Valores propios y vectores propios

La ecuación ( 2 ) tiene una solución no nula v si y solo si el determinante de la matriz ( A − λI ) es cero. Por lo tanto, los valores propios de A son valores de λ que satisfacen la ecuación.

Utilizando la fórmula de Leibniz para determinantes , el lado izquierdo de la ecuación ( 3 ) es una función polinómica de la variable λ y el grado de este polinomio es n , el orden de la matriz A. Sus coeficientes dependen de las entradas de A , excepto que su término de grado n es siempre (−1) ⁿ λ ⁿ . Este polinomio se llama polinomio característico de A. La ecuación ( 3 ) se llama ecuación característica o ecuación secular de A.

El polinomio característico de una matriz A de n × n , al ser un polinomio de grado n , tiene como máximo n raíces complejas , las cuales se pueden encontrar factorizando el polinomio característico o numéricamente mediante la búsqueda de raíces. El polinomio característico se puede factorizar en el producto de n términos lineales:

donde los números complejos λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n , cada uno de los cuales es un valor propio, pueden repetirse. (El número de veces que un valor propio aparece en el polinomio característico se conoce como su multiplicidad algebraica ).

Como ejemplo breve, que se describe con más detalle en la sección de ejemplos más adelante, considere la matriz $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.}$$ Tomando el determinante de ( A − λI ) , el polinomio característico de A es $${\displaystyle \det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}.}$$ Igualando a cero el polinomio característico, tiene raíces en λ = 1 y λ = 3 , que son los dos autovalores de A. Los autovectores correspondientes a cada autovalor λ se pueden encontrar resolviendo para las componentes de v en la ecuación ( A − λI ) v = 0. En este ejemplo, los autovectores son cualquier múltiplo escalar distinto de cero de $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.}$$

Si las entradas de la matriz A son todas números reales, entonces los coeficientes del polinomio característico también serán números reales, pero los autovalores aún pueden tener partes imaginarias distintas de cero. Por lo tanto, las entradas de los autovectores correspondientes también pueden tener partes imaginarias distintas de cero. De manera similar, los autovalores pueden ser números irracionales incluso si todas las entradas de A son números racionales o incluso si todas son números enteros. Sin embargo, si las entradas de A son todas números algebraicos , incluidos los racionales, entonces los autovalores también deben ser números algebraicos.

Las raíces no reales de un polinomio real con coeficientes reales se pueden agrupar en pares de conjugados complejos , es decir, donde los dos miembros de cada par tienen partes imaginarias que difieren solo en signo y la misma parte real. Si el grado es impar, entonces, por el teorema del valor intermedio, al menos una de las raíces es real. Por lo tanto, cualquier matriz real de orden impar tiene al menos un valor propio real, mientras que una matriz real de orden par puede no tener ningún valor propio real. Los vectores propios asociados a estos valores propios complejos también son complejos y aparecen en pares de conjugados complejos.

El espectro de una matriz es la lista de sus valores propios, repetidos según sus multiplicidades; en una notación más corta, el conjunto de sus valores propios con sus multiplicidades indicadas.

Una magnitud importante asociada al espectro de una matriz es el valor absoluto máximo de todos sus autovalores. Esto se conoce como el radio espectral de la matriz en cuestión.

Sea λ _i un valor propio de una matriz A de n × n . La multiplicidad algebraica μ _A ( λ _i ) del valor propio es su multiplicidad como raíz del polinomio característico, es decir, el mayor entero k tal que ( λ _i − λ ) ^k divide exactamente a dicho polinomio. ^{[ 9 ] [ 25 ] [ 26 ]}

Supongamos que una matriz A tiene orden n y d ≤ n autovalores distintos. Mientras que la ecuación ( 4 ) factoriza el polinomio característico de A en el producto de n términos lineales con algunos términos que potencialmente se repiten, el polinomio característico también puede escribirse como el producto de d términos, cada uno correspondiente a un autovalor distinto y elevado a la potencia de la multiplicidad algebraica: $${\displaystyle \det(A-\lambda I)=(\lambda _{1}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{1})}(\lambda _{2}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{2})}\cdots (\lambda _{d}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{d})}.}$$ Si d = n , entonces el lado derecho es el producto de n términos lineales, y esto es lo mismo que la ecuación ( 4 ). El tamaño de la multiplicidad algebraica de cada autovalor está relacionado con la dimensión n como $${\displaystyle {\begin{aligned}1&\leq \mu _{A}(\lambda _{i})\leq n,\\\mu _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\mu _{A}\left(\lambda _{i}\right)=n.\end{aligned}}}$$ Si μ _A ( λ _i ) = 1 , entonces se dice que λ _{i es un} autovalor simple . ^{[ 26 ]} Si μ _A ( λ _i ) es igual a la multiplicidad geométrica de λ _i (denotada por γ _A ( λ _i ) y definida en la siguiente sección), entonces se dice que λ _i es un autovalor semisimple .

