Teorema del punto fijo de Atiyah-Bott

En matemáticas , el teorema del punto fijo de Atiyah-Bott , demostrado por Michael Atiyah y Raoul Bott en la década de 1960, es una forma general del teorema del punto fijo de Lefschetz para variedades diferenciables M , que utiliza un complejo elíptico sobre M. Este es un sistema de operadores diferenciales elípticos sobre haces vectoriales , que generaliza el complejo de De Rham construido a partir de formas diferenciales diferenciables que aparece en el teorema original del punto fijo de Lefschetz.

La idea es encontrar el reemplazo correcto para el número de Lefschetz , que en el resultado clásico es un número entero que cuenta la contribución correcta de un punto fijo de una aplicación suave.

${\displaystyle f\colon M\to M.}$

Intuitivamente, los puntos fijos son los puntos de intersección de la gráfica de f con la diagonal (gráfica de la aplicación identidad) en${\displaystyle M\times M}$y el número de Lefschetz se convierte así en un número de intersección . El teorema de Atiyah-Bott es una ecuación en la que el lado izquierdo debe ser el resultado de un cálculo topológico (homológico) global, y el lado derecho una suma de las contribuciones locales en puntos fijos de f .

Contando codimensiones en${\displaystyle M\times M}$Una suposición de transversalidad para la gráfica de f y la diagonal debería asegurar que el conjunto de puntos fijos sea de dimensión cero. Suponiendo que M es una variedad cerrada, se debería asegurar entonces que el conjunto de intersecciones sea finito, lo que produce una suma finita como el lado derecho de la fórmula esperada. Se necesitan más datos relacionados con el complejo elíptico de haces vectoriales.${\displaystyle E_{j}}$, es decir, un mapa de paquetes

${\displaystyle \varphi _{j}\colon f^{-1}(E_{j})\to E_{j}}$

para cada j , de tal manera que los mapas resultantes en las secciones den lugar a un endomorfismo de un complejo elíptico${\displaystyle T}$. Tal endomorfismo${\displaystyle T}$tiene número de Lefschetz

${\displaystyle L(T),}$

que por definición es la suma alternada de sus trazas en cada parte graduada de la homología del complejo elíptico.

La forma del teorema es entonces

${\displaystyle L(T)=\sum _{x}\left(\sum _{j}(-1)^{j}\mathrm {traza} \,\varphi _{j,x}\right)/\delta (x).}$

Aquí se traza${\displaystyle \varphi _{j,x}}$significa el rastro de ${\displaystyle \varphi _{j}}$en un punto fijo x de f y${\displaystyle \delta (x)}$es el determinante del endomorfismo${\displaystyle I-Df}$en x , con${\displaystyle Df}$la derivada de f (el hecho de que no sea nula es consecuencia de la transversalidad). La suma externa se realiza sobre los puntos fijos x , y la suma interna sobre el índice j en el complejo elíptico.

Al especializar el teorema de Atiyah-Bott al complejo de De Rham de formas diferenciales suaves, se obtiene la fórmula original del punto fijo de Lefschetz. Una aplicación famosa del teorema de Atiyah-Bott es una demostración sencilla de la fórmula del carácter de Weyl en la teoría de grupos de Lie .

La historia temprana de este resultado está entrelazada con la del teorema del índice de Atiyah-Singer . Hubo otras aportaciones, como sugiere el nombre alternativo de teorema del punto fijo de Woods Hole que se usó en el pasado (que se refiere propiamente al caso de puntos fijos aislados). ^{[ 1 ]} Una reunión en Woods Hole en 1964 reunió a un grupo diverso:

Eichler inició la interacción entre los teoremas de punto fijo y las formas automorfas . Shimura desempeñó un papel importante en este desarrollo al explicárselo a Bott en la conferencia de Woods Hole en 1964. ^{[ 2 ]}

Como lo expresa Atiyah: ^{[ 3 ]}

[en la conferencia]... Bott y yo nos enteramos de una conjetura de Shimura sobre una generalización de la fórmula de Lefschetz para mapas holomorfos. Después de mucho esfuerzo, nos convencimos de que debía existir una fórmula general de este tipo [...]; .

y llegaron a una versión para complejos elípticos.

Según recuerda William Fulton , que también estuvo presente en la conferencia, el primero en presentar una prueba fue Jean-Louis Verdier .

En el contexto de la geometría algebraica , la afirmación se aplica a variedades lisas y propias sobre un cuerpo algebraicamente cerrado. Esta variante de la fórmula del punto fijo de Atiyah-Bott fue demostrada por Kondyrev y Prikhodko (2018) al expresar ambos lados de la fórmula como trazas categóricas elegidas adecuadamente .

• Fórmula de residuos de Bott

• Atiyah, Michael F.; Bott , Raoul (1966), "Una fórmula de punto fijo de Lefschetz para operadores diferenciales elípticos" (PDF) , Bulletin of the American Mathematical Society , 72 (2): 245–50 , doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11483-0. Este texto enuncia un teorema que calcula el número de Lefschetz de un endomorfismo de un complejo elíptico.
• Atiyah, Michael F .; Bott, Raoul (1967), "Una fórmula de punto fijo de Lefschetz para complejos elípticos: I", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 86 (2): 374–407 , doi : 10.2307/1970694 , JSTOR 1970694 y Atiyah, Michael F.; Bott , Raoul (1968), "Una fórmula de punto fijo de Lefschetz para complejos elípticos: II. Aplicaciones", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 88 (3): 451– 491, doi : 10.2307/1970721 , JSTOR 1970721 Aquí se presentan las demostraciones y algunas aplicaciones de los resultados anunciados en el artículo anterior.

• Kondyrev, Grigory; Prikhodko, Artem (2018), "Prueba categórica de la fórmula holomorfa de Atiyah-Bott", J. Inst. Matemáticas. Jussieu : 1– 25, arXiv : 1607.06345 , doi : 10.1017/S1474748018000543

• Tu, Loring W. (21 de diciembre de 2005). "El teorema del punto fijo de Atiyah-Bott" . La vida y obra de Raoul Bott .
• Tu, Loring W. (noviembre de 2015). "Sobre la génesis del teorema del punto fijo de Woods Hole" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . Providence, RI: American Mathematical Society. págs. 1200–1206 .