Ordenador analógico

Esta es una lista de ejemplos de dispositivos de computación primitivos considerados precursores de las computadoras modernas. Algunos de ellos incluso fueron denominados "computadoras" por la prensa, aunque tal vez no se ajusten a las definiciones actuales.

El mecanismo de Anticitera , un tipo de dispositivo utilizado para determinar las posiciones de los cuerpos celestes conocido como planetario , fue descrito como una de las primeras computadoras analógicas mecánicas por el físico, científico de la información e historiador de la ciencia británico Derek J. de Solla Price . ^{[ 3 ]} Fue descubierto en 1901 en los restos del naufragio del Anticitera , frente a la isla griega de Anticitera , entre Citera y Creta , y se ha datado entre el 150 y el 100 a . C. , durante el período helenístico . Dispositivos con un nivel de complejidad comparable al del mecanismo de Anticitera no volverían a aparecer hasta mil años después.

Se construyeron numerosos instrumentos mecánicos para el cálculo y la medición con fines astronómicos y de navegación. El planisferio fue descrito por primera vez por Ptolomeo en el siglo II d. C. El astrolabio se inventó en el mundo helenístico, entre los siglos I y II a. C., y a menudo se atribuye a Hiparco . Combinando el planisferio y la dióptra , el astrolabio era, en esencia, una computadora analógica capaz de resolver diversos problemas en astronomía esférica .

El sector , un instrumento de cálculo utilizado para resolver problemas de proporción, trigonometría, multiplicación y división, y para diversas funciones, como cuadrados y raíces cúbicas, se desarrolló a finales del siglo XVI y encontró aplicación en la artillería, la topografía y la navegación.

El planímetro era un instrumento manual para calcular el área de una figura cerrada trazándola con un mecanismo mecánico.

La regla de cálculo se inventó entre 1620 y 1630, poco después de la publicación del concepto de logaritmo . Se trata de una calculadora analógica manual para realizar multiplicaciones y divisiones. Con el avance de su desarrollo, se añadieron escalas que permitieron calcular recíprocos, cuadrados y raíces cuadradas, cubos y raíces cúbicas, así como funciones trascendentales como logaritmos y exponenciales, trigonometría circular e hiperbólica y otras funciones . Las calculadoras electrónicas han reemplazado en gran medida a las reglas de cálculo, aunque aún existen variantes específicas para este fin en algunos ámbitos, como la computadora de vuelo E6-B para el entrenamiento de pilotos.

Entre 1831 y 1835, el matemático e ingeniero Giovanni Plana ideó una máquina de calendario perpetuo que, mediante un sistema de poleas y cilindros, podía predecir el calendario perpetuo para cada año desde el año  0 d. C. (es decir, el 1  a. C.) hasta el año  4000 d. C., teniendo en cuenta los años bisiestos y la duración variable del día. ^{[ 4 ]}

La máquina de predicción de mareas inventada por Sir William Thomson en 1872 fue de gran utilidad para la navegación en aguas poco profundas. Utilizaba un sistema de poleas y cables para calcular automáticamente los niveles de marea previstos para un período determinado en un lugar específico.

El analizador diferencial , una computadora analógica mecánica diseñada para resolver ecuaciones diferenciales mediante integración , utilizaba mecanismos de rueda y disco para realizar la integración. En 1876, James Thomson ya había discutido la posible construcción de tales calculadoras, pero se había visto obstaculizado por el par de salida limitado de los integradores de bola y disco . Le siguieron varios sistemas, en particular los del ingeniero español Leonardo Torres Quevedo , quien construyó varias máquinas analógicas para resolver raíces reales y complejas de polinomios ; ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} y Michelson y Stratton, cuyo Analizador Armónico realizaba análisis de Fourier, pero utilizando una matriz de 80 resortes en lugar de integradores Kelvin. Este trabajo condujo a la comprensión matemática del fenómeno de Gibbs de sobreimpulso en la representación de Fourier cerca de discontinuidades. ^{[ 8 ]} En un analizador diferencial, la salida de un integrador impulsaba la entrada del siguiente integrador, o una salida gráfica. El amplificador de par fue el avance que permitió que estas máquinas funcionaran. A partir de la década de 1920, Vannevar Bush y otros desarrollaron analizadores diferenciales mecánicos.