Dado un valor propio particular${\displaystyle \lambda }$del​​${\displaystyle n\times n}$matriz​​${\displaystyle A}$⁠ , define el conjunto ⁠${\displaystyle E}$ser todos vectores${\displaystyle \mathbf {v} }$que satisfacen la ecuación ( 2 ): $${\displaystyle E=\left\{\mathbf {v}$$ :\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} \right\}.} Por un lado, ⁠${\displaystyle E}$es precisamente el núcleo o espacio nulo de la matriz${\displaystyle A-\lambda I}$Por otro lado, por definición, cualquier vector distinto de cero que satisfaga esta condición es un vector propio de .${\displaystyle A}$asociado con​${\displaystyle \lambda }$; así que${\displaystyle E}$es la unión del vector cero con el conjunto de todos los autovectores de${\displaystyle A}$asociado con​${\displaystyle \lambda }$⁠ . El espacio ⁠${\displaystyle E}$Se denomina espacio propio o espacio característico de${\displaystyle A}$asociado con​${\displaystyle \lambda }$⁠ . ^{[ 27 ] [ 9 ]} En general, ⁠${\displaystyle \lambda }$es un número complejo y los vectores propios son complejos .${\displaystyle n\times 1}$Matrices (vectores columna). Dado que cada espacio nulo es un subespacio lineal del dominio ,${\displaystyle E}$es un subespacio lineal de${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$⁠ .

Porque el espacio propio${\displaystyle E}$Si es un subespacio lineal, es cerrado bajo la suma. Es decir, si dos vectores${\displaystyle \mathbf {u} }$y​​${\displaystyle \mathbf {v} }$pertenecen al conjunto${\displaystyle E}$, escrito​${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in E}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} \in E}$⁠ , o equivalentemente ⁠${\displaystyle A(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} )}$Esto se puede comprobar utilizando la propiedad distributiva de la multiplicación de matrices. De manera similar, porque${\displaystyle E}$Si es un subespacio lineal, es cerrado bajo la multiplicación escalar. Es decir, si${\displaystyle \mathbf {v} \in E}$y​​${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle \alpha \mathbf {v} \in E}$⁠ , o equivalentemente ⁠${\displaystyle A(\alpha \mathbf {v} )=\lambda (\alpha \mathbf {v} )}$Esto se puede comprobar observando que la multiplicación de matrices complejas por números complejos es conmutativa . Siempre que${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} }$y​​${\displaystyle \alpha \mathbf {v} }$⁠ no son cero, también son autovectores de ⁠${\displaystyle A}$asociado con​${\displaystyle \lambda }$⁠ .

La dimensión del espacio propio${\displaystyle E}$asociado con​${\displaystyle \lambda }$⁠ , o equivalentemente el número máximo de autovectores linealmente independientes asociados con ⁠${\displaystyle \lambda }$⁠ , se denomina multiplicidad geométrica del valor propio y se denota por ⁠${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )}$⁠ . Porque ⁠${\displaystyle E}$⁠ es también el espacio nulo de ⁠${\displaystyle A-\lambda I}$⁠ , la multiplicidad geométrica de ⁠${\displaystyle \lambda }$es la dimensión del espacio nulo de${\displaystyle A-\lambda I}$⁠ , también llamada la nulidad de ⁠${\displaystyle A-\lambda I}$⁠ . Esta cantidad está relacionada con el tamaño y el rango de ⁠${\displaystyle A-\lambda I}$mediante la ecuación :$${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )=n-\operatorname {rank} (A-\lambda I).}$$ Debido a la definición de autovalores y autovectores, la multiplicidad geométrica de un autovalor debe ser al menos uno, es decir, cada autovalor tiene al menos un autovector asociado. Además, la multiplicidad geométrica de un autovalor no puede exceder su multiplicidad algebraica. Adicionalmente, recuerde que la multiplicidad algebraica de un autovalor no puede exceder${\displaystyle n}$⁠ . En resumen, $${\displaystyle 1\leq \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )\leq n.}$$

Demostración de la desigualdad${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )}$⁠ : Sea B = A − λI , donde λ es un número complejo fijo, y el espacio propio asociado a λ es el espacio nulo de B . Sea la dimensión de ese espacio propio ⁠${\displaystyle k=\gamma _{A}(\lambda )}$Esto significa que las últimas k filas de la forma escalonada de B son cero. Por lo tanto, existe una matriz invertible E proveniente de la reducción de Gauss-Jordan, tal que $${\displaystyle EB={\begin{bmatrix}*&*\\\mathbf {0} _{k\times (n-k)}&\mathbf {0} _{k\times k}\end{bmatrix}}.}$$ Por lo tanto, las últimas k filas de EB − tE son (− t ) veces las últimas k filas de E . Por lo tanto, el polinomio t ^k divide exactamente al polinomio det( EB − tE ) , debido a las propiedades básicas de los determinantes (homogeneidad). Por otro lado, det( EB − tE ) = det E det( B − tI ) = p _A ( t + λ ) det E , por lo que ( t − λ ) ^k divide a p _A ( t ) , y por lo tanto la multiplicidad algebraica de λ es al menos ⁠${\displaystyle k}$QED​

