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ecuaciones de campo de Einstein

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En la teoría general de la relatividad , las ecuaciones de campo de Einstein ( EFE ; también conocidas como ecuaciones de Einstein ) relacionan la geometría del espacio-tiempo con la distribución de materia-energía dentro de él. [ 1 ]

Las ecuaciones fueron publicadas por Albert Einstein en 1915 en forma de una ecuación tensorial [ 2 ] que relacionaba la localcurvatura del espaciotiempo (expresada por eltensor de Einstein) con la energía,el momentoy la tensión locales dentro de ese espaciotiempo (expresados ​​por eltensor de tensión-energía). [ 3 ]

De forma análoga a como los campos electromagnéticos se relacionan con la distribución de cargas y corrientes mediante las ecuaciones de Maxwell , las EFE relacionan la geometría del espaciotiempo con la distribución de masa-energía, momento y tensión; es decir, determinan el tensor métrico del espaciotiempo para una disposición dada de tensión-energía-momento en el espaciotiempo. La relación entre el tensor métrico y el tensor de Einstein permite que las EFE se escriban como un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales cuando se utilizan de esta manera. Las soluciones de las EFE son los componentes del tensor métrico. Las trayectorias inerciales de partículas y radiación ( geodésicas ) en la geometría resultante se calculan entonces utilizando la ecuación geodésica .

Además de implicar la conservación local de energía-momento, el EFE se reduce a la ley de gravitación de Newton en el límite de un campo gravitatorio débil y velocidades mucho menores que la velocidad de la luz . [ 4 ]

Las soluciones exactas para la EFE solo se pueden encontrar bajo supuestos simplificadores como la simetría . Se estudian con mayor frecuencia clases especiales de soluciones exactas , ya que modelan muchos fenómenos gravitacionales, como los agujeros negros en rotación y el universo en expansión . Se logra una mayor simplificación al aproximar el espaciotiempo con pequeñas desviaciones respecto a un espaciotiempo plano , lo que da lugar a la EFE linealizada . Estas ecuaciones se utilizan para estudiar fenómenos como las ondas gravitacionales .

Forma matemática

EFE en la pared del Rijksmuseum Boerhaave de Leiden , Países Bajos

Las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) se pueden escribir de la forma: [ 5 ] [ 6 ]

GRAMOμν+Λgramoμν=κTμν,{\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },}

dóndeGRAMOμν{\displaystyle G_{\mu \nu }}es el tensor de Einstein,gramoμν{\displaystyle g_{\mu \nu }}es el tensor métrico,Tμν{\displaystyle T_{\mu \nu }}es el tensor de energía-estrés ,Λ{\displaystyle \Lambda }es la constante cosmológica yκ{\displaystyle \kappa }es la constante gravitacional de Einstein.

El tensor de Einstein se define como

GRAMOμν=Rμν−12Rgramoμν,{\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu },}

dóndeRμν{\displaystyle R_{\mu \nu }}es el tensor de curvatura de Ricci yR{\displaystyle R}es la curvatura escalar . Este es un tensor simétrico de segundo grado sin divergencia que depende únicamente del tensor métrico y sus primera y segunda derivadas.

La constante gravitacional de Einstein se define como [ 7 ] [ 8 ]

κ=8πGRAMOdo4≈2.07665×10−43norte−1,{\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2.07665\times 10^{-43}\,{\textrm {N}}^{-1},}

dóndeGRAMO{\displaystyle G}es la constante de gravitación newtoniana ydo{\displaystyle c}es la velocidad de la luz en el vacío .

Por lo tanto, la EFE también puede escribirse como

Rμν−12Rgramoμν+Λgramoμν=κTμν.{\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }.}

En unidades estándar, cada término de la izquierda tiene una dimensión de cantidad de L −2 .

La expresión de la izquierda representa la curvatura del espaciotiempo determinada por la métrica; la expresión de la derecha representa el contenido de tensión, energía y momento del espaciotiempo. Por lo tanto, la EFE puede interpretarse como un conjunto de ecuaciones que describen cómo la tensión, la energía y el momento determinan la curvatura del espaciotiempo.

Estas ecuaciones forman el núcleo de la formulación matemática de la relatividad general . Implican directamente la ecuación geodésica , [ 9 ] que dicta cómo se mueven los objetos de prueba en caída libre a través del espacio-tiempo. [ 10 ]

La EFE es una ecuación tensorial que relaciona un conjunto de tensores simétricos de 4  ×  4. Cada tensor tiene 10 componentes independientes. Las cuatro identidades de Bianchi reducen el número de ecuaciones independientes de 10 a 6, dejando la métrica con cuatro grados de libertad de fijación de calibre , que corresponden a la libertad de elegir un sistema de coordenadas.