El Dumaresq fue un dispositivo de cálculo mecánico inventado alrededor de 1902 por el teniente John Dumaresq de la Marina Real Británica . Se trataba de una computadora analógica que relacionaba variables vitales del control de tiro con el movimiento del propio barco y el del barco objetivo. A menudo se utilizaba junto con otros dispositivos, como un reloj de alcance Vickers, para generar datos de alcance y desviación, lo que permitía ajustar continuamente las miras de los cañones del barco. A medida que avanzaba su desarrollo, se produjeron varias versiones del Dumaresq de complejidad creciente.

En 1912, Arthur Pollen desarrolló una computadora analógica mecánica de accionamiento eléctrico para sistemas de control de tiro , basada en el analizador diferencial. Fue utilizada por la Armada Imperial Rusa en la Primera Guerra Mundial . ^{[ 9 ]}

A partir de 1929, se construyeron analizadores de redes de corriente alterna para resolver problemas de cálculo relacionados con sistemas de energía eléctrica que, en aquel entonces, eran demasiado complejos para resolverlos mediante métodos numéricos . ^{[ 10 ]} Estos eran esencialmente modelos a escala de las propiedades eléctricas del sistema a escala real. Dado que los analizadores de redes podían manejar problemas demasiado complejos para los métodos analíticos o el cálculo manual, también se utilizaron para resolver problemas en física nuclear y en el diseño de estructuras. A finales de la década de 1950, se habían construido más de 50 analizadores de redes de gran tamaño.

Los directores de tiro , las computadoras de datos de armas y las miras de bombas de la era de la Segunda Guerra Mundial usaban computadoras analógicas mecánicas. En 1942, Helmut Hölzer construyó una computadora analógica totalmente electrónica en el Centro de Investigación del Ejército de Peenemünde ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} como un sistema de control integrado ( dispositivo de mezcla ) para calcular las trayectorias de los cohetes V-2 a partir de las aceleraciones y orientaciones (medidas por giroscopios ) y para estabilizar y guiar el misil. ^{[ 14 ] [ 15 ]} Las computadoras analógicas mecánicas fueron muy importantes en el control de tiro de armas en la Segunda Guerra Mundial, la Guerra de Corea y mucho después de la Guerra de Vietnam; se fabricaron en cantidades significativas.

Entre 1930 y 1945, en los Países Bajos, Johan van Veen desarrolló una computadora analógica para calcular y predecir las corrientes de marea al modificarse la geometría de los canales. Hacia 1950, esta idea se transformó en el Deltar , una computadora analógica hidráulica que facilitó el cierre de estuarios en el suroeste de los Países Bajos (las Obras del Delta ).

La FERMIAC fue una computadora analógica inventada por el físico Enrico Fermi en 1947 para ayudar en sus estudios sobre el transporte de neutrones. ^{[ 16 ]} El Proyecto Cyclone fue una computadora analógica desarrollada por Reeves en 1950 para el análisis y diseño de sistemas dinámicos. ^{[ 17 ]} El Proyecto Typhoon fue una computadora analógica desarrollada por RCA en 1952. Consistía en más de 4000 tubos electrónicos y utilizaba 100 diales y 6000 conectores enchufables para su programación. ^{[ 18 ]} La computadora MONIAC ​​fue una analogía hidráulica de una economía nacional presentada por primera vez en 1949. ^{[ 19 ]}

Computer Engineering Associates se escindió de Caltech en 1950 para proporcionar servicios comerciales utilizando la "Direct Analogy Electric Analog Computer" ("la instalación analizadora de propósito general más grande e impresionante para la solución de problemas de campo") desarrollada allí por Gilbert D. McCann, Charles H. Wilts y Bart Locanthi . ^{[ 20 ] [ 21 ]}

Las computadoras analógicas educativas ilustraban los principios del cálculo analógico. La Heathkit EC-1, una computadora analógica educativa de $199, fue fabricada por la Heath Company, EE. UU . alrededor de 1960. ^{[ 22 ]} Se programaba usando cables de conexión que unían nueve amplificadores operacionales y otros componentes. ^{[ 23 ]} General Electric también comercializó un kit de computadora analógica "educativa" de diseño simple a principios de la década de 1960, que consistía en dos generadores de tono de transistor y tres potenciómetros cableados de tal manera que la frecuencia del oscilador se anulaba cuando los diales de los potenciómetros se colocaban a mano para satisfacer una ecuación. La resistencia relativa del potenciómetro era entonces equivalente a la fórmula de la ecuación que se estaba resolviendo. Se podían realizar multiplicaciones o divisiones, dependiendo de qué diales eran entradas y cuál era la salida. La precisión y la resolución eran limitadas y una regla de cálculo simple era más precisa. Sin embargo, la unidad sí demostraba el principio básico.

