Hispanopedia WikiEn matemáticas, una forma propia (que significa forma propia de Hecke simultánea con grupo modular SL(2, Z )) es una forma modular que es un vector propio para todos los operadores de Hecke T m , m = 1, 2, 3, ....
Las formas propias pertenecen al ámbito de la teoría de números , pero también se pueden encontrar en otras áreas de las matemáticas y la ciencia, como el análisis , la combinatoria y la física . Ejemplos comunes de formas propias, y las únicas no cuspidales, son las de la serie de Eisenstein . Otro ejemplo es la función Δ .
Normalización
Existen dos normalizaciones diferentes para una forma propia (o para una forma modular en general).
Normalización algebraica
Se dice que una forma propia está normalizada cuando se escala de manera que el coeficiente q en su serie de Fourier sea uno:
donde q = e 2 π iz . Como la función f también es un vector propio bajo cada operador de Hecke T i , tiene un valor propio correspondiente. Más específicamente, a i , i ≥ 1 resulta ser el valor propio de f correspondiente al operador de Hecke T i . En el caso de que f no sea una forma cúspide, los valores propios se pueden dar explícitamente. [ 1 ]
Normalización analítica
Una forma propia que es cuspidal puede normalizarse con respecto a su producto interno :
Existencia
La existencia de autoformas es un resultado no trivial, pero se deriva directamente del hecho de que el álgebra de Hecke es conmutativa.
niveles superiores
En el caso de que el grupo modular no sea el SL(2, Z ) completo, no hay un operador de Hecke para cada n ∈ Z , y como tal la definición de una forma propia cambia en consecuencia: una forma propia es una forma modular que es un vector propio simultáneo para todos los operadores de Hecke que actúan en el espacio.
Referencias
- Formas modulares