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Articulo de referencia

Perturbación de valores propios

En matemáticas, un problema de perturbación de valores propios consiste en encontrar los vectores propios y los valores propios de un sistema. A incógnita = λ incógnita {\displa...

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En matemáticas, un problema de perturbación de valores propios consiste en encontrar los vectores propios y los valores propios de un sistema.Aincógnita=λincógnita{\displaystyle Ax=\lambda x}que se perturba a partir de uno con autovectores y autovalores conocidosA0incógnita0=λ0incógnita0{\displaystyle A_{0}x_{0}=\lambda _{0}x_{0}}Esto es útil para estudiar cuán sensibles son los autovectores y autovalores del sistema original.incógnita0i,λ0i,i=1,…norte{\displaystyle x_{0i},\lambda _{0i},i=1,\dots n} son a cambios en el sistema. Este tipo de análisis fue popularizado por Lord Rayleigh , en su investigación de las vibraciones armónicas de una cuerda perturbada por pequeñas inhomogeneidades. [ 1 ]

Las deducciones presentadas en este artículo son esencialmente autocontenidas y pueden encontrarse en numerosos textos sobre álgebra lineal numérica o análisis funcional numérico . Este artículo se centra en el caso de la perturbación de un autovalor simple, en contraposición a la perturbación de múltiples autovalores .

Motivación para los autovalores generalizados

Muchos campos científicos utilizan valores propios para obtener soluciones. Los problemas generalizados de valores propios son menos comunes, pero son fundamentales en el estudio de las vibraciones . Son útiles cuando se utilizan los métodos de Galerkin o Rayleigh-Ritz para encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales parciales que modelan las vibraciones de estructuras como cuerdas y placas (Courant, 1943) [ 2 ] es fundamental). El método de elementos finitos es un caso particular muy extendido.

En mecánica clásica , pueden aparecer autovalores generalizados al analizar vibraciones de sistemas con múltiples grados de libertad cercanos al equilibrio. En este caso, la energía cinética proporciona la matriz de masa.METRO{\displaystyle M}La energía potencial de deformación proporciona la matriz de rigidez.K{\displaystyle K}. [ 3 ]

Con ambos métodos, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales o ecuación diferencial matricial :METROincógnita¨+Bincógnita˙+Kincógnita=0{\displaystyle M{\ddot {x}}+B{\dot {x}}+Kx=0}con la matriz de masasMETRO{\displaystyle M}, la matriz de amortiguaciónB{\displaystyle B}y la matriz de rigidezK{\displaystyle K}. Si se desprecia el efecto de amortiguación,B=0{\displaystyle B=0}y una solución de la formaincógnita=miiωttú{\displaystyle x=e^{i\omega t}u}se supone,tú{\displaystyle u}yω2{\displaystyle \omega ^{2}}se obtienen como soluciones al problema generalizado de valores propios−ω2METROtú+Ktú=0{\displaystyle -\omega ^{2}Mu+Ku=0}.

Configuración de la perturbación para un problema generalizado de valores propios.

Supongamos que se conocen las soluciones al problema generalizado de valores propios.

K0incógnita0i=λ0iMETRO0incógnita0i.(0){\displaystyle \mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\qquad (0)}

dóndeK0{\displaystyle \mathbf {K} _{0}}yMETRO0{\displaystyle \mathbf {M} _{0}}son matrices. Es decir, conocemos los valores propios λ 0 i y los vectores propios x 0 i para i = 1, ..., N . Una nota importante es que se requiere que los valores propios sean distintos.

Para perturbar las matrices, hay que encontrar los valores propios y los vectores propios de

Kincógnitai=λiMETROincógnitai(1){\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {x} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {M} \mathbf {x} _{i}\qquad (1)}

dónde

K=K0+δKMETRO=METRO0+δMETRO{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} &=\mathbf {K} _{0}+\delta \mathbf {K} \\\mathbf {M} &=\mathbf {M} _{0}+\delta \mathbf {M} \end{aligned}}}

con las perturbacionesδK{\displaystyle \delta \mathbf {K} }yδMETRO{\displaystyle \delta \mathbf {M} }mucho más pequeño queK{\displaystyle \mathbf {K} }yMETRO{\displaystyle \mathbf {M} }respectivamente. Entonces, se espera que los nuevos valores y vectores propios sean similares a los originales, más pequeñas perturbaciones:

λi=λ0i+δλiincógnitai=incógnita0i+δincógnitai{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{i}&=\lambda _{0i}+\delta \lambda _{i}\\\mathbf {x} _{i}&=\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i}\end{aligned}}}

Pasos

Bajo el supuesto de que las matrices son simétricas , definidas positivas y suponemos que los vectores propios están escalados de tal manera que

incógnita0j⊤METRO0incógnita0i=δij,{\displaystyle \mathbf {x} _{0j}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\delta _{ij},\quad }incógnitaiTMETROincógnitaj=δij(2){\displaystyle \mathbf {x} _{i}^{T}\mathbf {M} \mathbf {x} _{j}=\delta _{ij}\qquad (2)}

donde δ ij es la delta de Kronecker . Ahora la ecuación a resolver es

Kincógnitai−λiMETROincógnitai=0.{\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {x} _{i}-\lambda _{i}\mathbf {M} \mathbf {x} _{i}=0.}

En este artículo, el estudio se limita a perturbaciones de primer orden.

Desarrollo de primer orden de la ecuación

Sustituyendo en (1) se obtiene

(K0+δK)(incógnita0i+δincógnitai)=(λ0i+δλi)(METRO0+δMETRO)(incógnita0i+δincógnitai),{\displaystyle (\mathbf {K} _{0}+\delta \mathbf {K} )(\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i})=\left(\lambda _{0i}+\delta \lambda _{i}\right)\left(\mathbf {M} _{0}+\delta \mathbf {M} \right)\left(\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i}\right),}

que se expande a

K0incógnita0i+δKincógnita0i+K0δincógnitai+δKδincógnitai=λ0iMETRO0incógnita0i+λ0iMETRO0δincógnitai+λ0iδMETROincógnita0i+δλiMETRO0incógnita0i+λ0iδMETROδincógnitai+δλiδMETROincógnita0i+δλiMETRO0δincógnitai+δλiδMETROδincógnitai.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}&+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \delta \mathbf {x} _{i}=\\[6pt]&\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\\&\quad \lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}.\end{aligned}}}

Cancelando de (0) (K0incógnita0i=λ0iMETRO0incógnita0i{\displaystyle \mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}}) hojas

δKincógnita0i+K0δincógnitai+δKδincógnitai=λ0iMETRO0δincógnitai+λ0iδMETROincógnita0i+δλiMETRO0incógnita0i+λ0iδMETROδincógnitai+δλiδMETROincógnita0i+δλiMETRO0δincógnitai+δλiδMETROδincógnitai.{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+&\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \delta \mathbf {x} _{i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\\&\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}.\end{aligned}}}

Eliminando los términos de orden superior, esto se simplifica a

K0δincógnitai+δKincógnita0i=λ0iMETRO0δincógnitai+λ0iδMETROincógnita0i+δλiMETRO0incógnita0i.(3){\displaystyle \mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\qquad (3)}
En otras palabras,δλi{\displaystyle \delta \lambda _{i}} Ya no denota la variación exacta del valor propio, sino su aproximación de primer orden.

