Elipsógrafo

Un elipsógrafo es un mecanismo que genera la forma de una elipse . Una forma común de elipsógrafo se conoce como el compás de Arquímedes . ^{[ 1 ]} Consta de dos lanzaderas que se encuentran confinadas en canales o rieles perpendiculares y una varilla que está unida a las lanzaderas mediante pivotes en posiciones ajustables a lo largo de la varilla.

A medida que las lanzaderas se mueven de un lado a otro, cada una a lo largo de su canal, todos los puntos de la varilla describen trayectorias elípticas. Este movimiento de la varilla se denomina movimiento elíptico. Los semiejes a y b de las elipses tienen longitudes iguales a las distancias desde el punto de la varilla hasta cada uno de los dos pivotes.

Las líneas rectas descritas por los pivotes son casos especiales de una elipse, donde la longitud de un eje es el doble de la distancia entre los pivotes y la del otro es cero. Todos los puntos de un círculo con un diámetro definido por los dos pivotes se corresponden en dichas líneas rectas. Este círculo corresponde al círculo menor en un par de Tusi .

El punto medio entre los pivotes orbita en un círculo alrededor del punto donde se cruzan los canales. Este círculo es también un caso particular de elipse. En este caso, los ejes tienen la misma longitud. El diámetro del círculo es igual a la distancia entre los pivotes. La dirección de desplazamiento alrededor de la órbita es opuesta al sentido de rotación del mecanismo de ajuste. Por lo tanto, si se utiliza una manivela centrada en el punto de cruce de los canales para accionar el mecanismo de ajuste en el punto medio, la rotación del pasador de la manivela y del mecanismo de ajuste son iguales y opuestas, lo que en aplicaciones prácticas genera fricción adicional y un desgaste acelerado. Esto se ve agravado por las elevadas fuerzas debidas al corto recorrido de la manivela, que equivale a tan solo una cuarta parte del recorrido de los pivotes.

También se fabrican versiones como juguetes o artículos de novedad (vendidos con nombres como Kentucky do-nothings , nothing grinders , do nothing machines , smoke grinders o bullshit grinders ). En estos juguetes, el instrumento de dibujo se reemplaza por una manivela , y las posiciones de las lanzaderas deslizantes a lo largo de la varilla suelen ser fijas.

Matemáticas

Concepto

Trammel de Arquímedes como elipsógrafo
Diagrama
Lugares geométricos de algunos puntos a lo largo y más allá de un compás de Arquímedes, donde el círculo verde representa el lugar geométrico de su punto medio . En el archivo SVG, mueva el puntero sobre el diagrama para mover el compás.
Trampilla de Arquímedes con tres deslizadores

Sea $C$ el extremo exterior de la varilla, y $A$ y $B$ los pivotes de los deslizadores. Sean $AB$ y $BC$ las distancias de $A$ a $B$ y de $B$ a $C$ , respectivamente. Supongamos que los deslizadores $A$ y $B$ se mueven a lo largo de los ejes de coordenadas $y$ y $x$ , respectivamente. Cuando la varilla forma un ángulo $θ$ con el eje x , las coordenadas del punto $C$ vienen dadas por

{\begin{aligned}x&=(AB+BC)\cos \theta \,\\y&=BC\sin \theta \,\end{aligned}}

Estas tienen la forma de las ecuaciones paramétricas estándar para una elipse en posición canónica. La ecuación adicional

{\frac {x^{2}}{(AB+BC)^{2}}}+{\frac {y^{2}}{(BC)^{2}}}=1

También es inmediato.

El mecanismo de Arquímedes es un ejemplo de un mecanismo de cuatro barras con dos deslizadores y dos pivotes, y es un caso especial del mecanismo oblicuo más general. Los ejes que restringen los pivotes no tienen por qué ser perpendiculares y los puntos $A$ , $B$ y $C$ pueden formar un triángulo. El lugar geométrico resultante de $C$ sigue siendo una elipse. ^{[ 2 ]}

Elipsógrafos

Un elipsógrafo es un compás de Arquímedes diseñado para dibujar, cortar o mecanizar elipses, por ejemplo, en madera u otros materiales laminados. Un elipsógrafo tiene el instrumento apropiado (lápiz, cuchilla, fresadora , etc.) acoplado a la varilla. Generalmente, las distancias a y b son ajustables, lo que permite variar el tamaño y la forma de la elipse.

La historia de tales elipsógrafos no es segura, pero se cree que datan de Proclo y quizás incluso de la época de Arquímedes . ^{[ 2 ]}

Véase también

Notas

↑ Schwartzman, Steven (1996). Las palabras de las matemáticas . La Asociación Matemática de América . ISBN 0-88385-511-9.( Copia en línea restringida , pág. 223, en Google Libros )
1 2 Wetzel , John E. (febrero de 2010). "Un antiguo lugar elíptico". American Mathematical Monthly . 117 (2): 161– 167. doi : 10.4169/000298910x476068 . JSTOR 10. S2CID 117701083 .

Referencias

JW Downs: Secciones cónicas prácticas: Propiedades geométricas de elipses, parábolas e hipérbolas . Courier Dover 2003, ISBN 978-0-486-42876-5, págs. 4–5 ( copia restringida en línea , pág. 4, en Google Books )
II Artobolevskii Mecanismos para la generación de curvas planas . Pergamon Press 1964, ISBN 978-1483120003.

Enlaces externos

Vídeo de varios diseños de máquinas de trinquete en acción.
Recortar elipses en madera
Foto de un holgazán de Kentucky
Vídeo de un objeto inactivo hecho con bloques de Lego.
"El trampolín torcido de Arquímedes" Archivado el 20/02/2012 en Wayback Machine Una exploración de un trampolín generalizado.
Patente estadounidense 4306598 para guía de corte de elipses que permite elipses pequeñas.
Secretos del molinillo de la nada (video de YouTube de Matologer)

[1] Schwartzman, Steven (1996). Las palabras de las matemáticas . La Asociación Matemática de América . ISBN 0-88385-511-9.( Copia en línea restringida , pág. 223, en Google Libros )

[AMM-2] 1 2 Wetzel , John E. (febrero de 2010). "Un antiguo lugar elíptico". American Mathematical Monthly . 117 (2): 161– 167. doi : 10.4169/000298910x476068 . JSTOR 10. S2CID 117701083 .

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