agujero de gusano de Ellis

El agujero de gusano de Ellis es un caso especial del agujero de drenaje de Ellis en el que el éter no fluye y no hay gravedad. Lo que queda es un agujero de gusano transitable puro que comprende un par de regiones tridimensionales idénticas, no planas, unidas en una esfera bidimensional, la garganta del agujero de gusano. Como se ve en la imagen, las secciones transversales ecuatoriales bidimensionales del agujero de gusano son "collarines" catenoidales que son asintóticamente planos lejos de la garganta. Al no haber gravedad, un observador inercial ( partícula de prueba ) puede permanecer indefinidamente en reposo en cualquier punto del espacio, pero si se pone en movimiento por alguna perturbación, seguirá una geodésica de una sección transversal ecuatorial a velocidad constante, al igual que un fotón.

Como un caso especial del agujero de drenaje de Ellis , que a su vez es un "agujero de gusano transitable", el agujero de gusano de Ellis se remonta al descubrimiento del agujero de drenaje en 1969 (fecha de la primera presentación) por HG Ellis, ^{[ 1 ]} e independientemente casi al mismo tiempo por KA Bronnikov. ^{[ 2 ]}

Ellis y Bronnikov derivaron el agujero de gusano transitable original como una solución de las ecuaciones de campo de vacío de Einstein aumentadas mediante la inclusión de un campo escalar.${\displaystyle \phi }$acoplado mínimamente a la geometría del espacio-tiempo con polaridad de acoplamiento opuesta a la polaridad ortodoxa (negativa en lugar de positiva). Algunos años más tarde, M. S. Morris y KS Thorne fabricaron una réplica del agujero de gusano de Ellis para usarla como herramienta para enseñar la relatividad general, ^{[ 3 ]} afirmando que la existencia de tal agujero de gusano requería la presencia de "energía negativa", un punto de vista que Ellis había considerado y rechazado explícitamente, basándose en que los argumentos a su favor no eran convincentes. ^{[ 1 ]}

La métrica del agujero de gusano tiene la forma de tiempo propio.

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-d\sigma ^{2}\,,}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma ^{2}&=d\rho ^{2}+r^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\\&=d\rho ^{2}+\left(\rho ^{2}+n^{2}\right)\,d\Omega ^{2}\\&=d\rho ^{2}+\left(\rho ^{2}+n^{2}\right)\,\left[d\vartheta ^{2}+(\sin \vartheta )^{2}\,d\varphi ^{2}\right]\;\;\end{aligned}}}$

y${\displaystyle n}$es el parámetro del orificio de drenaje que sobrevive después del parámetro${\displaystyle m}$de la solución de drenaje de Ellis se establece en 0 para detener el flujo de éter y, por lo tanto, eliminar la gravedad. Si uno va más allá y establece${\displaystyle n}$Cuando se hace 0, la métrica se convierte en la del espacio-tiempo de Minkowski , el espacio-tiempo plano de la teoría especial de la relatividad .

En el espacio-tiempo de Minkowski, cada geodésica temporal y cada geodésica lumínica (nula) es una "línea de universo" recta que se proyecta sobre una geodésica recta de una sección transversal ecuatorial de una porción de tiempo constante.${\displaystyle t,}$como, por ejemplo, aquel en el que${\displaystyle t=0}$y${\displaystyle \vartheta =\pi /2}$cuya métrica es la del espacio euclidiano bidimensional en coordenadas polares.${\displaystyle [\rho,\varphi]}$, es decir,

${\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}\,.}$

Se observa que cada partícula o fotón de prueba sigue una geodésica ecuatorial a una velocidad de coordenadas fija, que podría ser cero, dado que el espacio-tiempo de Minkowski carece de un campo gravitatorio. Estas propiedades del espacio-tiempo de Minkowski tienen su contraparte en el agujero de gusano de Ellis, aunque modificadas por el hecho de que la métrica y, por lo tanto, las geodésicas de las secciones transversales ecuatoriales del agujero de gusano no son líneas rectas, sino las trayectorias más rectas posibles en dichas secciones. Resulta interesante, por consiguiente, observar el aspecto de estas geodésicas ecuatoriales.