Supongamos que A tiene d ≤ n valores propios distintos λ ₁ , ..., λ _d , donde la multiplicidad geométrica de λ _i es γ _A ( λ _i ) . La multiplicidad geométrica total de A , $${\displaystyle \gamma _{A}=\sum _{i=1}^{d}\gamma _{A}(\lambda _{i}),}$$ es la dimensión de la suma de todos los autoespacios de los autovalores de A , o equivalentemente el número máximo de autovectores linealmente independientes de A. Por construcción ,${\displaystyle d\leq \gamma _{A}\leq n}$⁠ . Si ⁠${\displaystyle \gamma _{A}=n}$⁠ , entonces:

• La suma directa de los autoespacios de todos los autovalores de A es todo el espacio vectorial .${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$⁠ .
• Una base de${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$se puede formar a partir de n autovectores linealmente independientes de A ; dicha base se denomina autobase .
• Cualquier vector en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$se puede escribir como una combinación lineal de los autovectores de A.

Sea A una matriz arbitraria n × n de números complejos con autovalores λ ₁ , ..., λ _n . Cada autovalor aparece μ _A ( λ _i ) veces en esta lista, donde μ _A ( λ _i ) es la multiplicidad algebraica del autovalor. Las siguientes son propiedades de esta matriz y sus autovalores:

• El rastro de​${\displaystyle A}$⁠ , definida como la suma de sus elementos diagonales, es también la suma de todos sus autovalores: ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]}$${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}.}$$
• El determinante de​${\displaystyle A}$es el producto de todos sus autovalores: ^{[ 28 ] [ 31 ] [ 32 ]}$${\displaystyle \det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}$$
• Para cualquier entero positivo${\displaystyle k}$⁠ , los valores propios de los ⁠${\displaystyle k}$⁠ enésima potencia de ⁠${\displaystyle A}$⁠ , es decir, ⁠${\displaystyle A^{k}}$⁠ , son ⁠${\displaystyle \lambda _{1}^{k},\ldots ,\lambda _{n}^{k}}$⁠ .
• Los valores propios de la matriz ⁠${\displaystyle A+I}$( donde​${\displaystyle I}$( es la matriz identidad) son${\displaystyle \lambda _{1}+1,\ldots ,\lambda _{n}+1}$⁠ . Además, para cualquier ⁠${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$, los valores propios de la matriz${\displaystyle A+\alpha I}$son​​${\displaystyle \lambda _{1}+\alpha ,\ldots ,\lambda _{n}+\alpha }$⁠ .
• De forma más general, para cualquier polinomio ⁠${\displaystyle P}$, los valores propios de la matriz${\displaystyle P(A)}$son​​${\displaystyle P(\lambda _{1}),\ldots ,P(\lambda _{n})}$⁠ .
• ⁠${\displaystyle A}$es invertiblesi y solo si cada valor propio${\displaystyle \lambda _{i}}$es distinto de cero.
• Si​${\displaystyle A}$Si es invertible, entonces los valores propios de${\displaystyle A^{-1}}$son​${\textstyle {\frac {1}{\lambda _{1}}},\ldots ,{\frac {1}{\lambda _{n}}}}$y para cada par de autovalores correspondientes, las multiplicidades geométricas${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda _{i})}$y​${\textstyle \gamma _ {A^{-1}}({1 \over \lambda _ {i}})}$coinciden. Además, dado que el polinomio característico del inverso es el polinomio recíproco del original salvo un factor escalar, para cada par de autovalores correspondientes, las multiplicidades algebraicas${\displaystyle \mu _{A}(\lambda _{i})}$y​${\textstyle \mu _{A^{-1}}({1 \over \lambda _{i}})}$coincidir.
• Si​${\displaystyle A}$es igual a su transpuesta conjugada${\displaystyle A^{*}}$⁠ , es decir, ⁠${\displaystyle A}$Si es hermitiana , entonces cada valor propio${\displaystyle \lambda _{i}}$es real. Lo mismo ocurre con cualquiermatriz real simétrica .
• Si​${\displaystyle A}$Si no solo es hermitiana sino también definida positiva , semidefinida positiva, definida negativa o semidefinida negativa, entonces cada valor propio${\displaystyle \lambda _{i}}$es positivo, no negativo, negativo o no positivo, respectivamente.
• Si​${\displaystyle A}$Si es unitaria , entonces cada valor propio${\displaystyle \lambda _{i}}$tiene valor absoluto${\displaystyle \vert \lambda _{i}\vert =1}$⁠ .