Como la matriz es simétrica, los autovectores no perturbados sonMETRO{\displaystyle M}ortogonal y, por lo tanto, puede usarse como base para los autovectores perturbados. Esto es lo mismo que

δincógnitai=∑j=1norteεijincógnita0j(4){\displaystyle \delta \mathbf {x} _{i}=\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}\qquad (4)\quad }conεij=incógnita0jTMETROδincógnitai{\displaystyle \varepsilon _{ij}=\mathbf {x} _{0j}^{T}M\delta \mathbf {x} _{i}},

donde ε ij son pequeñas constantes que deben determinarse.

De la misma manera, sustituyendo en (2) y eliminando los términos de orden superior,δincógnitajMETRO0incógnita0i+incógnita0jMETRO0δincógnitai+incógnita0jδMETRO0incógnita0i=0(5){\displaystyle \delta \mathbf {x} _{j}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0j}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}\delta \mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=0\quad {(5)}}

La derivación se divide entonces en dos caminos.

Primer camino: obtener la primera perturbación del valor propio.

Perturbación de valores propios
Comenzando con (3)K0δincógnitai+δKincógnita0i=λ0iMETRO0δincógnitai+λ0iδMETROincógnita0i+δλiMETRO0incógnita0i;{\displaystyle \quad \mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i};}que luego se deja multiplicado porincógnita0iT{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{T}}junto con el uso de (2) y su variación de primer orden (5); se obtiene
incógnita0iTδKincógnita0i=λ0iincógnita0iTδMETROincógnita0i+δλi{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}}

o

δλi=incógnita0iTδKincógnita0i−λ0iincógnita0iTδMETROincógnita0i{\displaystyle \delta \lambda _{i}=\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}-\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}

Esta es la perturbación de primer orden del cociente de Rayleigh generalizado con fijoincógnita0i{\displaystyle x_{0i}}:R(K,METRO;incógnita0i)=incógnita0iTKincógnita0i/incógnita0iTMETROincógnita0i, con incógnita0iTMETROincógnita0i=1{\displaystyle R(K,M;x_{0i})=x_{0i}^{T}Kx_{0i}/x_{0i}^{T}Mx_{0i},{\text{ with }}x_{0i}^{T}Mx_{0i}=1}

Además, paraMETRO=I{\displaystyle M=I}, la fórmulaδλi=incógnita0iTδKincógnita0i{\displaystyle \delta \lambda _{i}=x_{0i}^{T}\delta Kx_{0i}}Debe compararse con el teorema de Bauer-Fike , que proporciona una cota para la perturbación de los valores propios.

Perturbación de vector propio

Luego queda uno multiplicando (3) conincógnita0jT{\displaystyle x_{0j}^{T}}paraj≠i{\displaystyle j\neq i}y obtener

incógnita0jTK0δincógnitai+incógnita0jTδKincógnita0i=λ0iincógnita0jTMETRO0δincógnitai+λ0iincógnita0jTδMETROincógnita0i+δλiincógnita0jTMETRO0incógnita0i.{\displaystyle \mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}

Recordando queincógnita0jTK=λ0jincógnita0jTMETRO y incógnita0jTMETRO0incógnita0i=0,{\displaystyle \mathbf {x} _{0j}^{T}K=\lambda _{0j}\mathbf {x} _{0j}^{T}M{\text{ and }}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=0,}paraj≠i{\displaystyle j\neq i}, uno puede sustituir por

λ0jincógnita0jTMETRO0δincógnitai+incógnita0jTδKincógnita0i=λ0iincógnita0jTMETRO0δincógnitai+λ0iincógnita0jTδMETROincógnita0i.{\displaystyle \lambda _{0j}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}.}

o

(λ0j−λ0i)incógnita0jTMETRO0δincógnitai+incógnita0jTδKincógnita0i=λ0iincógnita0jTδMETROincógnita0i.{\displaystyle (\lambda _{0j}-\lambda _{0i})\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}.}

Como se supone que los valores propios son simples, paraj≠i{\displaystyle j\neq i}

ϵij=incógnita0jTMETRO0δincógnitai=−incógnita0jTδKincógnita0i+λ0iincógnita0jTδMETROincógnita0i(λ0j−λ0i),i=1,…norte;j=1,…norte;j≠i.{\displaystyle \epsilon _{ij}=\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}={\frac {-\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}{(\lambda _{0j}-\lambda _{0i})}},i=1,\dots N;j=1,\dots N;j\neq i.}

Además, (5) (la variación de primer orden de (2)) produce 2ϵii=2incógnita0iTMETRO0δincógnitai=−incógnita0iTδMETROincógnita0i.{\displaystyle 2\epsilon _{ii}=2\mathbf {x} _{0i}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta x_{i}=-\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta M\mathbf {x} _{0i}.} Todos los componentes deδincógnitai{\displaystyle \delta x_{i}}ya se han obtenido.

Segundo camino: Manipulaciones directas

Sustituyendo (4) en (3) y reordenando se obtiene

K0∑j=1norteεijincógnita0j+δKincógnita0i=λ0iMETRO0∑j=1norteεijincógnita0j+λ0iδMETROincógnita0i+δλiMETRO0incógnita0i(5)∑j=1norteεijK0incógnita0j+δKincógnita0i=λ0iMETRO0∑j=1norteεijincógnita0j+λ0iδMETROincógnita0i+δλiMETRO0incógnita0i(solicitud K0 a la suma)∑j=1norteεijλ0jMETRO0incógnita0j+δKincógnita0i=λ0iMETRO0∑j=1norteεijincógnita0j+λ0iδMETROincógnita0i+δλiMETRO0incógnita0i(utilizando la ecuación. (1)){\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&(5)\\\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&\\({\text{applying }}\mathbf {K} _{0}{\text{ to the sum}})\\\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\lambda _{0j}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&({\text{using Eq. }}(1))\end{aligned}}}

Debido a que los autovectores son M 0 -ortogonales cuando M 0 es definida positiva, se pueden eliminar las sumas multiplicando por la izquierda porincógnita0i⊤{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }}:

incógnita0i⊤εiiλ0iMETRO0incógnita0i+incógnita0i⊤δKincógnita0i=λ0iincógnita0i⊤METRO0εiiincógnita0i+λ0iincógnita0i⊤δMETROincógnita0i+δλiincógnita0i⊤METRO0incógnita0i.{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }\varepsilon _{ii}\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}

Utilizando nuevamente la ecuación (1):

incógnita0i⊤K0εiiincógnita0i+incógnita0i⊤δKincógnita0i=λ0iincógnita0i⊤METRO0εiiincógnita0i+λ0iincógnita0i⊤δMETROincógnita0i+δλiincógnita0i⊤METRO0incógnita0i.(6){\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {K} _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\qquad (6)}

Los dos términos que contienen ε ii son iguales porque multiplicando por la izquierda (1) porincógnita0i⊤{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }}da

incógnita0i⊤K0incógnita0i=λ0iincógnita0i⊤METRO0incógnita0i.{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}

Cancelar esos términos en (6) deja

incógnita0i⊤δKincógnita0i=λ0iincógnita0i⊤δMETROincógnita0i+δλiincógnita0i⊤METRO0incógnita0i.{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}

Reorganizar da

δλi=incógnita0i⊤(δK−λ0iδMETRO)incógnita0iincógnita0i⊤METRO0incógnita0i{\displaystyle \delta \lambda _{i}={\frac {\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}}}}

Pero por (2), este denominador es igual a 1. Por lo tanto

δλi=incógnita0i⊤(δK−λ0iδMETRO)incógnita0i.{\displaystyle \delta \lambda _{i}=\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}.}

