Complejo elíptico

En matemáticas , en particular en ecuaciones diferenciales parciales y geometría diferencial , un complejo elíptico generaliza la noción de operador elíptico a secuencias. Los complejos elípticos aíslan las características comunes al complejo de De Rham y al complejo de Dolbeault , esenciales para la teoría de Hodge . También surgen en relación con el teorema del índice de Atiyah-Singer y el teorema del punto fijo de Atiyah-Bott .

Si E ₀ , E ₁ , ..., E _k son haces vectoriales en una variedad diferenciable M (generalmente considerada compacta), entonces un complejo diferencial es una secuencia

${\displaystyle \Gamma (E_{0}){\stackrel {P_{1}}{\longrightarrow }}\Gamma (E_{1}){\stackrel {P_{2}}{\longrightarrow }}\ldots {\stackrel {P_{k}}{\longrightarrow }}\Gamma (E_{k})}$

de operadores diferenciales entre haces de secciones de E _i tales que P _{i +1}${\displaystyle \circ }$P _i =0. Un complejo diferencial con operadores de primer orden es elíptico si la secuencia de símbolos

${\displaystyle 0\rightarrow \pi ^{*}E_{0}{\stackrel {\sigma (P_{1})}{\longrightarrow }}\pi ^{*}E_{1}{\stackrel {\sigma (P_{2})}{\longrightarrow }}\ldots {\stackrel {\sigma (P_{k})}{\longrightarrow }}\pi ^{*}E_{k}\rightarrow 0}$

es exacto fuera de la sección cero. Aquí π es la proyección del fibrado cotangente T*M sobre M , y π * es el retroceso de un fibrado vectorial.

• Complejo de cadena

Atiyah, MF ; Singer, IM (1968). "El índice de operadores elípticos: I" . The Annals of Mathematics . 87 (3): 484. doi : 10.2307/1970715 . JSTOR 1970715 .