Los diseños de computadoras analógicas se publicaron en revistas de electrónica. Un ejemplo es la PEAC (computadora analógica de electrónica práctica), publicada en Practical Electronics en la edición de enero de 1968. ^{[ 24 ]} Otro diseño de computadora híbrida más moderno se publicó en Everyday Practical Electronics en 2002. ^{[ 25 ]} Un ejemplo descrito en la computadora híbrida EPE fue el vuelo de una aeronave VTOL como el avión de despegue vertical Harrier . ^{[ 25 ]} La altitud y la velocidad de la aeronave fueron calculadas por la parte analógica de la computadora y enviadas a una PC a través de un microprocesador digital y mostradas en la pantalla de la PC.

En el control de procesos industriales , se utilizaban controladores de lazo analógico para regular automáticamente la temperatura, el caudal, la presión u otras condiciones del proceso. La tecnología de estos controladores abarcaba desde integradores puramente mecánicos, pasando por dispositivos de tubo de vacío y de estado sólido, hasta la emulación de controladores analógicos mediante microprocesadores.

Una máquina de computación analógica consta de varios componentes principales: ^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]}

• Fuentes de señal: Se trata de bloques que generan señales analógicas, como voltaje o corriente, para representar datos de entrada y operaciones.
• Amplificadores : Los amplificadores se utilizan para potenciar las señales analógicas y mantener su amplitud en todo el sistema. Amplifican las señales de entrada débiles y compensan las pérdidas de señal durante la transmisión.
• Filtros : Los filtros se utilizan para modificar el espectro de las señales, suprimiendo o amplificando frecuencias específicas. Permiten aislar o suprimir ciertos componentes de la señal según los requisitos computacionales.
• Moduladores y demoduladores : Los moduladores convierten la información en señales analógicas que pueden transmitirse a través de un canal de comunicación, y los demoduladores realizan la transformación inversa, recuperando los datos originales a partir de las señales moduladas.
• Sumadores , multiplicadores , convertidores logarítmicos y otras etapas de cálculo: Estos realizan operaciones aritméticas sobre señales analógicas. Se pueden utilizar para operaciones matemáticas como suma, multiplicación, potenciación, integración y derivación.
• Almacenamiento y memoria : Las máquinas de computación analógicas pueden utilizar diversas formas de almacenamiento de información, como condensadores o inductores, para almacenar resultados intermedios y memoria.
• Retroalimentación y control: Los bloques de retroalimentación y control se utilizan para mantener la estabilidad y precisión de la máquina de cálculo analógica. Pueden incluir sistemas de regulación y corrección de errores.
• Panel de conexiones : Las máquinas de computación analógicas también cuentan con un panel de conexiones o campo de conexiones. Un panel de conexiones es una estructura física donde se colocan conectores o contactos para interconectar los distintos componentes y módulos del sistema.

En el panel de conexiones, se pueden configurar y conmutar diversas conexiones y rutas para configurar la máquina y determinar los flujos de señal. Esto permite a los usuarios configurar y reconfigurar de forma flexible el sistema informático analógico para realizar tareas específicas.

Los paneles de conexión se utilizan para controlar el flujo de datos , conectar y desconectar elementos entre los distintos bloques del sistema, como fuentes de señal, amplificadores, filtros y otros componentes. Proporcionan comodidad y flexibilidad para configurar y experimentar con cálculos analógicos.

Los paneles de conexión pueden presentarse como un panel físico con conectores o, en sistemas más modernos, como una interfaz de software que permite la gestión virtual de las conexiones y rutas de señal.

• Interfaces de hardware : Las interfaces proporcionan medios para interactuar con la máquina, por ejemplo, para el control de parámetros o la transmisión de datos.
• Dispositivo de salida : este dispositivo está diseñado para presentar los resultados de cálculos analógicos de forma práctica para el usuario o para transmitir los datos obtenidos a otros sistemas.