Entonces, comoλi≠λk{\displaystyle \lambda _{i}\neq \lambda _{k}}parai≠k{\displaystyle i\neq k} (esta es la suposición de valores propios simples) multiplicando por la izquierda la ecuación (5) porincógnita0k⊤{\displaystyle \mathbf {x} _{0k}^{\top }}:

εik=incógnita0k⊤(δK−λ0iδMETRO)incógnita0iλ0i−λ0k,i≠k.{\displaystyle \varepsilon _{ik}={\frac {\mathbf {x} _{0k}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0k}}},\qquad i\neq k.}

O cambiando el nombre de los índices:

εij=incógnita0j⊤(δK−λ0iδMETRO)incógnita0iλ0i−λ0j,i≠j.{\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {\mathbf {x} _{0j}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}},\qquad i\neq j.}

Para hallar ε ii , utilizando el hecho de que

incógnitai⊤METROincógnitai=1{\displaystyle \mathbf {x} _{i}^{\top }\mathbf {M} \mathbf {x} _{i}=1}

implica:

εii=−12incógnita0i⊤δMETROincógnita0i.{\displaystyle \varepsilon _{ii}=-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}.}

Resumen del resultado de la perturbación de primer orden

En el caso en que todas las matrices son hermíticas definidas positivas y todos los valores propios son distintos ,

λi=λ0i+incógnita0i⊤(δK−λ0iδMETRO)incógnita0iincógnitai=incógnita0i(1−12incógnita0i⊤δMETROincógnita0i)+∑j=1j≠inorteincógnita0j⊤(δK−λ0iδMETRO)incógnita0iλ0i−λ0jincógnita0j{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{i}&=\lambda _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}\\\mathbf {x} _{i}&=\mathbf {x} _{0i}\left(1-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}\right)+\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{N}{\frac {\mathbf {x} _{0j}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}}\mathbf {x} _{0j}\end{aligned}}}

para infinitesimalδK{\displaystyle \delta \mathbf {K} }yδMETRO{\displaystyle \delta \mathbf {M} }(despreciando los términos de orden superior en (3)).

Se puede obtener una demostración de que los términos de orden superior pueden despreciarse utilizando el teorema de la función implícita.

Derivación teórica

Perturbación de una función implícita.

En el siguiente párrafo, utilizaremos el teorema de la función implícita (Enunciado del teorema); observamos que para una función continuamente diferenciableF:Rnorte+metro→Rmetro,F:(incógnita,y)↦F(incógnita,y){\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m},\;f:(x,y)\mapsto f(x,y)}, con una matriz jacobiana invertible JF,b(incógnita0,y0){\displaystyle J_{f,b}(x_{0},y_{0})}, desde un punto(incógnita0,y0){\displaystyle (x_{0},y_{0})}solución de F(incógnita0,y0)=0{\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}, obtenemos soluciones deF(incógnita,y)=0{\displaystyle f(x,y)=0}conincógnita{\displaystyle x}cerca deincógnita0{\displaystyle x_{0}}en la formay=gramo(incógnita){\displaystyle y=g(x)}dóndegramo{\displaystyle g}es una función continuamente diferenciable  ; además, la matriz jacobiana degramo{\displaystyle g}es proporcionado por el sistema lineal 

JF,y(incógnita,gramo(incógnita))Jgramo,incógnita(incógnita)+JF,incógnita(incógnita,gramo(incógnita))=0(6){\displaystyle J_{f,y}(x,g(x))J_{g,x}(x)+J_{f,x}(x,g(x))=0\quad (6)}.

Tan pronto como se satisface la hipótesis del teorema, la matriz jacobiana degramo{\displaystyle g}puede calcularse con una expansión de primer orden de F(incógnita0+δincógnita,y0+δy)=0{\displaystyle f(x_{0}+\delta x,y_{0}+\delta y)=0}, obtenemos

JF,incógnita(incógnita,gramo(incógnita))δincógnita+JF,y(incógnita,gramo(incógnita))δy=0{\displaystyle J_{f,x}(x,g(x))\delta x+J_{f,y}(x,g(x))\delta y=0}; comoδy=Jgramo,incógnita(incógnita)δincógnita{\displaystyle \delta y=J_{g,x}(x)\delta x}, es equivalente a la ecuación(6){\displaystyle (6)}.

Perturbación de valores propios: una base teórica.

Utilizamos el párrafo anterior (Perturbación de una función implícita) con notaciones algo diferentes, adecuadas para la perturbación de valores propios; introducimosF~:R2norte2×Rnorte+1→Rnorte+1{\displaystyle {\tilde {f}}:\mathbb {R} ^{2n^{2}}\times \mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R} ^{n+1}}, con

  • F~(K,METRO,λ,incógnita)=(F(K,METRO,λ,incógnita)Fnorte+1(incógnita)){\displaystyle {\tilde {f}}(K,M,\lambda ,x)={\binom {f(K,M,\lambda ,x)}{f_{n+1}(x)}}}con

F(K,METRO,λ,incógnita)=Kincógnita−λincógnita,Fnorte+1(METRO,incógnita)=incógnitaTMETROincógnita−1{\displaystyle f(K,M,\lambda ,x)=Kx-\lambda x,f_{n+1}(M,x)=x^{T}Mx-1}Para utilizar el teorema de la función implícita , estudiamos la invertibilidad del jacobiano.JF~;λ,incógnita(K,METRO;λ0i,incógnita0i){\displaystyle J_{{\tilde {f}};\lambda ,x}(K,M;\lambda _{0i},x_{0i})}con

JF~;λ,incógnita(K,METRO;λi,incógnitai)(δλ,δincógnita)=(−METROincógnitai0)δλ+(K−λMETRO2incógnitaiTMETRO)δincógnitai{\displaystyle J_{{\tilde {f}};\lambda ,x}(K,M;\lambda _{i},x_{i})(\delta \lambda ,\delta x)={\binom {-Mx_{i}}{0}}\delta \lambda +{\binom {K-\lambda M}{2x_{i}^{T}M}}\delta x_{i}}. De hecho, la solución de

JF~;λ0i,incógnita0i(K,METRO;λ0i,incógnita0i)(δλi,δincógnitai)={\displaystyle J_{{\tilde {f}};\lambda _{0i},x_{0i}}(K,M;\lambda _{0i},x_{0i})(\delta \lambda _{i},\delta x_{i})=}(yynorte+1){\displaystyle {\binom {y}{y_{n+1}}}}puede derivarse mediante cálculos similares a la derivación de la expansión.

δλi=−incógnita0iTy, y (λ0i−λ0j)incógnita0jTMETROδincógnitai=incógnitajTy,j=1,…,norte,j≠i;{\displaystyle \delta \lambda _{i}=-x_{0i}^{T}y,\;{\text{ and }}(\lambda _{0i}-\lambda _{0j})x_{0j}^{T}M\delta x_{i}=x_{j}^{T}y,j=1,\dots ,n,j\neq i\;;} o incógnita0jTMETROδincógnitai=incógnitajTy/(λ0i−λ0j), y 2incógnita0iTMETROδincógnitai=ynorte+1{\displaystyle {\text{ or }}x_{0j}^{T}M\delta x_{i}=x_{j}^{T}y/(\lambda _{0i}-\lambda _{0j}),{\text{ and }}\;2x_{0i}^{T}M\delta x_{i}=y_{n+1}}

Cuandoλi{\displaystyle \lambda _{i}}es un valor propio simple, como los vectores propiosincógnita0j,j=1,…,norte{\displaystyle x_{0j},j=1,\dots ,n}Si formamos una base ortonormal, para cualquier lado derecho, hemos obtenido una solución; por lo tanto, el jacobiano es invertible.