La sección transversal ecuatorial del agujero de gusano definida por${\displaystyle t=0}$y${\displaystyle \vartheta =\pi /2}$(representativo de todas esas secciones transversales) lleva la métrica

${\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\left(\rho ^{2}+n^{2}\right)\,d\varphi ^{2}\,.}$

Cuando la sección transversal con esta métrica se inserta en el espacio euclidiano tridimensional, la imagen es el catenoide.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$mostrado arriba, con${\displaystyle \rho }$midiendo la distancia desde el círculo central en la garganta, de radio${\displaystyle n}$, a lo largo de una curva en la que${\displaystyle \varphi }$está fijo (se muestra uno de ellos). En coordenadas cilíndricas${\displaystyle [r,\varphi,z]}$la ecuación${\displaystyle r=n\cosh(z/n)}$tiene${\displaystyle {\mathcal {C}}}$como su gráfico.

Después de algunas integraciones y sustituciones, las ecuaciones para una geodésica de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$parametrizado por${\displaystyle s}$reducir a

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {h}{\rho ^{2}+n^{2}}}}$

y

${\displaystyle \left({\frac {d\rho }{ds}}\right)^{2}+{\frac {h^{2}}{\rho ^{2}+n^{2}}}\,=1,}$

dónde${\displaystyle h}$es una constante. Si${\displaystyle d\rho /ds\equiv 0\,,}$entonces${\displaystyle h^{2}=\rho ^{2}+n^{2}\geq n^{2}\,,}$${\displaystyle \textstyle d\varphi /ds=1/h,}$ y${\displaystyle \textstyle \rho =\pm {\sqrt {h^{2}-n^{2}}}\,,}$y viceversa. Por lo tanto, cada 'círculo de latitud' (${\displaystyle \rho =}$constante) es una geodésica. Si por otro lado${\displaystyle d\rho /ds}$Si no es idénticamente 0, entonces sus ceros se aíslan y las ecuaciones reducidas se pueden combinar para obtener la ecuación orbital.

${\displaystyle \left({\frac {d\varphi }{d\rho }}\right)^{2}={\frac {h^{2}}{\left(\rho ^{2}+n^{2}\right)\left(\rho ^{2}+n^{2}-h^{2}\right)}}\,.}$

Hay tres casos a considerar:

• ${\displaystyle h^{2}>n^{2},}$lo cual implica que${\displaystyle \rho ^{2}\geq h^{2}-n^{2}>0,}$de modo que la geodésica queda confinada a un lado del agujero de gusano o al otro y tiene un punto de inflexión en${\displaystyle \textstyle \rho ={\sqrt {h^{2}-n^{2}}}}$o${\displaystyle \textstyle \rho =-{\sqrt {h^{2}-n^{2}}}\,;}$
• ${\displaystyle h^{2}=n^{2},}$lo cual implica que${\displaystyle \rho ^{2}>0,}$para que la geodésica no cruce la garganta en${\displaystyle \rho =0,}$pero se abalanza sobre ella en espiral desde un lado o desde el otro;
• ${\displaystyle h^{2}<n^{2},}$lo que permite que la geodésica atraviese el agujero de gusano de un lado al otro.

Las figuras muestran ejemplos de los tres tipos. Si${\displaystyle s}$se permite variar de${\displaystyle -\infty }$a${\displaystyle \infty ,}$El número de revoluciones orbitales posibles para cada tipo, incluidas las latitudes, es ilimitado. Para el primer y tercer tipo, el número aumenta hasta el infinito a medida que${\displaystyle h^{2}\to n^{2};}$Para el tipo espiral y las latitudes el número ya es infinito.

El hecho de que estas geodésicas puedan curvarse alrededor del agujero de gusano deja claro que la curvatura del espacio por sí sola, sin la ayuda de la gravedad, puede hacer que las partículas de prueba y los fotones sigan trayectorias que se desvían significativamente de las líneas rectas y pueden crear efectos de lente.

