Desatar nudos

En la teoría matemática de nudos , el nudo simple , no nudo , o nudo trivial , es el menos anudado de todos los nudos. ^{[ 1 ]} Intuitivamente, el nudo simple es un lazo cerrado de cuerda sin un nudo atado en él, sin nudo. Para un teórico de nudos, un nudo simple es cualquier círculo topológico incrustado en la 3-esfera que es isotópico ambiental (es decir, deformable) a un círculo geométricamente redondo , el nudo simple estándar .

El nudo simple es el único nudo que constituye el límite de un disco incrustado , lo que da lugar a la caracterización de que solo los nudos simples tienen género de Seifert 0. De manera similar, el nudo simple es el elemento identidad con respecto a la operación de suma de nudos .

Un nudo desnaturalizado es un bucle cerrado en tres dimensiones que no contiene nudos y que, en principio, puede extenderse formando un círculo sin que ninguna parte del bucle atraviese a otra. El diagrama de un nudo desnaturalizado es una proyección de su forma tridimensional en dos dimensiones, donde el bucle puede parecer que se cruza consigo mismo. En cada intersección de dos partes de la curva, el diagrama mostrará qué parte de la curva pasa por encima o por debajo de la otra. Para demostrar si un diagrama dado es un nudo desnaturalizado, se debe aplicar una secuencia de movimientos de Reidemeister para eliminar todos los cruces hasta que el diagrama sea un círculo, lo que se conoce como simplificación del diagrama. Esto generalmente implica hacer pasar partes del diagrama unas sobre otras (tipos II y III de Reidemeister) o desenroscar bucles (tipo I). Si bien un diagrama individual puede simplificarse con un número reducido de movimientos de Reidemeister, es muy difícil saber cuántos movimientos se necesitarán para un diagrama arbitrario.

Decidir si un nudo en particular es el nudo inverso fue un factor determinante en el desarrollo de los invariantes de nudos , ya que se pensaba que este enfoque podría proporcionar un algoritmo eficiente para reconocer el nudo inverso a partir de alguna representación, como un diagrama de nudos . Se sabe que el reconocimiento del nudo inverso pertenece tanto a NP como a co-NP .

Se sabe que la homología de Floer y la homología de Khovanov detectan el nudo descompuesto, pero se desconoce si son computacionalmente eficientes para este propósito. Se desconoce si el polinomio de Jones o los invariantes de tipo finito pueden detectar el nudo descompuesto.

Puede resultar difícil encontrar la manera de desenredar una cuerda, aunque el hecho de que inicialmente estuviera desenredada demuestre que la tarea es posible. Thistlethwaite y Ochiai proporcionaron numerosos ejemplos de diagramas de nudos que no tienen una forma obvia de simplificarlos, lo que requiere aumentar temporalmente el número de cruces del diagrama . Estos casos se conocen como nudos difíciles de desenredar .

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  Thistlethwaite desatar nudo
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  Uno de los nudos desenredados de Ochiai

Aunque la cuerda generalmente no forma un lazo cerrado, a veces existe una forma convencional de imaginar que los extremos se unen. Desde este punto de vista, muchos nudos prácticos útiles son en realidad nudos invertidos, incluidos aquellos que se pueden atar en una vuelta . ^{[ 2 ]}

Cada nudo manso puede representarse como un enlace , que es una colección de segmentos de línea rígidos conectados por articulaciones universales en sus extremos. El número de varillas es el número mínimo de segmentos necesarios para representar un nudo como un enlace, y un desenredo atascado es un enlace particular sin nudos que no puede reconfigurarse en un polígono convexo plano. ^{[ 3 ]} Al igual que el número de cruces, un enlace podría necesitar hacerse más complejo subdividiendo sus segmentos antes de poder simplificarse.

Un desenredado difícil es un diagrama del desenredado para el cual es difícil demostrar que no está anudado . Los diagramas de desenredados difíciles suelen tener al menos diez cruces, y la dificultad surge tanto de la percepción humana de la presencia de nudos como del número de movimientos de Reidemeister necesarios para reducir el diagrama al de un círculo. Por lo general, un diagrama de desenredado difícil requiere la introducción de cruces adicionales antes de que el número de cruces pueda reducirse a cero. Estos diagramas son importantes para el campo de la teoría de nudos porque pueden servir como casos para probar conjeturas sobre algoritmos de desenredado. ^{[ 4 ]}

Ejemplos

Los primeros ejemplos de diagramas de desatado difíciles fueron creados por Lebrecht Goeritz en 1934. Un diagrama conocido como el desatado de Goeritz contiene 11 cruces, pero requiere la creación de un cruce adicional para simplificarlo. ^{[ 5 ]} Otro diagrama temprano es conocido como "el Culpable" y fue creado por Ken Millett en 1988. ^{[ 6 ]} Contiene 10 cruces. Se deben introducir al menos dos cruces adicionales, haciendo que el diagrama alcance al menos 12 cruces, antes de que el nudo pueda desatarse usando movimientos de Reidemeister planares. (Nota, sin embargo, que solo se necesita introducir un nuevo cruce cuando se trabaja con movimientos de Reidemeister esféricos). Existen muchos otros ejemplos, como "el Monstruo" creado por Rob Scharein, quien usó un motor de física para mostrar que los desatados difíciles podían simplificarse. ^{[ 7 ]} Un estudio computacional de 2025 encontró 2,6 millones de casos de diagramas de nudos difíciles que no pudieron simplificarse con los algoritmos disponibles, pero se determinó que estaban desnudos mediante el cálculo de invariantes de nudos . ^{[ 8 ]}

El polinomio de Alexander-Conway y el polinomio de Jones del nudo descompuesto son triviales:

${\displaystyle \Delta (t)=1,\quad \nabla (z)=1,\quad V(q)=1.}$

Ningún otro nudo con 10 o menos cruces tiene un polinomio de Alexander trivial, pero el nudo de Kinoshita-Terasaka y el nudo de Conway (ambos con 11 cruces) tienen los mismos polinomios de Alexander y Conway que el nudo trivial. Queda por determinar si algún nudo no trivial tiene el mismo polinomio de Jones que el nudo trivial.

El nudo desnaturalizado es el único nudo cuyo grupo de nudos es un grupo cíclico infinito , y su complemento de nudo es homeomorfo a un toro sólido .

Si un diagrama se encuentra en la superficie de una esfera en lugar de un plano, deshacer el nudo puede ser más sencillo ya que parte del diagrama puede (por ejemplo) deslizarse sobre el Polo Norte, pasar por el ecuador y ser traído desde el Polo Sur. En el caso tanto del nudo de Goeritz como del Culpable, solo se requiere un cruce adicional (en lugar de dos) en una esfera, y el Monstruo ya no requiere cruces adicionales. En 2021, se demostró que ningún ejemplo publicado anteriormente de un nudo difícil requiere más de un cruce adicional en una esfera. ^{[ 9 ]} Se utilizaron métodos computacionales para crear nuevos diagramas de nudos difíciles que requieren al menos tres cruces adicionales, ya sea en una esfera o en un plano, actualmente los nudos más difíciles conocidos.

• Nudo (matemáticas) – Operación que combina dos nudos orientados 
• Número de desatado : Número mínimo de veces que un nudo específico debe pasarse a través de sí mismo para desatarse. 
• Unlink – Enlace que consta de un número finito de nudos no enlazados 

• " Deshacer nudos ", The Knot Atlas . Consultado el 7 de mayo de 2013. 
• Weisstein, Eric W. "Unknot" . MathWorld .