El teorema de la función implícita proporciona una función continuamente diferenciable. (K,METRO)↦(λi(K,METRO),incógnitai(K,METRO)){\displaystyle (K,M)\mapsto (\lambda _{i}(K,M),x_{i}(K,M))} de ahí la expansión con notación de o minúscula : λi=λ0i+δλi+o(‖δK‖+‖δMETRO‖){\displaystyle \lambda _{i}=\lambda _{0i}+\delta \lambda _{i}+o(\|\delta K\|+\|\delta M\|)}incógnitai=incógnita0i+δincógnitai+o(‖δK‖+‖δMETRO‖){\displaystyle x_{i}=x_{0i}+\delta x_{i}+o(\|\delta K\|+\|\delta M\|)}. con

δλi=incógnita0iTδKincógnita0i−λ0iincógnita0iTδMETROincógnita0i;{\displaystyle \delta \lambda _{i}=\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}-\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i};}δincógnitai=incógnita0jTMETRO0δincógnitaiincógnita0j con{\displaystyle \delta x_{i}=\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}\mathbf {x} _{0j}{\text{ with}}}incógnita0jTMETRO0δincógnitai=−incógnita0jTδKincógnita0i+λ0iincógnita0jTδMETROincógnita0i(λ0j−λ0i),i=1,…norte;j=1,…norte;j≠i.{\displaystyle \mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}={\frac {-\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}{(\lambda _{0j}-\lambda _{0i})}},i=1,\dots n;j=1,\dots n;j\neq i.} Esta es la expansión de primer orden de los autovalores y autovectores perturbados, la cual está demostrada.

Resultados del análisis de sensibilidad con respecto a las entradas de las matrices

Los resultados

Esto significa que es posible realizar eficientemente un análisis de sensibilidad sobre λ i en función de los cambios en las entradas de las matrices. (Recuerde que las matrices son simétricas, por lo que cambiar K k ℓ también cambiará K ℓ k , de ahí el término (2 − δ k ℓ )

¿Por qué utilizar valores propios generalizados?

En las aplicaciones de autovalores y autovectores encontramos numerosos campos científicos en los que se utilizan para obtener soluciones. Los problemas generalizados de autovalores son menos comunes, pero son fundamentales en el estudio de las vibraciones . Son útiles cuando se utiliza el método de Galerkin o el método de Rayleigh-Ritz para hallar soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales parciales que modelan las vibraciones de estructuras como cuerdas y placas; el artículo de Courant (1943) [ 4 ] es fundamental. El método de elementos finitos es un caso particular muy extendido.

En mecánica clásica, los autovalores generalizados pueden aparecer cuando buscamos vibraciones de sistemas con múltiples grados de libertad cerca del equilibrio; la energía cinética proporciona la matriz de masa.METRO{\displaystyle M}La energía potencial de deformación proporciona la matriz de rigidez.K{\displaystyle K}Para más detalles, véase la primera sección de este artículo de Weinstein (1941, en francés) [ 5 ] .

Con ambos métodos, obtenemos un sistema de ecuaciones diferenciales o una ecuación diferencial matricial.METROincógnita¨+Bincógnita˙+Kincógnita=0{\displaystyle M{\ddot {x}}+B{\dot {x}}+Kx=0}con la matriz de masasMETRO{\displaystyle M}, la matriz de amortiguaciónB{\displaystyle B}y la matriz de rigidezK{\displaystyle K}. Si despreciamos el efecto de amortiguación, usamosB=0{\displaystyle B=0}Podemos buscar una solución de la siguiente formaincógnita=miiωttú{\displaystyle x=e^{i\omega t}u}; obtenemos quetú{\displaystyle u}yω2{\displaystyle \omega ^{2}}son solución del problema generalizado de valores propios−ω2METROtú+Ktú=0{\displaystyle -\omega ^{2}Mu+Ku=0}

Configuración de la perturbación para un problema generalizado de valores propios.

Supongamos que tenemos soluciones al problema generalizado de valores propios ,

K0incógnita0i=λ0iMETRO0incógnita0i.(0){\displaystyle \mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\qquad (0)}

dóndeK0{\displaystyle \mathbf {K} _{0}}yMETRO0{\displaystyle \mathbf {M} _{0}}son matrices. Es decir, conocemos los valores propios λ 0 i y los vectores propios x 0 i para i = 1, ..., N. También se requiere que los valores propios sean distintos .

Ahora supongamos que queremos cambiar las matrices en una pequeña cantidad. Es decir, queremos encontrar los valores propios y los vectores propios de

Kincógnitai=λiMETROincógnitai(1){\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {x} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {M} \mathbf {x} _{i}\qquad (1)}

dónde

K=K0+δKMETRO=METRO0+δMETRO{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} &=\mathbf {K} _{0}+\delta \mathbf {K} \\\mathbf {M} &=\mathbf {M} _{0}+\delta \mathbf {M} \end{aligned}}}

con las perturbacionesδK{\displaystyle \delta \mathbf {K} }yδMETRO{\displaystyle \delta \mathbf {M} }mucho más pequeño queK{\displaystyle \mathbf {K} }yMETRO{\displaystyle \mathbf {M} }respectivamente. Entonces esperamos que los nuevos valores y vectores propios sean similares a los originales, más pequeñas perturbaciones:

λi=λ0i+δλiincógnitai=incógnita0i+δincógnitai{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{i}&=\lambda _{0i}+\delta \lambda _{i}\\\mathbf {x} _{i}&=\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i}\end{aligned}}}

Pasos

Suponemos que las matrices son simétricas y definidas positivas , y suponemos que hemos escalado los autovectores de tal manera que

incógnita0j⊤METRO0incógnita0i=δij,{\displaystyle \mathbf {x} _{0j}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\delta _{ij},\quad }incógnitaiTMETROincógnitaj=δij(2){\displaystyle \mathbf {x} _{i}^{T}\mathbf {M} \mathbf {x} _{j}=\delta _{ij}\qquad (2)}

donde δ ij es la delta de Kronecker . Ahora queremos resolver la ecuación.

Kincógnitai−λiMETROincógnitai=0.{\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {x} _{i}-\lambda _{i}\mathbf {M} \mathbf {x} _{i}=0.}

En este artículo restringimos el estudio a perturbaciones de primer orden.