Existe una versión dinámica del agujero de gusano de Ellis que es una solución de las mismas ecuaciones de campo de las que es solución el agujero de gusano de Ellis estático. ^{[ 4 ]} Su métrica es

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-d\sigma ^{2}\,,}$

dónde

${\displaystyle d\sigma ^{2}=d\rho ^{2}+\left[\left(1+a^{2}\right)\rho ^{2}+a^{2}c^{2}t^{2}\,\right]\,d\Omega ^{2}\,,}$

${\displaystyle a}$siendo una constante positiva. Hay una 'singularidad puntual' en${\displaystyle t=\rho =0,}$pero en todas partes la métrica es regular y las curvaturas son finitas. Las geodésicas que no encuentran la singularidad puntual son completas; las que sí lo hacen pueden extenderse más allá de ella procediendo a lo largo de cualquiera de las geodésicas que encuentran la singularidad desde la dirección temporal opuesta y tienen tangentes compatibles (de manera similar a las geodésicas de la gráfica de${\displaystyle z=(xy)^{3}}$que se encuentran con la singularidad en el origen).

Para un valor fijo distinto de cero de${\displaystyle t}$la sección transversal ecuatorial en la que${\displaystyle \vartheta =\pi /2}$tiene la métrica

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=d\rho ^{2}+r^{2}(t,\rho )\,d\varphi ^{2}\\&=d\rho ^{2}+\left[\left(1+a^{2}\right)\rho ^{2}+a^{2}c^{2}t^{2}\,\right]\,d\varphi ^{2}\,.\end{aligned}}}$

Esta métrica describe un 'hipercatenoide' similar al catenoide ecuatorial del agujero de gusano estático, con el radio${\displaystyle n}$de la garganta (donde${\displaystyle \rho =0}$) ahora reemplazado por${\displaystyle ac|t|,}$y en general cada círculo de latitud de radio geodésico${\displaystyle \rho }$con radio circunferencial${\displaystyle \textstyle r(t,\rho )={\sqrt {(1+a^{2})\rho ^{2}+a^{2}c^{2}t^{2}}}}$.

Para${\displaystyle t=0}$la métrica de la${\displaystyle \vartheta =\pi /2}$La sección transversal ecuatorial es

${\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\left(1+a^{2}\right)\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}\,,}$

que describe un 'hipercono' con su vértice en el punto singular, sus círculos de latitud de radio geodésico${\displaystyle \rho }$tener circunferencias${\displaystyle \textstyle 2\pi r(0,\rho )=2\pi {\sqrt {1+a^{2}}}\rho \,.}$ A diferencia del catenoide, ni el hipercatenoide ni el hipercono son completamente representables como una superficie en el espacio euclidiano tridimensional; solo las porciones donde${\displaystyle \textstyle |dr(t,\rho )/d\rho |=(1+a^{2})|\rho |{\big /}{\sqrt {(1+a^{2})\rho ^{2}+a^{2}c^{2}t^{2}}}\leq 1}$(por lo tanto donde${\displaystyle \textstyle |\rho |\leq c|t|{\big /}{\sqrt {1+a^{2}}}}$o equivalentemente${\displaystyle \textstyle r(t,\rho )\leq {\sqrt {1+a^{2}}}c|t|}$) se puede incrustar de esa manera.

Dinámicamente, como${\displaystyle t}$avances de${\displaystyle -\infty }$a${\displaystyle \infty }$Las secciones transversales ecuatoriales se contraen desde hipercatenoides de radio infinito hasta hiperconos (hipercatenoides de radio cero) en${\displaystyle t=0,}$Luego se expanden de nuevo a hipercatenoides de radio infinito. El examen del tensor de curvatura revela que la variedad espaciotemporal dinámica completa del agujero de gusano de Ellis es asintóticamente plana en todas las direcciones.${\displaystyle -}$similar al tiempo, similar a la luz y similar al espacio.

• Dispersión por un agujero de gusano de Ellis ^{[ 5 ]}
• Lente gravitacional en el agujero de gusano de Ellis
  • Microlente gravitacional producida por el agujero de gusano de Ellis ^{[ 6 ]}
  • Efecto de onda en la lente gravitacional producida por el agujero de gusano de Ellis ^{[ 7 ]}
  • Desplazamientos del centroide de la imagen debido al microlente del agujero de gusano de Ellis ^{[ 8 ]}
  • Ecuación exacta de la lente para el agujero de gusano de Ellis ^{[ 9 ]}
  • Lentes gravitacionales producidas por agujeros de gusano ^{[ 10 ] [ 11 ]}