Los dispositivos de salida en las máquinas analógicas pueden variar según los objetivos específicos del sistema. Por ejemplo, pueden ser indicadores gráficos, osciloscopios , dispositivos de registro gráfico, módulos de conexión de TV , voltímetros , etc. Estos dispositivos permiten visualizar señales analógicas y representar los resultados de mediciones u operaciones matemáticas.

• Fuente de alimentación y estabilizadores .

Estos son solo bloques generales que se pueden encontrar en una máquina de computación analógica típica. La configuración y los componentes reales pueden variar según la implementación específica y el uso previsto de la máquina.

A lo largo de la historia, se han inventado muchos tipos de computadoras analógicas mecánicas. Estas abarcaban desde dispositivos sencillos (como planímetros ) hasta complejos sistemas de control de tiro que guiaban los cañones navales de la Segunda Guerra Mundial.

Las computadoras analógicas mecánicas prácticas de cierta complejidad utilizaban ejes giratorios para transportar variables de un mecanismo a otro. En un sintetizador de Fourier, una máquina de predicción de mareas , se empleaban cables y poleas, que sumaban los componentes armónicos individuales. Otra categoría, mucho menos conocida, utilizaba ejes giratorios únicamente para la entrada y salida, con cremalleras y piñones de precisión. Las cremalleras estaban conectadas a mecanismos que realizaban el cálculo. Al menos una computadora de control de tiro de sonar de la Armada de los EE. UU. de finales de la década de 1950, fabricada por Librascope , era de este tipo, al igual que la computadora principal del sistema de control de tiro de cañones Mk. 56. ^{[ 33 ]}

Estas computadoras a menudo empleaban diferenciales de engranajes cónicos de precisión (pares de engranajes cónicos dispuestos para producir la suma o la diferencia de dos rotaciones de ejes) para transmitir variables entre los elementos de cálculo. La computadora de control de incendios Ford Instrument Mark I, por ejemplo, contenía aproximadamente 160 diferenciales de engranajes cónicos. ^{[ 34 ] [ 35 ]}

La integración con respecto a otra variable se realizaba mediante un disco giratorio accionado por una de las variables. La salida provenía de un dispositivo de captación (como una rueda) situado en un radio del disco proporcional a la segunda variable. (Un soporte con un par de bolas de acero sostenidas por pequeños rodillos funcionaba especialmente bien. Un rodillo, cuyo eje era paralelo a la superficie del disco, proporcionaba la salida. Este rodillo se mantenía presionado contra el par de bolas mediante un resorte).

Las funciones arbitrarias de una variable se obtenían mediante levas, con engranajes para convertir el movimiento del seguidor en rotación del eje.

Las funciones de dos variables se obtenían mediante levas tridimensionales. En un buen diseño, una de las variables hacía girar la leva. Un seguidor hemisférico movía su soporte sobre un eje de pivote paralelo al eje de rotación de la leva. El movimiento de pivote era la salida. La segunda variable movía el seguidor a lo largo del eje de la leva. Una aplicación práctica era la balística en artillería.

La conversión de coordenadas polares a rectangulares se realizaba mediante un solucionador mecánico (denominado "solucionador de componentes" en los ordenadores de control de tiro de la Armada estadounidense). Dos discos sobre un eje común posicionaban un bloque deslizante con un pasador (eje corto). Un disco era una leva frontal, y un seguidor en el bloque, en la ranura de la leva, ajustaba el radio. El otro disco, más cercano al pasador, contenía una ranura recta por la que se movía el bloque. El ángulo de entrada hacía girar este último disco (el disco de la leva frontal, para un radio constante, giraba con el otro disco (de ángulo); un diferencial y algunos engranajes realizaban esta corrección).

En referencia al marco del mecanismo, la ubicación del pasador correspondía al extremo del vector representado por las entradas de ángulo y magnitud. Sobre ese pasador estaba montado un bloque cuadrado.

Las señales de salida en coordenadas rectilíneas (tanto seno como coseno, por lo general) provenían de dos placas ranuradas, cada una encajada en el bloque mencionado. Las placas se movían en línea recta, perpendicularmente al movimiento de la otra. Las ranuras eran perpendiculares a la dirección del movimiento. Cada placa, por sí sola, era como un yugo escocés , conocido por los aficionados a las máquinas de vapor.