Desarrollo de primer orden de la ecuación

Sustituyendo en (1), obtenemos

(K0+δK)(incógnita0i+δincógnitai)=(λ0i+δλi)(METRO0+δMETRO)(incógnita0i+δincógnitai),{\displaystyle (\mathbf {K} _{0}+\delta \mathbf {K} )(\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i})=\left(\lambda _{0i}+\delta \lambda _{i}\right)\left(\mathbf {M} _{0}+\delta \mathbf {M} \right)\left(\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i}\right),}

que se expande a

K0incógnita0i+δKincógnita0i+K0δincógnitai+δKδincógnitai=λ0iMETRO0incógnita0i+λ0iMETRO0δincógnitai+λ0iδMETROincógnita0i+δλiMETRO0incógnita0i+λ0iδMETROδincógnitai+δλiδMETROincógnita0i+δλiMETRO0δincógnitai+δλiδMETROδincógnitai.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}&+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \delta \mathbf {x} _{i}=\\[6pt]&\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\\&\quad \lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}.\end{aligned}}}

Cancelando de (0) (K0incógnita0i=λ0iMETRO0incógnita0i{\displaystyle \mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}}) hojas

δKincógnita0i+K0δincógnitai+δKδincógnitai=λ0iMETRO0δincógnitai+λ0iδMETROincógnita0i+δλiMETRO0incógnita0i+λ0iδMETROδincógnitai+δλiδMETROincógnita0i+δλiMETRO0δincógnitai+δλiδMETROδincógnitai.{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+&\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \delta \mathbf {x} _{i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\\&\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}.\end{aligned}}}

Eliminando los términos de orden superior, esto se simplifica a

K0δincógnitai+δKincógnita0i=λ0iMETRO0δincógnitai+λ0iδMETROincógnita0i+δλiMETRO0incógnita0i.(3){\displaystyle \mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\qquad (3)}
En otras palabras,δλi{\displaystyle \delta \lambda _{i}} Ya no denota la variación exacta del valor propio, sino su aproximación de primer orden.

Como la matriz es simétrica, los autovectores no perturbados sonMETRO{\displaystyle M}ortogonales y por eso las usamos como base para los autovectores perturbados. Es decir, queremos construir

δincógnitai=∑j=1norteεijincógnita0j(4){\displaystyle \delta \mathbf {x} _{i}=\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}\qquad (4)\quad }conεij=incógnita0jTMETROδincógnitai{\displaystyle \varepsilon _{ij}=\mathbf {x} _{0j}^{T}M\delta \mathbf {x} _{i}},

donde las ε ij son pequeñas constantes que deben determinarse.

De la misma manera, sustituyendo en (2) y eliminando los términos de orden superior, obtenemosδincógnitajMETRO0incógnita0i+incógnita0jMETRO0δincógnitai+incógnita0jδMETRO0incógnita0i=0(5){\displaystyle \delta \mathbf {x} _{j}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0j}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}\delta \mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=0\quad {(5)}}

La derivación puede continuar con dos bifurcaciones.

Primera bifurcación: obtener la primera perturbación del valor propio.

Perturbación de valores propios
Comenzamos con (3)K0δincógnitai+δKincógnita0i=λ0iMETRO0δincógnitai+λ0iδMETROincógnita0i+δλiMETRO0incógnita0i;{\displaystyle \quad \mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i};}

nos fuimos multiplicando conincógnita0iT{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{T}}y utilizamos (2) así como su variación de primer orden (5); obtenemos

incógnita0iTδKincógnita0i=λ0iincógnita0iTδMETROincógnita0i+δλi{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}}

o

δλi=incógnita0iTδKincógnita0i−λ0iincógnita0iTδMETROincógnita0i{\displaystyle \delta \lambda _{i}=\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}-\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}

Observamos que se trata de una perturbación de primer orden del cociente de Rayleigh generalizado con fijo.incógnita0i{\displaystyle x_{0i}}:R(K,METRO;incógnita0i)=incógnita0iTKincógnita0i/incógnita0iTMETROincógnita0i, con incógnita0iTMETROincógnita0i=1{\displaystyle R(K,M;x_{0i})=x_{0i}^{T}Kx_{0i}/x_{0i}^{T}Mx_{0i},{\text{ with }}x_{0i}^{T}Mx_{0i}=1}

Además, paraMETRO=I{\displaystyle M=I}, la fórmulaδλi=incógnita0iTδKincógnita0i{\displaystyle \delta \lambda _{i}=x_{0i}^{T}\delta Kx_{0i}}Debe compararse con el teorema de Bauer-Fike , que proporciona una cota para la perturbación de los valores propios.

Perturbación de vector propio

Dejamos multiplicar (3) conincógnita0jT{\displaystyle x_{0j}^{T}}paraj≠i{\displaystyle j\neq i}y obtener

incógnita0jTK0δincógnitai+incógnita0jTδKincógnita0i=λ0iincógnita0jTMETRO0δincógnitai+λ0iincógnita0jTδMETROincógnita0i+δλiincógnita0jTMETRO0incógnita0i.{\displaystyle \mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}

Nosotros usamosincógnita0jTK=λ0jincógnita0jTMETRO y incógnita0jTMETRO0incógnita0i=0,{\displaystyle \mathbf {x} _{0j}^{T}K=\lambda _{0j}\mathbf {x} _{0j}^{T}M{\text{ and }}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=0,}paraj≠i{\displaystyle j\neq i}.

λ0jincógnita0jTMETRO0δincógnitai+incógnita0jTδKincógnita0i=λ0iincógnita0jTMETRO0δincógnitai+λ0iincógnita0jTδMETROincógnita0i.{\displaystyle \lambda _{0j}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}.}

o

(λ0j−λ0i)incógnita0jTMETRO0δincógnitai+incógnita0jTδKincógnita0i=λ0iincógnita0jTδMETROincógnita0i.{\displaystyle (\lambda _{0j}-\lambda _{0i})\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}.}

Como se supone que los valores propios son simples, paraj≠i{\displaystyle j\neq i}

ϵij=incógnita0jTMETRO0δincógnitai=−incógnita0jTδKincógnita0i+λ0iincógnita0jTδMETROincógnita0i(λ0j−λ0i),i=1,…norte;j=1,…norte;j≠i.{\displaystyle \epsilon _{ij}=\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}={\frac {-\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}{(\lambda _{0j}-\lambda _{0i})}},i=1,\dots N;j=1,\dots N;j\neq i.}

Además, (5) (la variación de primer orden de (2)) produce 2ϵii=2incógnita0iTMETRO0δincógnitai=−incógnita0iTδMETROincógnita0i.{\displaystyle 2\epsilon _{ii}=2\mathbf {x} _{0i}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta x_{i}=-\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta M\mathbf {x} _{0i}.} Hemos obtenido todos los componentes deδincógnitai{\displaystyle \delta x_{i}}.

Segunda bifurcación: Manipulaciones sencillas

Sustituyendo (4) en (3) y reordenando se obtiene

K0∑j=1norteεijincógnita0j+δKincógnita0i=λ0iMETRO0∑j=1norteεijincógnita0j+λ0iδMETROincógnita0i+δλiMETRO0incógnita0i(5)∑j=1norteεijK0incógnita0j+δKincógnita0i=λ0iMETRO0∑j=1norteεijincógnita0j+λ0iδMETROincógnita0i+δλiMETRO0incógnita0i(solicitud K0 a la suma)∑j=1norteεijλ0jMETRO0incógnita0j+δKincógnita0i=λ0iMETRO0∑j=1norteεijincógnita0j+λ0iδMETROincógnita0i+δλiMETRO0incógnita0i(utilizando la ecuación. (1)){\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&(5)\\\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&\\({\text{applying }}\mathbf {K} _{0}{\text{ to the sum}})\\\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\lambda _{0j}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&({\text{using Eq. }}(1))\end{aligned}}}

Debido a que los autovectores son M 0 -ortogonales cuando M 0 es definida positiva, podemos eliminar las sumas multiplicando por la izquierda porincógnita0i⊤{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }}:

incógnita0i⊤εiiλ0iMETRO0incógnita0i+incógnita0i⊤δKincógnita0i=λ0iincógnita0i⊤METRO0εiiincógnita0i+λ0iincógnita0i⊤δMETROincógnita0i+δλiincógnita0i⊤METRO0incógnita0i.{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }\varepsilon _{ii}\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}