Muchas disciplinas tradicionalmente representan los vectores como matrices con una sola columna en lugar de como matrices con una sola fila. Por esa razón, la palabra "vector propio" en el contexto de matrices casi siempre se refiere a un " vector propio derecho ", es decir, un vector columna que multiplica por la derecha la matriz n × n A en la ecuación de definición, ecuación ( 1 ), $${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} .}$$ El problema de valores y vectores propios también se puede definir para vectores fila que multiplican por la izquierda la matriz A. En esta formulación, la ecuación definitoria es $${\displaystyle \mathbf {u} A=\kappa \mathbf {u} ,}$$ donde κ es un escalar y u es una matriz de 1 × n . Cualquier vector fila u que satisfaga esta ecuación se denomina ' vector propio izquierdo ' de A , y κ sigue denominándose su valor propio asociado. Tomando la transpuesta de esta ecuación, $${\displaystyle A^{\mathsf {T}}\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}=\kappa \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}.}$$

Comparando esta ecuación con la ecuación ( 1 ), se deduce inmediatamente que un vector propio izquierdo de${\displaystyle A}$es lo mismo que la transpuesta de un vector propio derecho de${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$⁠ , con el mismo valor propio. Además, dado que el polinomio característico de ⁠${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$es lo mismo que el polinomio característico de${\displaystyle A}$⁠ , los autovectores izquierdo y derecho de ⁠${\displaystyle A}$están asociados con los mismos valores propios.

Una matriz tiene los mismos valores propios que su transpuesta, como se puede ver directamente a continuación. Supongamos que${\displaystyle \lambda }$es un valor propio de un${\displaystyle n\times n}$matriz​​${\displaystyle A}$con vector propio${\displaystyle x}$⁠ . Entonces ⁠${\displaystyle Ax=\lambda x}$; equivalentemente ,${\displaystyle (A-\lambda I)x=0}$⁠ .

Así, las columnas de ⁠${\displaystyle (A-\lambda I)}$son linealmente dependientes. Equivalentemente, el rango de la matriz es menor que${\displaystyle n}$⁠ .

Pero como el rango de columna es igual al rango de fila, las filas también son linealmente dependientes. Por lo tanto, hay números${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}}$⁠ , no todos cero, de tal manera que${\textstyle \sum _ {i=1}^{i=n}y_ {i}R_ {i}=0,}$donde el ⁠${\displaystyle R_{i}}$⁠ 's son las filas de ⁠${\displaystyle (A-\lambda I)}$⁠ . Sea el vector fila ⁠${\ Displaystyle y = (y_ {1}, y_ {2}, \ ldots, y_ {n})}$; entonces​${\displaystyle y\,(A-\lambda I)=0}$⁠ . Tomando la transpuesta, ⁠${\displaystyle (A^{\mathsf {T}}-\lambda I)\,y^{\mathsf {T}}=0}$⁠ . Además, ⁠${\displaystyle y^{\mathsf {T}}}$⁠ no es el vector cero; por lo tanto ⁠${\displaystyle \lambda }$⁠ también es un valor propio de ⁠${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$⁠ .

Además, este argumento muestra que los valores propios de${\displaystyle A}$y${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$tienen la misma multiplicidad geométrica (ya que la nulidad de columna es igual a la nulidad de fila).

Supongamos que los autovectores de A forman una base de ⁠${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$⁠ , o equivalentemente A tiene n autovectores linealmente independientes v ₁ , v ₂ , ..., v _n (con autovalores asociados λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n ). Los autovectores no tienen por qué ser ortogonales entre sí, y los autovalores no tienen por qué ser distintos. Definimos la matriz cuadrada Q cuyas columnas son los n autovectores linealmente independientes de A , $${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}.}$$ Dado que cada columna de Q es un vector propio de A , al multiplicar A por Q por la derecha , cada columna de Q se escala por su valor propio asociado: $${\displaystyle AQ={\begin{bmatrix}\lambda _ {1}\mathbf {v} _ {1}&\lambda _ {2}\mathbf {v} _ {2}&\cdots &\lambda _ {n}\mathbf {v} _ {n}\end{bmatrix}}.}$$

Teniendo esto en cuenta, definimos la matriz diagonal Λ donde cada elemento diagonal Λ _ii es el valor propio asociado con la i -ésima columna de Q. Entonces $${\displaystyle AQ=Q\varLambda .}$$ Debido a que las columnas de Q son linealmente independientes, Q es invertible. Multiplicando ambos lados de la ecuación por Q ⁻¹ , $${\displaystyle A=Q\varLambda Q^{-1};}$$ o bien, dejando ambos lados multiplicados por Q ⁻¹ , $${\displaystyle Q^{-1}AQ=\varLambda .}$$Por lo tanto, A puede descomponerse en una matriz compuesta por sus autovectores, una matriz diagonal con sus autovalores en la diagonal y la inversa de la matriz de autovectores. Esto se denomina descomposición en autovalores ; es una transformación de semejanza . Se dice que dicha matriz A es similar a la matriz diagonal Λ , o diagonalizable . La matriz Q es la matriz de cambio de base de la transformación de semejanza. En esencia, las matrices A y Λ representan la misma transformación lineal expresada en dos bases diferentes. Los autovectores se utilizan como base al representar la transformación lineal como Λ .

