Estafa de Eilenberg-Mazur

En matemáticas , el método de Eilenberg-Mazur , llamado así por Samuel Eilenberg y Barry Mazur , es un método de demostración que involucra propiedades paradójicas de sumas infinitas. En topología geométrica , fue introducido por Mazur ^{[ 1 ] [ 2 ]} y a menudo se le llama método de Mazur . En álgebra, fue introducido por Samuel Eilenberg y se conoce como método de Eilenberg o telescopio de Eilenberg (véase suma telescópica ).

La estafa de Eilenberg-Mazur es similar a la siguiente broma muy conocida que "prueba" de que 1  =  0:

1  =  1  +  ( − 1  +  1)  +  ( − 1  +  1)  +  ...  =  1 − 1 + 1 − 1 + ... = (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0                    

Esta "prueba" no es válida como afirmación sobre números reales porque la serie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + ... no converge , pero el argumento análogo puede usarse en algunos contextos donde hay algún tipo de "suma" definida en algunos objetos para los cuales las sumas infinitas tienen sentido, para mostrar que si        ${\displaystyle A+B=0}$entonces${\displaystyle A=B=0}$.

En topología geométrica, la suma utilizada en la estafa suele ser la suma conexa de nudos o variedades .

Una aplicación típica del engaño de Mazur es la demostración de que la suma de dos nudos no triviales${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$no es trivial. ^{[ 3 ]} Para nudos es posible tomar sumas infinitas haciendo que los nudos sean cada vez más pequeños, por lo que si${\displaystyle A+B}$entonces es trivial

${\displaystyle A=A+(B+A)+(B+A)+\cdots =(A+B)+(A+B)+\cdots =0}$

entonces${\displaystyle A}$es trivial (y${\displaystyle B}$mediante un argumento análogo). La suma infinita de nudos suele ser un nudo salvaje , no un nudo manso . Existen muchos ejemplos geométricos de este engaño. ^{[ 4 ]}

Orientado${\displaystyle n}$Las variedades tienen una operación de adición dada por la suma conectada, con identidad la${\displaystyle n}$-esfera. Si${\displaystyle A+B}$es el${\displaystyle n}$-esfera, entonces${\displaystyle A+B+A+B+\cdots }$es espacio euclidiano, por lo que la estafa de Mazur muestra que la suma conexa de${\displaystyle A}$y el espacio euclidiano es de nuevo espacio euclidiano. Por lo tanto${\displaystyle A}$es la compactificación de un punto del espacio euclidiano y por lo tanto${\displaystyle A}$es homeomorfo al${\displaystyle n}$-esfera. (Esto no muestra en el caso de variedades suaves que${\displaystyle A}$es difeomorfo al${\displaystyle n}$-esfera, y en algunas dimensiones, como${\displaystyle 7}$, existen ejemplos de esferas exóticas${\displaystyle A}$con inversas que no son difeomorfas al estándar${\displaystyle n}$-esfera.)

En álgebra, la suma utilizada en la estafa suele ser la suma directa de módulos sobre un anillo .

Una aplicación típica del engaño de Eilenberg en álgebra es la demostración de que si${\displaystyle A}$es un módulo proyectivo sobre un anillo${\displaystyle R}$entonces hay un módulo gratuito${\displaystyle F}$con${\displaystyle A\oplus F\cong F}$. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Para ver esto, elija un módulo${\displaystyle B}$de tal manera que${\displaystyle A\oplus B}$es gratis, lo cual se puede hacer como${\displaystyle A}$es proyectivo y se pone

${\displaystyle F=B\oplus A\oplus B\oplus A\oplus B\oplus \cdots }$

de modo que

${\displaystyle A\oplus F=A\oplus (B\oplus A)\oplus (B\oplus A)\oplus \cdots =(A\oplus B)\oplus (A\oplus B)\oplus \cdots \cong F.}$

Para otra aplicación del engaño, recordemos que los módulos libres finitamente generados sobre anillos conmutativos tienen como dimensión un número natural bien definido que es aditivo bajo sumas directas, y son isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión. ^{[ 7 ]}

Esto es falso para algunos anillos no conmutativos, y se puede construir un contraejemplo utilizando el engaño de Eilenberg de la siguiente manera: sea${\displaystyle X}$ser un grupo abeliano tal que${\displaystyle X\cong X\oplus X}$(por ejemplo, la suma directa de un número infinito de copias de cualquier grupo abeliano distinto de cero), y sea${\displaystyle R}$ser el anillo de endomorfismos de${\displaystyle X}$. Luego la izquierda${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle R}$es isomorfo a la izquierda${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle R\oplus R}$.

Como último ejemplo interesante, ^{[ 8 ]} si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$Si hay algún grupo, entonces la estafa de Eilenberg se puede utilizar para construir un anillo.${\displaystyle R}$de tal manera que el grupo anida${\displaystyle R[A]}$y${\displaystyle R[B]}$son anillos isomorfos: tome${\displaystyle R}$ser el anillo de grupo del producto directo restringido de infinitas copias de${\displaystyle A\times B}$.

La demostración del teorema de Schröder-Bernstein podría considerarse un antecedente del engaño de Eilenberg-Mazur. De hecho, las ideas son bastante similares. Si existen inyecciones de conjuntos de X a Y y de Y a X , esto significa que formalmente tenemos X = Y + A e Y = X + B para algunos conjuntos A y B , donde + significa unión disjunta y = significa que hay una biyección entre dos conjuntos. Al expandir lo primero con lo segundo,

X = X + A + B .

En esta biyección, sea Z el conjunto de elementos del lado izquierdo que corresponden a un elemento de X del lado derecho. Esta biyección se expande entonces a la biyección

X = A + B + A + B + ⋯ + Z .

Sustituyendo el lado derecho de X en Y = B + X se obtiene la biyección.

Y = B + A + B + A + ⋯ + Z .

Al intercambiar cada par adyacente B + A se obtiene

Y = A + B + A + B + ⋯ + Z .

Al componer la biyección para X con la inversa de la biyección para Y, se obtiene:

X = Y .

Este argumento dependía de las biyecciones A + B = B + A y A + ( B + C ) = ( A + B ) + C , así como de la buena definición de la unión disjunta infinita.

• Exposición de Terence Tao sobre el engaño de Mazur en topología.