Utilizando nuevamente la ecuación (1):

incógnita0i⊤K0εiiincógnita0i+incógnita0i⊤δKincógnita0i=λ0iincógnita0i⊤METRO0εiiincógnita0i+λ0iincógnita0i⊤δMETROincógnita0i+δλiincógnita0i⊤METRO0incógnita0i.(6){\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {K} _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\qquad (6)}

Los dos términos que contienen ε ii son iguales porque multiplicando por la izquierda (1) porincógnita0i⊤{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }}da

incógnita0i⊤K0incógnita0i=λ0iincógnita0i⊤METRO0incógnita0i.{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}

Cancelar esos términos en (6) deja

incógnita0i⊤δKincógnita0i=λ0iincógnita0i⊤δMETROincógnita0i+δλiincógnita0i⊤METRO0incógnita0i.{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}

Reorganizar da

δλi=incógnita0i⊤(δK−λ0iδMETRO)incógnita0iincógnita0i⊤METRO0incógnita0i{\displaystyle \delta \lambda _{i}={\frac {\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}}}}

Pero por (2), este denominador es igual a 1. Por lo tanto

δλi=incógnita0i⊤(δK−λ0iδMETRO)incógnita0i.{\displaystyle \delta \lambda _{i}=\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}.}

Entonces, comoλi≠λk{\displaystyle \lambda _{i}\neq \lambda _{k}}parai≠k{\displaystyle i\neq k} (suposición de valores propios simples) multiplicando por la izquierda la ecuación (5) porincógnita0k⊤{\displaystyle \mathbf {x} _{0k}^{\top }}:

εik=incógnita0k⊤(δK−λ0iδMETRO)incógnita0iλ0i−λ0k,i≠k.{\displaystyle \varepsilon _{ik}={\frac {\mathbf {x} _{0k}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0k}}},\qquad i\neq k.}

O cambiando el nombre de los índices:

εij=incógnita0j⊤(δK−λ0iδMETRO)incógnita0iλ0i−λ0j,i≠j.{\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {\mathbf {x} _{0j}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}},\qquad i\neq j.}

Para hallar ε ii , utilice el hecho de que:

incógnitai⊤METROincógnitai=1{\displaystyle \mathbf {x} _{i}^{\top }\mathbf {M} \mathbf {x} _{i}=1}

implica:

εii=−12incógnita0i⊤δMETROincógnita0i.{\displaystyle \varepsilon _{ii}=-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}.}

Resumen del resultado de la perturbación de primer orden

En el caso en que todas las matrices son hermíticas definidas positivas y todos los valores propios son distintos ,

λi=λ0i+incógnita0i⊤(δK−λ0iδMETRO)incógnita0iincógnitai=incógnita0i(1−12incógnita0i⊤δMETROincógnita0i)+∑j=1j≠inorteincógnita0j⊤(δK−λ0iδMETRO)incógnita0iλ0i−λ0jincógnita0j{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{i}&=\lambda _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}\\\mathbf {x} _{i}&=\mathbf {x} _{0i}\left(1-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}\right)+\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{N}{\frac {\mathbf {x} _{0j}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}}\mathbf {x} _{0j}\end{aligned}}}

para infinitesimalδK{\displaystyle \delta \mathbf {K} }yδMETRO{\displaystyle \delta \mathbf {M} }(despreciando los términos de orden superior en (3)).

Hasta ahora, no hemos demostrado que estos términos de orden superior puedan despreciarse. Este punto puede derivarse utilizando el teorema de la función implícita; en la siguiente sección, resumimos el uso de este teorema para obtener un desarrollo de primer orden.

Derivación teórica

Perturbación de una función implícita.

En el siguiente párrafo, utilizaremos el teorema de la función implícita (Enunciado del teorema); observamos que para una función continuamente diferenciableF:Rnorte+metro→Rmetro,F:(incógnita,y)↦F(incógnita,y){\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m},\;f:(x,y)\mapsto f(x,y)}, con una matriz jacobiana invertible JF,b(incógnita0,y0){\displaystyle J_{f,b}(x_{0},y_{0})}, desde un punto(incógnita0,y0){\displaystyle (x_{0},y_{0})}solución de F(incógnita0,y0)=0{\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}, obtenemos soluciones deF(incógnita,y)=0{\displaystyle f(x,y)=0}conincógnita{\displaystyle x}cerca deincógnita0{\displaystyle x_{0}}en la formay=gramo(incógnita){\displaystyle y=g(x)}dóndegramo{\displaystyle g}es una función continuamente diferenciable  ; además, la matriz jacobiana degramo{\displaystyle g}es proporcionado por el sistema lineal 

JF,y(incógnita,gramo(incógnita))Jgramo,incógnita(incógnita)+JF,incógnita(incógnita,gramo(incógnita))=0(6){\displaystyle J_{f,y}(x,g(x))J_{g,x}(x)+J_{f,x}(x,g(x))=0\quad (6)}.

Tan pronto como se satisface la hipótesis del teorema, la matriz jacobiana degramo{\displaystyle g}puede calcularse con una expansión de primer orden de F(incógnita0+δincógnita,y0+δy)=0{\displaystyle f(x_{0}+\delta x,y_{0}+\delta y)=0}, obtenemos

JF,incógnita(incógnita,gramo(incógnita))δincógnita+JF,y(incógnita,gramo(incógnita))δy=0{\displaystyle J_{f,x}(x,g(x))\delta x+J_{f,y}(x,g(x))\delta y=0}; comoδy=Jgramo,incógnita(incógnita)δincógnita{\displaystyle \delta y=J_{g,x}(x)\delta x}, es equivalente a la ecuación(6){\displaystyle (6)}.

Perturbación de valores propios: una base teórica.

Utilizamos el párrafo anterior (Perturbación de una función implícita) con notaciones algo diferentes, adecuadas para la perturbación de valores propios; introducimosF~:R2norte2×Rnorte+1→Rnorte+1{\displaystyle {\tilde {f}}:\mathbb {R} ^{2n^{2}}\times \mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R} ^{n+1}}, con

  • F~(K,METRO,λ,incógnita)=(F(K,METRO,λ,incógnita)Fnorte+1(incógnita)){\displaystyle {\tilde {f}}(K,M,\lambda ,x)={\binom {f(K,M,\lambda ,x)}{f_{n+1}(x)}}}con

F(K,METRO,λ,incógnita)=Kincógnita−λincógnita,Fnorte+1(METRO,incógnita)=incógnitaTMETROincógnita−1{\displaystyle f(K,M,\lambda ,x)=Kx-\lambda x,f_{n+1}(M,x)=x^{T}Mx-1}Para utilizar el teorema de la función implícita , estudiamos la invertibilidad del jacobiano.JF~;λ,incógnita(K,METRO;λ0i,incógnita0i){\displaystyle J_{{\tilde {f}};\lambda ,x}(K,M;\lambda _{0i},x_{0i})}con

JF~;λ,incógnita(K,METRO;λi,incógnitai)(δλ,δincógnita)=(−METROincógnitai0)δλ+(K−λMETRO2incógnitaiTMETRO)δincógnitai{\displaystyle J_{{\tilde {f}};\lambda ,x}(K,M;\lambda _{i},x_{i})(\delta \lambda ,\delta x)={\binom {-Mx_{i}}{0}}\delta \lambda +{\binom {K-\lambda M}{2x_{i}^{T}M}}\delta x_{i}}. De hecho, la solución de

JF~;λ0i,incógnita0i(K,METRO;λ0i,incógnita0i)(δλi,δincógnitai)={\displaystyle J_{{\tilde {f}};\lambda _{0i},x_{0i}}(K,M;\lambda _{0i},x_{0i})(\delta \lambda _{i},\delta x_{i})=}(yynorte+1){\displaystyle {\binom {y}{y_{n+1}}}}puede derivarse mediante cálculos similares a la derivación de la expansión.