Por el contrario, supongamos que una matriz A es diagonalizable. Sea P una matriz cuadrada no singular tal que P ⁻¹ AP es alguna matriz diagonal D. Multiplicando por la izquierda ambas por P se obtiene AP = PD . Por lo tanto, cada columna de P debe ser un vector propio de A cuyo valor propio es el elemento diagonal correspondiente de D. Dado que las columnas de P deben ser linealmente independientes para que P sea invertible, existen n vectores propios linealmente independientes de A.

En conclusión, los autovectores de ⁠${\displaystyle A}$⁠ forman una base de ⁠${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$⁠ si y solo si ⁠${\displaystyle A}$es diagonalizable.

Una matriz que no es diagonalizable se denomina defectuosa . Para matrices defectuosas, la noción de autovectores se generaliza a autovectores generalizados y la matriz diagonal de autovalores se generaliza a la forma normal de Jordan . Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, cualquier matriz A tiene una forma normal de Jordan y, por lo tanto, admite una base de autovectores generalizados y una descomposición en autoespacios generalizados .

En el caso hermitiano , los autovalores pueden caracterizarse variacionalmente. El mayor autovalor de H es el valor máximo de la forma cuadrática x ^T H x / x ^T x . Un valor de x que alcanza ese máximo es un autovector.

Para una matriz hermitiana A , la norma al cuadrado del componente α de un vector propio normalizado se puede calcular utilizando únicamente los valores propios de la matriz y los valores propios de la matriz menor correspondiente . $${\displaystyle |v_{i\alpha }|^{2}={\frac {\prod _{k}{(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A_{\alpha }))}}{\prod _{k\neq i}{(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A))}}},}$$ donde​${\displaystyle A_{\alpha }}$es la submatriz formada al eliminar lafila y columna α de la matriz original. ^{[ 33 ] [ 34 ]} Esta identidad también se extiende a matrices diagonalizables . Fue descubierta en ^{[ 35 ]} y redescubierta muchas veces en la literatura (véase, por ejemplo, ^{[ 34 ] [ 36 ]} ).

Consideremos el operador derivativo.${\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}}$con ecuación de valores propios $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).}$$ Esta ecuación diferencial se puede resolver multiplicando ambos lados por dt / f ( t ) e integrando . Su solución es la función exponencial.$${\displaystyle f(t)=f(0)e^{\lambda t},}$$ es la autofunción del operador derivada. En este caso, la autofunción es a su vez una función de su autovalor asociado. En particular, para λ = 0, la autofunción f ( t ) es una constante.

Dado un valor propio λ , considere el conjunto $${\displaystyle E=\left\{\mathbf {v} :T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} \right\},}$$ que es la unión del vector cero con el conjunto de todos los autovectores asociados con λ . E se llama el ' autoespacio ' o ' espacio característico ' de T asociado con λ . ^{[ 39 ]} Es el núcleo de la transformación lineal T − λI .  

Por definición de una transformación lineal, $${\displaystyle {\begin{aligned}T(\mathbf {x} +\mathbf {y} )&=T(\mathbf {x} )+T(\mathbf {y} ),\\T(\alpha \mathbf {x} )&=\alpha T(\mathbf {x} ),\end{aligned}}}$$ para x , y ∈ V y α ∈ K . Por lo tanto, si u y v son autovectores de T asociados con el autovalor λ , es decir u , v ∈ E , entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )&=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} ),\\T(\alpha \mathbf {v} )&=\lambda (\alpha \mathbf {v} ).\end{aligned}}}$$ Así pues, tanto u + v como α v son cero o vectores propios de T asociados a λ , es decir, u + v , α v ∈ E , y E es cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar. El espacio propio E asociado a λ es , por consiguiente, un subespacio lineal de V. ^{[ 40 ]} Si ese subespacio tiene dimensión 1, a veces se le denomina « línea propia ». ^{[ 41 ]}

La « multiplicidad geométrica » γ _T ( λ ) de un valor propio λ es la dimensión del espacio propio asociado con λ , es decir, el número máximo de vectores propios linealmente independientes asociados con ese valor propio. ^{[ 42 ]} Por definición de valores propios y vectores propios, γ _T ( λ ) ≥ 1 porque cada valor propio tiene al menos un vector propio.

Los autoespacios de T siempre forman una suma directa . En consecuencia, los autovectores de diferentes autovalores son siempre linealmente independientes. Por lo tanto, la suma de las dimensiones de los autoespacios no puede exceder la dimensión n del espacio vectorial sobre el que opera T , y no puede haber más de n autovalores distintos. ^{[ d ]}

Cualquier subespacio generado por los autovectores de T es un subespacio invariante de T , y la restricción de T a dicho subespacio es diagonalizable. Además, si todo el espacio vectorial V puede ser generado por los autovectores de T , o equivalentemente, si la suma directa de los autoespacios asociados a todos los autovalores de T es todo el espacio vectorial V , entonces se puede formar una base de V, denominada « base de autovectores », a partir de autovectores linealmente independientes de T. Cuando T admite una base de autovectores, T es diagonalizable.