Aunque las ecuaciones de campo de Einstein se formularon inicialmente en el contexto de una teoría de cuatro dimensiones, algunos teóricos han explorado sus consecuencias ennorte{\displaystyle n}dimensiones. [ 11 ] Las ecuaciones en contextos fuera de la relatividad general todavía se denominan ecuaciones de campo de Einstein. Las ecuaciones de campo del vacío (obtenidas cuandoTμν{\displaystyle T_{\mu \nu }}es cero en todas partes) define las variedades de Einstein .

Las ecuaciones son más complejas de lo que parecen. Dada una distribución específica de materia y energía en forma de tensor de energía-impulso, las EFE se entienden como ecuaciones para el tensor métrico.gramoμν{\displaystyle g_{\mu \nu }}Dado que tanto el tensor de Ricci como la curvatura escalar dependen de la métrica de una manera no lineal compleja, cuando se escriben completamente, las EFE son un sistema de diez ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas-elípticas acopladas y no lineales . [ 12 ]

Convención de signos

La forma anterior de la EFE es el estándar establecido por Misner, Thorne y Wheeler (MTW). [ 13 ] Los autores analizaron las convenciones existentes y las clasificaron según tres signos ([S1] [S2] [S3]): gramoμν=[S1]×diagnóstico⁡(−1,+1,+1,+1)Rμαβγ=[S2]×(Γαγ,βμ−Γαβ,γμ+ΓσβμΓγασ−ΓσγμΓβασ)GRAMOμν=[S3]×κTμν{\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{\mu }}_{\alpha \beta \gamma }&=[S2]\times \left(\Gamma _{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma }\right)\\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times \kappa T_{\mu \nu }\end{aligned}}}

El tercer signo de arriba está relacionado con la elección de la convención para el tensor de Ricci: Rμν=[S2]×[S3]×Rαμαν{\displaystyle R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }}

Con estas definiciones, Misner, Thorne y Wheeler se clasifican a sí mismos como (+ + +) , mientras que Weinberg (1972) [ 14 ] es (+ − −) , Peebles (1980) [ 15 ] y Efstathiou et al. (1990) [ 16 ] son ​​(− + +) , Rindler (2006), [ 17 ] Atwater (1974), Collins Martin y Squires (1989) [ 18 ] y Peacock (1999) [ 19 ] son ​​(− + −) .

Autores como Einstein han utilizado un signo diferente en su definición del tensor de Ricci, lo que da como resultado que el signo de la constante del lado derecho sea negativo: Rμν−12Rgramoμν−Λgramoμν=−κTμν.{\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu }.}

El signo del término cosmológico cambiaría en ambas versiones si se utiliza la convención de signos métricos (+ − − −) en lugar de la convención de signos métricos MTW (− + + +) adoptada aquí.

Formulaciones equivalentes

Tomando la traza con respecto a la métrica de ambos lados de la EFE se obtiene R−D2R+DΛ=κT,{\displaystyle R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda =\kappa T,} dóndeD{\displaystyle D}es la dimensión espacio-temporal. Resolviendo paraR{\displaystyle R}y sustituyendo esto en el EFE original, se obtiene la siguiente forma equivalente "traza invertida": Rμν−2D−2Λgramoμν=κ(Tμν−1D−2Tgramoμν).{\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {2}{D-2}}\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{D-2}}Tg_{\mu \nu }\right).}

EnD=4{\displaystyle D=4}dimensiones que esto reduce a Rμν−Λgramoμν=κ(Tμν−12Tgramoμν).{\displaystyle R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right).}

Invertir la traza nuevamente restauraría el EFE original. La forma de traza invertida puede ser más conveniente en algunos casos (por ejemplo, cuando uno está interesado en el límite de campo débil y puede reemplazargramoμν{\displaystyle g_{\mu \nu }}en la expresión de la derecha con la métrica de Minkowski sin pérdida significativa de precisión).

Constante cosmológica

En las ecuaciones de campo de Einstein GRAMOμν+Λgramoμν=κTμν,{\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,} el término que contiene la constante cosmológicaΛ{\displaystyle \Lambda }Estaba ausente de la versión en la que las publicó originalmente. Einstein luego incluyó el término con la constante cosmológica para permitir un universo que no se expande ni se contrae . Este intento no tuvo éxito porque:

  • cualquier solución de estado estacionario deseada descrita por esta ecuación es inestable, y
  • Las observaciones de Edwin Hubble demostraron que nuestro universo se está expandiendo .

Einstein luego abandonóΛ{\displaystyle \Lambda }, comentándole a George Gamow "que la introducción del término cosmológico fue el mayor error de su vida". [ 20 ]

La inclusión de este término no crea inconsistencias. Durante muchos años, la constante cosmológica se asumió casi universalmente como cero. Observaciones astronómicas más recientes han mostrado una expansión acelerada del universo y para explicar esto un valor positivo deΛ{\displaystyle \Lambda }es necesario. [ 21 ] [ 22 ] El efecto de la constante cosmológica es insignificante a la escala de una galaxia o menor.