δλi=−incógnita0iTy, y (λ0i−λ0j)incógnita0jTMETROδincógnitai=incógnitajTy,j=1,…,norte,j≠i;{\displaystyle \delta \lambda _{i}=-x_{0i}^{T}y,\;{\text{ and }}(\lambda _{0i}-\lambda _{0j})x_{0j}^{T}M\delta x_{i}=x_{j}^{T}y,j=1,\dots ,n,j\neq i\;;} o incógnita0jTMETROδincógnitai=incógnitajTy/(λ0i−λ0j), y 2incógnita0iTMETROδincógnitai=ynorte+1{\displaystyle {\text{ or }}x_{0j}^{T}M\delta x_{i}=x_{j}^{T}y/(\lambda _{0i}-\lambda _{0j}),{\text{ and }}\;2x_{0i}^{T}M\delta x_{i}=y_{n+1}}

Cuandoλi{\displaystyle \lambda _{i}}es un valor propio simple, como los vectores propiosincógnita0j,j=1,…,norte{\displaystyle x_{0j},j=1,\dots ,n}Si formamos una base ortonormal, para cualquier lado derecho, hemos obtenido una solución; por lo tanto, el jacobiano es invertible.

El teorema de la función implícita proporciona una función continuamente diferenciable. (K,METRO)↦(λi(K,METRO),incógnitai(K,METRO)){\displaystyle (K,M)\mapsto (\lambda _{i}(K,M),x_{i}(K,M))} de ahí la expansión con notación de o minúscula : λi=λ0i+δλi+o(‖δK‖+‖δMETRO‖){\displaystyle \lambda _{i}=\lambda _{0i}+\delta \lambda _{i}+o(\|\delta K\|+\|\delta M\|)}incógnitai=incógnita0i+δincógnitai+o(‖δK‖+‖δMETRO‖){\displaystyle x_{i}=x_{0i}+\delta x_{i}+o(\|\delta K\|+\|\delta M\|)}. con

δλi=incógnita0iTδKincógnita0i−λ0iincógnita0iTδMETROincógnita0i;{\displaystyle \delta \lambda _{i}=\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}-\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i};}δincógnitai=incógnita0jTMETRO0δincógnitaiincógnita0j con{\displaystyle \delta x_{i}=\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}\mathbf {x} _{0j}{\text{ with}}}incógnita0jTMETRO0δincógnitai=−incógnita0jTδKincógnita0i+λ0iincógnita0jTδMETROincógnita0i(λ0j−λ0i),i=1,…norte;j=1,…norte;j≠i.{\displaystyle \mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}={\frac {-\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}{(\lambda _{0j}-\lambda _{0i})}},i=1,\dots n;j=1,\dots n;j\neq i.} Esta es la expansión de primer orden de los autovalores y autovectores perturbados, la cual está demostrada.

Resultados del análisis de sensibilidad con respecto a las entradas de las matrices

Los resultados

Esto significa que es posible realizar un análisis de sensibilidad eficiente sobre λ i en función de los cambios en las entradas de las matrices. (Recordemos que las matrices son simétricas, por lo que cambiar K k ℓ también cambiará K ℓ k , de ahí el término (2 − δ k ℓ ) .

∂λi∂K(kℓ)=∂∂K(kℓ)(λ0i+incógnita0i⊤(δK−λ0iδMETRO)incógnita0i)=incógnita0i(k)incógnita0i(ℓ)(2−δkℓ)∂λi∂METRO(kℓ)=∂∂METRO(kℓ)(λ0i+incógnita0i⊤(δK−λ0iδMETRO)incógnita0i)=−λiincógnita0i(k)incógnita0i(ℓ)(2−δkℓ).{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {K} _{(k\ell )}}}&={\frac {\partial }{\partial \mathbf {K} _{(k\ell )}}}\left(\lambda _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}\right)=x_{0i(k)}x_{0i(\ell )}\left(2-\delta _{k\ell }\right)\\{\frac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {M} _{(k\ell )}}}&={\frac {\partial }{\partial \mathbf {M} _{(k\ell )}}}\left(\lambda _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}\right)=-\lambda _{i}x_{0i(k)}x_{0i(\ell )}\left(2-\delta _{k\ell }\right).\end{aligned}}}

Similarmente

∂incógnitai∂K(kℓ)=∑j=1j≠inorteincógnita0j(k)incógnita0i(ℓ)(2−δkℓ)λ0i−λ0jincógnita0j∂incógnitai∂METRO(kℓ)=−incógnita0iincógnita0i(k)incógnita0i(ℓ)2(2−δkℓ)−∑j=1j≠inorteλ0iincógnita0j(k)incógnita0i(ℓ)λ0i−λ0jincógnita0j(2−δkℓ).{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {x} _{i}}{\partial \mathbf {K} _{(k\ell )}}}&=\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{N}{\frac {x_{0j(k)}x_{0i(\ell )}\left(2-\delta _{k\ell }\right)}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}}\mathbf {x} _{0j}\\{\frac {\partial \mathbf {x} _{i}}{\partial \mathbf {M} _{(k\ell )}}}&=-\mathbf {x} _{0i}{\frac {x_{0i(k)}x_{0i(\ell )}}{2}}(2-\delta _{k\ell })-\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{N}{\frac {\lambda _{0i}x_{0j(k)}x_{0i(\ell )}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}}\mathbf {x} _{0j}\left(2-\delta _{k\ell }\right).\end{aligned}}}

Sensibilidad de los valores propios, un pequeño ejemplo

Un caso sencillo esK=[2bb0]{\displaystyle K={\begin{bmatrix}2&b\\b&0\end{bmatrix}}}Sin embargo, puede calcular valores propios y vectores propios con la ayuda de herramientas en línea como (ver introducción en Wikipedia WIMS ) o usando Sage SageMath . Obtendrá el valor propio más pequeño. λ=−[b2+1+1]{\displaystyle \lambda =-\left[{\sqrt {b^{2}+1}}+1\right]}y un cálculo explícito∂λ∂b=−incógnitaincógnita2+1{\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial b}}={\frac {-x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}; además, se asocia un vector propioincógnita~0=[incógnita,−(incógnita2+1+1))]T{\displaystyle {\tilde {x}}_{0}=[x,-({\sqrt {x^{2}+1}}+1))]^{T}}; no es un vector unitario; por lo tantoincógnita01incógnita02=incógnita~01incógnita~02/‖incógnita~0‖2{\displaystyle x_{01}x_{02}={\tilde {x}}_{01}{\tilde {x}}_{02}/\|{\tilde {x}}_{0}\|^{2}}; obtenemos‖incógnita~0‖2=2incógnita2+1(incógnita2+1+1){\displaystyle \|{\tilde {x}}_{0}\|^{2}=2{\sqrt {x^{2}+1}}({\sqrt {x^{2}+1}}+1)}yincógnita~01incógnita~02=−incógnita(incógnita2+1+1){\displaystyle {\tilde {x}}_{01}{\tilde {x}}_{02}=-x({\sqrt {x^{2}+1}}+1)} ; por esoincógnita01incógnita02=−incógnita2incógnita2+1{\displaystyle x_{01}x_{02}=-{\frac {x}{2{\sqrt {x^{2}+1}}}}}; para este ejemplo, hemos comprobado que∂λ∂b=2incógnita01incógnita02{\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial b}}=2x_{01}x_{02}}oδλ=2incógnita01incógnita02δb{\displaystyle \delta \lambda =2x_{01}x_{02}\delta b}.

