a la caracterización de productos libres de grupos abelianos mediante un pequeño número de parámetros numéricos: el rango del subgrupo conmutador , el número de términos en el producto libre y el producto de los órdenes de los factores.
El número de diferentes $n$ -Las representaciones fraccionarias egipcias del término uno están limitadas superior e inferiormente por funciones exponenciales dobles de $n$ . ^{[ 19 ]}
El número de diferentes representaciones fraccionarias egipcias del número uno con denominador máximo en la mayoría de los casos $n$ está acotado superior e inferiormente por una función de la forma $2^{cn+o(n)},$ para $c\approx 0.91117$ . De manera más general, para cada número racional $x$ , existe un límite de la misma forma pero con una constante diferente $c$ , Dependiendo de $x$ . ^{[ 20 ]}

Problemas abiertos

A pesar de los considerables esfuerzos de los matemáticos, siguen sin resolverse algunos problemas importantes relacionados con las fracciones egipcias.

La conjetura de Erdős-Straus ^{[ 17 ]} se refiere a la longitud de la expansión más corta para una fracción de la forma ⁠ 4 / n ⁠ . ¿Una expansión ${\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}$ ¿Existe para cada n ? Se sabe que es cierto para todo n < 10 ¹⁷ y para todos los valores posibles de n , excepto una fracción ínfima , pero la verdad general de la conjetura sigue siendo desconocida.
Se desconoce si existe una expansión voraz impar para cada fracción con denominador impar. Si el método voraz de Fibonacci se modifica de manera que siempre elija el denominador impar más pequeño posible , ¿bajo qué condiciones este algoritmo modificado produce una expansión finita? Una condición necesaria obvia es que la fracción inicial ⁠ x / y ⁠ tenga un denominador impar y , y se conjetura, pero no se sabe, que esta también es una condición suficiente. Se sabe ^[²¹^] que cada ⁠ x / y ⁠ con y impar tiene una expansión en fracciones unitarias impares distintas, construida utilizando un método diferente al del algoritmo voraz.
Es posible utilizar algoritmos de búsqueda por fuerza bruta para hallar la representación fraccionaria egipcia de un número dado con el menor número de términos posible ^{[ 22 ]} o minimizando el denominador más grande; sin embargo, dichos algoritmos pueden ser bastante ineficientes. Se desconoce la existencia de algoritmos de tiempo polinomial para estos problemas, o, más generalmente, la complejidad computacional de los mismos.

Guy (2004) describe estos problemas con más detalle y enumera numerosos problemas abiertos adicionales.

Véase también

Notas

^ Dick y Ogle (2018) ; Koshaleva y Kreinovich (2021)
↑ Wilson et al. (2011) .
↑ Winkler (2004) .
↑ Ritter (2002) . Véase también Katz (2007) y Robson & Stedall (2009) .
↑ Hultsch (1895) ; Bruins (1957)
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↑ Sigler (2002) , capítulo II.7
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Enlaces externos

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