Durante la Segunda Guerra Mundial, un mecanismo similar convertía las coordenadas rectilíneas en polares, pero no tuvo mucho éxito y fue eliminado en un rediseño importante (USN, Mk.  1 a Mk.  1A).

La multiplicación se realizaba mediante mecanismos basados ​​en la geometría de triángulos rectángulos semejantes. Utilizando los términos trigonométricos de un triángulo rectángulo (cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa), el cateto adyacente se fijaba por construcción. Una variable modificaba la magnitud del cateto opuesto. En muchos casos, esta variable cambiaba de signo; la hipotenusa podía coincidir con el cateto adyacente (un valor de entrada cero) o desplazarse más allá del cateto adyacente, lo que representaba un cambio de signo.

Normalmente, una cremallera accionada por piñón, que se mueve paralelamente al lado opuesto (definido trigonométricamente), posiciona una corredera con una ranura que coincide con la hipotenusa. Un pivote en la cremallera permite que el ángulo de la corredera varíe libremente. En el otro extremo de la corredera (el ángulo, en términos trigonométricos), un bloque sobre un pivote fijado al bastidor define el vértice entre la hipotenusa y el lado adyacente.

A cualquier distancia a lo largo del cateto adyacente, una línea perpendicular a este interseca la hipotenusa en un punto determinado. La distancia entre ese punto y el cateto adyacente es una fracción que resulta del producto de 1) la distancia desde el vértice y 2) la magnitud del cateto opuesto.

La segunda variable de entrada en este tipo de multiplicador posiciona una placa ranurada perpendicular al lado adyacente. Dicha ranura contiene un bloque, cuya posición está determinada por otro bloque situado justo al lado. Este último se desliza a lo largo de la hipotenusa, de modo que ambos bloques se encuentran a una distancia del lado adyacente (trigonal) proporcional al producto.

Para proporcionar el producto como salida, un tercer elemento, otra placa ranurada, también se mueve paralelamente al lado opuesto (triangular) del triángulo teórico. Como es habitual, la ranura es perpendicular a la dirección del movimiento. Un bloque alojado en su ranura, pivotado sobre el bloque de la hipotenusa, lo posiciona.

Un tipo especial de integrador, utilizado en puntos donde se requería una precisión moderada, se basaba en una bola de acero en lugar de un disco. Tenía dos entradas: una para girar la bola y otra para definir el ángulo de su eje de rotación. Dicho eje siempre se encontraba en un plano que contenía los ejes de dos rodillos de captación de movimiento, muy similar al mecanismo de un ratón de ordenador con bola (en ese mecanismo, los rodillos de captación tenían aproximadamente el mismo diámetro que la bola). Los ejes de los rodillos de captación formaban un ángulo recto.

Un par de rodillos, uno encima y otro debajo del plano de recogida, estaban montados en soportes giratorios unidos mediante engranajes. Este engranaje, accionado por el ángulo de entrada, establecía el eje de rotación de la bola. El otro valor de entrada hacía girar el rodillo inferior, provocando así la rotación de la bola.

Básicamente, todo el mecanismo, denominado integrador de componentes, era un variador de velocidad con una entrada de movimiento y dos salidas, además de una entrada angular. Esta entrada angular modificaba la relación (y la dirección) del acoplamiento entre la entrada de "movimiento" y las salidas según el seno y el coseno del ángulo de entrada.

Aunque no realizaban ningún cálculo, los servomotores de posición electromecánicos (también conocidos como amplificadores de par) eran esenciales en las computadoras analógicas mecánicas del tipo "eje giratorio" para proporcionar par de funcionamiento a las entradas de los mecanismos de cálculo posteriores, así como para accionar dispositivos de transmisión de datos de salida, como los grandes síncronos transmisores de par en las computadoras navales.

Otros mecanismos de lectura, que no formaban parte directamente del cálculo, incluían contadores internos similares a odómetros con diales de tambor interpoladores para indicar variables internas y topes mecánicos de límite de múltiples vueltas.