Si λ es un valor propio de T , entonces el operador ( T − λI ) no es biyectivo y, por lo tanto, su inverso ( T − λI ) ⁻¹ no existe. Lo contrario es cierto para espacios vectoriales de dimensión finita, pero no para espacios vectoriales de dimensión infinita. En general, el operador ( T − λI ) puede no tener inverso incluso si λ no es un valor propio.

Por esta razón, en el análisis funcional , los autovalores pueden generalizarse al espectro de un operador lineal T como el conjunto de todos los escalares λ para los cuales el operador ( T − λI ) no tiene inverso acotado . El espectro de un operador siempre contiene todos sus autovalores, pero no se limita a ellos.

Se puede generalizar el objeto algebraico que actúa sobre el espacio vectorial, reemplazando un operador individual que actúa sobre dicho espacio por una representación algebraica : un álgebra asociativa que actúa sobre un módulo . El estudio de tales acciones constituye el campo de la teoría de la representación . 

El concepto de peso, propio de la teoría de la representación, es análogo a los valores propios, mientras que los vectores de peso y los espacios de peso son análogos a los vectores propios y los espacios propios, respectivamente.

El haz propio de Hecke es un tensor múltiplo de sí mismo y se considera en la correspondencia de Langlands .

El método clásico consiste en hallar primero los valores propios y, a continuación, calcular los vectores propios para cada valor propio. Sin embargo, resulta poco adecuado en varios aspectos para aritmética no exacta, como la de punto flotante .

El enfoque inverso, que consiste en buscar primero los autovectores y luego determinar cada autovalor a partir de su autovector, resulta ser mucho más manejable para las computadoras. El algoritmo más sencillo consiste en elegir un vector inicial arbitrario y luego multiplicarlo repetidamente por la matriz (opcionalmente normalizando el vector para mantener sus elementos de tamaño razonable); esto hace que el vector converja hacia un autovector. Una variación consiste en multiplicar el vector por ( A − μI ) ⁻¹ ; esto hace que converja a un autovector del autovalor más cercano a${\displaystyle \mu \in \mathbb {C} }$.

Si v es (una buena aproximación de) un vector propio de A , entonces el valor propio correspondiente se puede calcular como $${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} }{\mathbf {v} ^{*}\mathbf {v} }}}$$ donde v ^∗ denota la transpuesta conjugada de v .

Hasta que se diseñó el algoritmo QR en 1961 , no se conocían métodos eficientes y precisos para calcular los autovalores y autovectores de matrices arbitrarias. ^{[ 43 ]} La combinación de la transformación de Householder con la descomposición LU da como resultado un algoritmo con mejor convergencia que el algoritmo QR. Para matrices dispersas hermíticas grandes , el algoritmo de Lanczos es un ejemplo de un método iterativo eficiente para calcular los autovalores y autovectores, entre otras posibilidades. ^{[ 43 ]}

La mayoría de los métodos numéricos que calculan los valores propios de una matriz también determinan un conjunto de vectores propios correspondientes como resultado secundario del cálculo, aunque a veces quienes los implementan optan por descartar la información de los vectores propios tan pronto como ya no sea necesaria.

Los autovectores y autovalores pueden ser útiles para comprender las transformaciones lineales de figuras geométricas. La siguiente tabla presenta algunos ejemplos de transformaciones en el plano junto con sus matrices de 2 × 2 , autovalores y autovectores.

La ecuación característica de una rotación es una ecuación cuadrática con discriminante D = −4(sin θ ) ² , que es un número negativo siempre que θ no sea un múltiplo entero de π (180°). Por lo tanto, salvo en estos casos especiales, los dos autovalores son números complejos, cos θ ± i sin θ ; y todos los autovectores tienen entradas no reales. En efecto, salvo en esos casos especiales, una rotación cambia la dirección de todo vector distinto de cero en el plano.

Una transformación lineal que convierte un cuadrado en un rectángulo de la misma área (una transformación de compresión ) tiene valores propios recíprocos.

La descomposición en valores propios de una matriz simétrica semidefinida positiva (PSD) produce una base ortogonal de vectores propios, cada uno con un valor propio no negativo. La descomposición ortogonal de una matriz PSD se utiliza en el análisis multivariante , donde las matrices de covarianza muestrales son PSD. Esta descomposición ortogonal se denomina análisis de componentes principales (ACP) en estadística. El ACP estudia las relaciones lineales entre variables. El ACP se realiza sobre la matriz de covarianza o la matriz de correlación (en la que cada variable se escala para que su varianza muestral sea igual a uno). Para la matriz de covarianza o correlación, los vectores propios corresponden a los componentes principales y los valores propios a la varianza explicada por los componentes principales. El análisis de componentes principales de la matriz de correlación proporciona una base ortogonal para el espacio de los datos observados: en esta base, los valores propios más grandes corresponden a los componentes principales que están asociados con la mayor parte de la covariabilidad entre varios datos observados.

