Modelo Ehrenfest

El modelo de Ehrenfest (o modelo perro-pulga ) de difusión fue propuesto por Tatiana y Paul Ehrenfest para explicar la segunda ley de la termodinámica . ^{[ 1 ] [ 2 ]} El modelo considera N partículas en dos recipientes. Las partículas cambian de recipiente independientemente a una tasa λ . Si X ( t ) = i se define como el número de partículas en un recipiente en el tiempo t , entonces es un proceso de nacimiento-muerte con tasas de transición  

• ${\displaystyle q_{i,i-1}=i\,\lambda }$para i = 1, 2, ..., N
• ${\displaystyle q_{i,i+1}=(Ni\,)\lambda }$para i = 0, 1, ..., N – 1

y distribución de equilibrio${\displaystyle \pi _{i}=2^{-N}{\tbinom {N}{i}}}$.

Mark Kac demostró en 1947 que si el estado inicial del sistema no es de equilibrio, entonces la entropía , dada por

${\displaystyle H(t)=-\sum _{i}P(X(t)=i)\log \left({\frac {P(X(t)=i)}{\pi _{i}}}\right),}$

es monótonamente creciente ( teorema H ). Esto es consecuencia de la convergencia a la distribución de equilibrio.

Consideremos que al principio todas las partículas están en uno de los recipientes. Se espera que con el tiempo el número de partículas en este recipiente se aproxime.${\displaystyle N/2}$y estabilizarse cerca de ese estado (los contenedores tendrán aproximadamente el mismo número de partículas). Sin embargo, desde un punto de vista matemático, volver al estado inicial es posible (incluso casi seguro). Del teorema de recurrencia media se deduce que incluso el tiempo esperado para volver al estado inicial es finito, y es${\displaystyle 2^{N}}$. Utilizando la aproximación de Stirling, se encuentra que si partimos del equilibrio (igual número de partículas en los recipientes), el tiempo esperado para volver al equilibrio es asintóticamente igual a${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\pi N/2}}}$. Si suponemos que las partículas cambian de contenedor a una tasa de uno por segundo, en el caso particular de${\displaystyle N=100}$partículas, partiendo del equilibrio, se espera que el retorno al equilibrio ocurra en${\displaystyle 13}$segundos, mientras se inicia en la configuración${\displaystyle 100}$en uno de los contenedores,${\displaystyle 0}$Por otro lado, se espera que el regreso a ese estado tome${\displaystyle 4\cdot 10^{22}}$años. Esto supone que, si bien es teóricamente cierto, es improbable que se observe una recurrencia al estado inicial altamente desproporcionado.

• Paul y Tatjana Ehrenfest: Über doswei bekannte Einwände gegen das Boltzmannsche H-Theorem. Physikalische Zeitschrift , vol. 8 (1907) , págs.  311–314. ^{[ 1 ]}
• FP Kelly : El modelo de Ehrenfest , en Reversibilidad y redes estocásticas . Wiley, Chichester, 1979. ISBN 0-471-27601-4págs.  17–20. ^{[ 3 ]}
• David O. Siegmund: modelo de difusión de Ehrenfest (matemáticas) . Enciclopedia Británica . ^{[ 4 ]}

• Anillo Kac
• Proceso de Ornstein-Uhlenbeck