Existencia de autovectores

Nótese que en el ejemplo anterior asumimos que tanto el sistema no perturbado como el perturbado involucraban matrices simétricas , lo que garantizaba la existencia denorte{\displaystyle N}autovectores linealmente independientes. No se garantiza que un problema de autovalores que involucre matrices no simétricas tenganorte{\displaystyle N}autovectores linealmente independientes, aunque una condición suficiente es queK{\displaystyle \mathbf {K} }yMETRO{\displaystyle \mathbf {M} }ser simultáneamente diagonalizable .

El caso de valores propios repetidos

Un informe técnico de Rellich [ 6 ] sobre la perturbación de problemas de valores propios proporciona varios ejemplos. Los ejemplos elementales se encuentran en el capítulo 2. El informe puede descargarse desde archive.org . Presentamos un ejemplo en el que los vectores propios tienen un comportamiento problemático.

Ejemplo 1

Considere la siguiente matrizB(ϵ)=ϵ[porque⁡(2/ϵ),pecado⁡(2/ϵ)pecado⁡(2/ϵ),sporque⁡(2/ϵ)]{\displaystyle B(\epsilon )=\epsilon {\begin{bmatrix}\cos(2/\epsilon )&,\sin(2/\epsilon )\\\sin(2/\epsilon )&,s\cos(2/\epsilon )\end{bmatrix}}} yA(ϵ)=I−mi−1/ϵ2B;{\displaystyle A(\epsilon )=I-e^{-1/\epsilon ^{2}}B;}A(0)=I.{\displaystyle A(0)=I.} For ϵ≠0{\displaystyle \epsilon \neq 0}, the matrix A(ϵ){\displaystyle A(\epsilon )} has eigenvectors Φ1=[cos⁡(1/ϵ),−sin⁡(1/ϵ)]T;Φ2=[sin⁡(1/ϵ),−cos⁡(1/ϵ)]T{\displaystyle \Phi ^{1}=[\cos(1/\epsilon ),-\sin(1/\epsilon )]^{T};\Phi ^{2}=[\sin(1/\epsilon ),-\cos(1/\epsilon )]^{T}} belonging to eigenvalues λ1=1−e−1/ϵ2),λ2=1+e−1/ϵ2){\displaystyle \lambda _{1}=1-e^{-1/\epsilon ^{2})},\lambda _{2}=1+e^{-1/\epsilon ^{2})}}. Since λ1≠λ2{\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}} for ϵ≠0{\displaystyle \epsilon \neq 0} if uj(ϵ),j=1,2,{\displaystyle u^{j}(\epsilon ),j=1,2,} are any normalized eigenvectors belonging to λj(ϵ),j=1,2{\displaystyle \lambda _{j}(\epsilon ),j=1,2} respectively then uj=eαj(ϵ)Φj(ϵ){\displaystyle u^{j}=e^{\alpha _{j}(\epsilon )}\Phi ^{j}(\epsilon )} where αj,j=1,2{\displaystyle \alpha _{j},j=1,2} are real for ϵ≠0.{\displaystyle \epsilon \neq 0.} It is obviously impossible to define α1(ϵ){\displaystyle \alpha _{1}(\epsilon )} , say, in such a way that u1(ϵ){\displaystyle u^{1}(\epsilon )} tends to a limit as ϵ→0,{\displaystyle \epsilon \rightarrow 0,} because |u1(ϵ)|=|cos⁡(1/ϵ)|{\displaystyle |u^{1}(\epsilon )|=|\cos(1/\epsilon )|} has no limit as ϵ→0.{\displaystyle \epsilon \rightarrow 0.}

Note in this example that Ajk(ϵ){\displaystyle A_{jk}(\epsilon )} is not only continuous but also has continuous derivatives of all orders. Rellich draws the following important consequence. << Since in general the individual eigenvectors do not depend continuously on the perturbation parameter even though the operator A(ϵ){\displaystyle A(\epsilon )} does, it is necessary to work, not with an eigenvector, but rather with the space spanned by all the eigenvectors belonging to the same eigenvalue. >>

Example 2

This example is less nasty that the previous one. Suppose [K0]{\displaystyle [K_{0}]} is the 2x2 identity matrix, any vector is an eigenvector; then u0=[1,1]T/2{\displaystyle u_{0}=[1,1]^{T}/{\sqrt {2}}} is one possible eigenvector. But if one makes a small perturbation, such as

[K]=[K0]+[ϵ000]{\displaystyle [K]=[K_{0}]+{\begin{bmatrix}\epsilon &0\\0&0\end{bmatrix}}}

Then the eigenvectors are v1=[1,0]T{\displaystyle v_{1}=[1,0]^{T}} and v2=[0,1]T{\displaystyle v_{2}=[0,1]^{T}}; they are constant with respect to ϵ{\displaystyle \epsilon } so that ‖u0−v1‖{\displaystyle \|u_{0}-v_{1}\|} is constant and does not go to zero.

See also

References

  1. ↑Rayleigh, J. W. S. (1894). The theory of Sound. Vol. 1 (2nd ed.). London: Macmillan. pp. 114–118. ISBN 1-152-06023-6.{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
  2. ↑Courant, R. (1943). "Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations"(PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 49: 1–23. doi:10.1090/S0002-9904-1943-07818-4.
  3. ↑Weinstein, A. (1941). "Les vibrations et le calcul des variations". Portugaliae Mathematica (in French). 2 (2): 36–55.
  4. ↑Courant, R. (1943). "Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations"(PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 49: 1–23. doi:10.1090/S0002-9904-1943-07818-4.
  5. ↑Weinstein, A. (1941). "Les vibrations et le calcul des variations". Portugaliae Mathematica (in French). 2 (2): 36–55.
  6. ↑Rellich, F. (1954). Perturbation theory of eigenvalue problems. CRC Press.

Further reading

Books

  • Ren-Cang Li (2014). "Matrix Perturbation Theory". In Hogben, Leslie (ed.). Handbook of linear algebra (Second ed.). CRC Press. ISBN 978-1466507289.
  • Rellich, F., & Berkowitz, J. (1969). Perturbation theory of eigenvalue problems. CRC Press.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link).
  • Bhatia, R. (1987). Perturbation bounds for matrix eigenvalues. SIAM.

Report

  • Rellich, Franz (1954). Perturbation theory of eigenvalue problems. New-York: Courant Institute of Mathematical Sciences, New-York University.

Journal papers

  • Simon, B. (1982). Grandes órdenes y sumabilidad de la teoría de perturbación de valores propios: una visión general matemática. International Journal of Quantum Chemistry , 21(1), 3-25.
  • Crandall, MG y Rabinowitz, PH (1973). Bifurcación, perturbación de autovalores simples y estabilidad linealizada. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 52(2), 161-180.
  • Stewart, GW (1973). Límites de error y perturbación para subespacios asociados con ciertos problemas de valores propios. SIAM review, 15(4), 727-764.
  • Löwdin, PO (1962). Estudios en teoría de perturbaciones. IV. Solución del problema de valores propios mediante el formalismo del operador de proyección. Journal of Mathematical Physics , 3(5), 969-982.