El análisis de componentes principales se utiliza como método de reducción de dimensionalidad en el estudio de grandes conjuntos de datos , como los que se encuentran en bioinformática . En la metodología Q , los autovalores de la matriz de correlación determinan el criterio del metodólogo Q sobre la significación práctica (que difiere de la significación estadística de la prueba de hipótesis ; véase criterios para determinar el número de factores ). De forma más general, el análisis de componentes principales puede utilizarse como método de análisis factorial en el modelado de ecuaciones estructurales .

En la teoría espectral de grafos , un valor propio de un grafo se define como un valor propio de la matriz de adyacencia A del grafo , o (de forma creciente) de la matriz laplaciana del grafo debido a su operador laplaciano discreto , que es D − A (a veces llamado laplaciano combinatorio ) o I − D ^−1/2 AD ^−1/2 (a veces llamado laplaciano normalizado ), donde D es una matriz diagonal con D _ii igual al grado del vértice v _i , y en D ^−1/2 , la i- ésima entrada diagonal es${\textstyle 1/{\sqrt {\deg(v_{i})}}}$El k -ésimo vector propio principal de un grafo se define como el vector propio correspondiente al k -ésimo valor propio más grande o al k -ésimo valor propio más pequeño del laplaciano. El primer vector propio principal del grafo también se denomina simplemente vector propio principal.

El vector propio principal se utiliza para medir la centralidad de sus vértices. Un ejemplo es el algoritmo PageRank de Google . El vector propio principal de una matriz de adyacencia modificada del grafo de la World Wide Web proporciona los PageRank como sus componentes. Este vector corresponde a la distribución estacionaria de la cadena de Markov representada por la matriz de adyacencia normalizada por filas; sin embargo, la matriz de adyacencia debe modificarse previamente para garantizar la existencia de una distribución estacionaria. El segundo vector propio más pequeño puede utilizarse para particionar el grafo en clústeres mediante agrupamiento espectral . También existen otros métodos para el agrupamiento.

Una cadena de Markov se representa mediante una matriz cuyas entradas son las probabilidades de transición entre los estados de un sistema. En particular, las entradas son no negativas y la suma de cada fila de la matriz es igual a uno, siendo esta la suma de las probabilidades de transición de un estado a otro del sistema. El teorema de Perron-Frobenius proporciona condiciones suficientes para que una cadena de Markov tenga un único valor propio dominante, que determina la convergencia del sistema a un estado estacionario.

Los problemas de valores propios aparecen de forma natural en el análisis de vibraciones de estructuras mecánicas con muchos grados de libertad . Los valores propios son las frecuencias naturales (o " autofrecuencias ") de vibración, y los vectores propios son las formas de estos modos de vibración. En particular, la vibración no amortiguada se rige por $${\displaystyle m{\ddot {x}}+kx=0}$$ o $${\displaystyle m{\ddot {x}}=-kx}$$

Es decir, la aceleración es proporcional a la posición (es decir, esperamos que x sea sinusoidal en el tiempo).

En n dimensiones, m se convierte en una matriz de masa y k en una matriz de rigidez . Las soluciones admisibles son entonces una combinación lineal de soluciones al problema generalizado de valores propios.$${\displaystyle kx=\omega ^{2}mx}$$ donde ω ² es el valor propio y ω es la frecuencia angular (imaginaria) . Los modos de vibración principales son diferentes de los modos de cumplimiento principales, que son los vectores propios de k solamente. Además, la vibración amortiguada , gobernada por $${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0}$$ conduce a un llamado problema de valores propios cuadráticos , $${\displaystyle \left(\omega ^{2}m+\omega c+k\right)x=0.}$$ Esto se puede reducir a un problema generalizado de valores propios mediante manipulación algebraica, a costa de resolver un sistema más grande.

Las propiedades de ortogonalidad de los autovectores permiten desacoplar las ecuaciones diferenciales, de modo que el sistema puede representarse como una suma lineal de los autovectores. El problema de autovalores de estructuras complejas se suele resolver mediante análisis de elementos finitos , pero generaliza con precisión la solución a problemas de vibración escalares.

En mecánica , los autovectores del tensor de momento de inercia definen los ejes principales de un cuerpo rígido . El tensor de momento de inercia es una magnitud clave necesaria para determinar la rotación de un cuerpo rígido alrededor de su centro de masa .

En mecánica de sólidos , el tensor de tensiones es simétrico y, por lo tanto, puede descomponerse en un tensor diagonal con los autovalores en la diagonal y los autovectores como base. Debido a su simetría diagonal, en esta orientación, el tensor de tensiones no tiene componentes de cizallamiento ; las únicas que tiene son las componentes principales.

Un ejemplo de ecuación de autovalores donde la transformación T se representa en términos de un operador diferencial es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en mecánica cuántica : $${\displaystyle H\psi _{E}=E\psi _{E}}$$ donde el hamiltoniano H es un operador diferencial de segundo orden , y la función de onda ψ _E es una de sus autofunciones correspondiente al autovalor E , interpretado como su energía .