Teniendo en cuenta que el control preciso de la velocidad de rotación en las computadoras analógicas de control de tiro era un elemento básico de su precisión, existía un motor cuya velocidad promedio estaba controlada por un volante de inercia, un resorte espiral, un diferencial con cojinetes de rubí, una leva de doble lóbulo y contactos con resorte (la frecuencia de la alimentación de CA del barco no era necesariamente precisa ni lo suficientemente fiable cuando se diseñaron estas computadoras).

Las computadoras analógicas electrónicas suelen tener paneles frontales con numerosos conectores (tomas de un solo contacto) que permiten el uso de cables de conexión (cables flexibles con enchufes en ambos extremos) para crear las interconexiones que definen la configuración del problema. Además, cuentan con potenciómetros de precisión de alta resolución (resistencias variables) para configurar (y, cuando sea necesario, modificar) los factores de escala. También suelen incluir un medidor analógico de aguja con centro cero para la medición de voltaje con precisión moderada. Las fuentes de voltaje estables y precisas proporcionan magnitudes conocidas.

Las computadoras analógicas electrónicas típicas contienen desde unos pocos hasta cien o más amplificadores operacionales (o "amplificadores op"), llamados así porque realizan operaciones matemáticas. Los amplificadores op son un tipo particular de amplificador de retroalimentación con una ganancia muy alta y una entrada estable (desplazamiento bajo y estable). Siempre se utilizan con componentes de retroalimentación de precisión que, durante su funcionamiento, prácticamente anulan las corrientes provenientes de los componentes de entrada. La mayoría de los amplificadores op en una configuración típica son amplificadores sumadores, que suman y restan voltajes analógicos, proporcionando el resultado en sus salidas. Además, los amplificadores op con retroalimentación capacitiva suelen incluirse en la configuración; estos integran la suma de sus entradas con respecto al tiempo.

La integración con respecto a otra variable es dominio casi exclusivo de los integradores analógicos mecánicos; prácticamente nunca se realiza en computadoras analógicas electrónicas. Sin embargo, dado que la solución de un problema no cambia con el tiempo, este puede considerarse una de las variables.

Otros elementos de computación incluyen multiplicadores analógicos, generadores de funciones no lineales y comparadores analógicos.

Los componentes eléctricos, como inductores y condensadores, utilizados en las computadoras analógicas, debían fabricarse cuidadosamente para minimizar los efectos no ideales. Por ejemplo, en la construcción de analizadores de redes eléctricas de corriente alterna , una de las razones para utilizar frecuencias más altas en la calculadora (en lugar de la frecuencia de la red eléctrica) era la mayor facilidad para fabricar inductores de mayor calidad. Muchas computadoras analógicas de uso general prescindían por completo del uso de inductores, reformulando el problema de manera que pudiera resolverse utilizando únicamente elementos resistivos y capacitivos, dado que la fabricación de condensadores de alta calidad es relativamente sencilla.

El uso de propiedades eléctricas en las computadoras analógicas implica que los cálculos se realizan normalmente en tiempo real (o incluso más rápido), a una velocidad determinada principalmente por la respuesta en frecuencia de los amplificadores operacionales y otros elementos de cálculo. En la historia de las computadoras analógicas electrónicas, existieron algunos tipos especiales de alta velocidad.

Mediante el diseño de generadores de funciones (circuitos especiales con diversas combinaciones de resistencias y diodos, que proporcionan la no linealidad), se pueden construir funciones y cálculos no lineales con una precisión limitada (tres o cuatro dígitos) . Normalmente, a medida que aumenta la tensión de entrada, conducen progresivamente más diodos.

Al compensar la temperatura, la caída de tensión directa de la unión base-emisor de un transistor puede proporcionar una función logarítmica o exponencial suficientemente precisa. Los amplificadores operacionales escalan la tensión de salida para que sea compatible con el resto del ordenador.

Cualquier proceso físico que simule algún cálculo puede interpretarse como una computadora analógica. Algunos ejemplos, creados para ilustrar el concepto de computación analógica, incluyen el uso de un manojo de espaguetis como modelo para ordenar números ; una tabla, un conjunto de clavos y una goma elástica como modelo para hallar la envoltura convexa de un conjunto de puntos; y cuerdas atadas entre sí como modelo para hallar el camino más corto en una red. Todos estos ejemplos se describen en Dewdney (1984).