Sin embargo, cuando solo interesan las soluciones de estado ligado de la ecuación de Schrödinger, se busca ψ _E dentro del espacio de funciones de cuadrado integrable . Dado que este espacio es un espacio de Hilbert con un producto escalar bien definido , se puede introducir un conjunto base en el que ψ _E y H se pueden representar como un vector unidimensional y una matriz, respectivamente. Esto permite representar la ecuación de Schrödinger en forma matricial.

La notación bra-ket se usa frecuentemente en este contexto. Un vector, que representa un estado del sistema, en el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable se representa por | Ψ _E ⟩ . En esta notación, la ecuación de Schrödinger es: $${\displaystyle H|\Psi _{E}\rangle =E|\Psi _{E}\rangle }$$ donde | Ψ _E ⟩ es un ' autoestado ' de H , y E representa el autovalor. H es un operador autoadjunto observable , el análogo de dimensión infinita de las matrices hermíticas. Como en el caso de la matriz, en la ecuación anterior H | Ψ _E ⟩ se entiende como el vector obtenido al aplicar la transformación H a | Ψ _E ⟩ .

La luz , las ondas acústicas y las microondas se dispersan aleatoriamente numerosas veces al atravesar un sistema desordenado estático . Aunque la dispersión múltiple aleatoriza repetidamente las ondas, en última instancia el transporte coherente de ondas a través del sistema es un proceso determinista que puede describirse mediante una matriz de transmisión de campo t . ^{[ 44 ] [ 45 ]} Los autovectores del operador de transmisión t ^† t forman un conjunto de frentes de onda de entrada específicos del desorden que permiten que las ondas se acoplen a los autocanales del sistema desordenado: las vías independientes que las ondas pueden recorrer a través del sistema. Los autovalores, τ , de t ^† t corresponden a la transmitancia de intensidad asociada con cada autocanal. Una de las propiedades notables del operador de transmisión de los sistemas difusivos es su distribución bimodal de autovalores con τ _max = 1 y τ _min = 0 . ^{[ 45 ]} Además, una de las propiedades más llamativas de los eigencanales abiertos, más allá de la transmitancia perfecta, es el perfil espacial estadísticamente robusto de los eigencanales. ^{[ 46 ]}

En mecánica cuántica , y en particular en física atómica y molecular , dentro de la teoría de Hartree-Fock , los orbitales atómicos y moleculares se pueden definir mediante los autovectores del operador de Fock . Los autovalores correspondientes se interpretan como potenciales de ionización mediante el teorema de Koopmans . En este caso, el término autovector se usa con un significado algo más general, ya que el operador de Fock depende explícitamente de los orbitales y sus autovalores. Por lo tanto, si se quiere destacar este aspecto, se habla de problemas de autovalores no lineales. Estas ecuaciones se suelen resolver mediante un procedimiento iterativo , llamado en este caso método de campo autoconsistente . En química cuántica , a menudo se representa la ecuación de Hartree-Fock en un conjunto de base no ortogonal . Esta representación particular es un problema de autovalores generalizado llamado ecuaciones de Roothaan .

En geología , especialmente en el estudio de till glacial , los autovectores y autovalores se utilizan como método para resumir la información de la estructura de un clasto en un espacio tridimensional mediante seis números. En el campo, un geólogo puede recopilar estos datos para cientos o miles de clastos en una muestra de suelo, los cuales pueden compararse gráficamente o mediante una proyección estereográfica . Gráficamente, muchos geólogos utilizan un diagrama Tri-Plot (Sneed y Folk). ^{[ 47 ] [ 48 ]} Una proyección estereográfica proyecta espacios tridimensionales sobre un plano bidimensional. Un tipo de proyección estereográfica es la red de Wulff, comúnmente utilizada en cristalografía para crear estereogramas . ^{[ 49 ]}

La salida para el tensor de orientación está en los tres ejes ortogonales (perpendiculares) del espacio. Los tres autovectores se ordenan v ₁ , v ₂ , v ₃ por sus autovalores E ₁ ≥ E ₂ ≥ E ₃ ; ^{[ 50 ]} v ₁ entonces es la orientación primaria/buzamiento del clasto, v ₂ es la secundaria y v ₃ es la terciaria, en términos de fuerza. La orientación del clasto se define como la dirección del autovector, en una rosa de los vientos de 360° . El buzamiento se mide como el autovalor, el módulo del tensor: este valor va de 0° (sin buzamiento) a 90° (vertical). Los valores relativos de E ₁ , E ₂ , y E ₃ están dictados por la naturaleza de la fábrica del sedimento. Si E ₁ = E ₂ = E ₃ , se dice que la fábrica es isotrópica. Si E ₁ = E ₂ > E ₃ , se dice que el tejido es plano. Si E ₁ > E ₂ > E ₃ , se dice que el tejido es lineal. ^{[ 51 ]}