Einstein consideraba la constante cosmológica como un parámetro independiente, pero su término en la ecuación de campo también puede moverse algebraicamente al otro lado e incorporarse como parte del tensor de energía-impulso: Tμν(vado)=−Λκgramoμν.{\displaystyle T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda }{\kappa }}g_{\mu \nu }\,.}

Este tensor describe un estado de vacío con una densidad de energíaρvacaciones{\displaystyle \rho _{\text{vac}}}y presión isotrópicapagvacaciones{\displaystyle p_{\text{vac}}}que son constantes fijas y están dadas por ρvado=−pagvado=Λκ,{\displaystyle \rho _{\mathrm {vac} }=-p_{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda }{\kappa }},} donde se supone queΛ{\displaystyle \Lambda }tiene unidad SI m −2 yκ{\displaystyle \kappa }se define como se indicó anteriormente.

La existencia de una constante cosmológica equivale, por tanto, a la existencia de una energía del vacío y una presión de signo opuesto. Esto ha llevado a que los términos «constante cosmológica» y «energía del vacío» se utilicen indistintamente en la relatividad general.

Características

Conservación de la energía y del momento

La relatividad general es consistente con la conservación local de la energía y el momento expresada como ∇βTαβ=Tαβ;β=0.{\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0.}

Derivación de la conservación local de energía-momento

Contraer la identidad diferencial de BianchiRαβ[γδ;ε]=0{\displaystyle R_{\alpha \beta [\gamma \delta ;\varepsilon ]}=0} congramoαβ{\displaystyle g^{\alpha \beta }}da, usando el hecho de que el tensor métrico es covariante constante, es decirgramoαβ;γ=0{\displaystyle {g^{\alpha \beta }}_{;\gamma }=0}, Rγβγδ;ε+Rγβεγ;δ+Rγβδε;γ=0{\displaystyle {R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }+{R^{\gamma }}_{\beta \varepsilon \gamma  ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon  ;\gamma }=0}

La antisimetría del tensor de Riemann permite reescribir el segundo término de la expresión anterior: Rγβγδ;ε−Rγβγε;δ+Rγβδε;γ=0{\displaystyle {R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }-{R^{\gamma }}_{\beta \gamma \varepsilon  ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon  ;\gamma }=0} lo cual es equivalente a Rβδ;ε−Rβε;δ+Rγβδε;γ=0{\displaystyle R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon  ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon  ;\gamma }=0} utilizando la definición del tensor de Ricci .

A continuación, vuelva a contratar con la métrica. gramoβδ(Rβδ;ε−Rβε;δ+Rγβδε;γ)=0{\displaystyle g^{\beta \delta }\left(R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon  ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon  ;\gamma }\right)=0} para obtener Rδδ;ε−Rδε;δ+Rγδδε;γ=0.{\displaystyle {R^{\delta }}_{\delta ;\varepsilon }-{R^{\delta }}_{\varepsilon  ;\delta }+{R^{\gamma \delta }}_{\delta \varepsilon  ;\gamma }=0.}

Las definiciones del tensor de curvatura de Ricci y de la curvatura escalar muestran entonces que R;ε−2Rγε;γ=0,{\displaystyle R_{;\varepsilon }-2{R^{\gamma }}_{\varepsilon ;\gamma }=0,} que se puede reescribir como (Rγε−12gramoγεR);γ=0.{\displaystyle \left({R^{\gamma }}_{\varepsilon }-{\tfrac {1}{2}}{g^{\gamma }}_{\varepsilon }R\right)_{;\gamma }=0.}

Una contracción final con g εδ da (Rγδ−12gramoγδR);γ=0,{\displaystyle \left(R^{\gamma \delta }-{\tfrac {1}{2}}g^{\gamma \delta }R\right)_{;\gamma }=0,} lo cual, por la simetría del término entre corchetes y la definición del tensor de Einstein , da, después de renombrar los índices, GRAMOαβ;β=0.{\displaystyle {G^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0.}

Utilizando el EFE, esto proporciona inmediatamente, ∇βTαβ=Tαβ;β=0{\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0}

que expresa la conservación local de la energía-impulso. Esta ley de conservación es un requisito físico. Con sus ecuaciones de campo, Einstein aseguró que la relatividad general es consistente con esta condición de conservación.

No linealidad

La no linealidad de la EFE distingue la relatividad general de muchas otras teorías físicas fundamentales. Por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo son lineales en los campos eléctricos y magnéticos , y en las distribuciones de carga y corriente (es decir, la suma de dos soluciones también es una solución); otro ejemplo es la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica , que es lineal en la función de onda .

Principio de correspondencia

La EFE se reduce a la ley de gravedad de Newton utilizando tanto la aproximación de campo débil como la aproximación de baja velocidad . La constanteGRAMO{\displaystyle G}La aparición en el EFE se determina mediante estas dos aproximaciones.

Derivación de la ley de gravitación de Newton

La gravitación newtoniana puede escribirse como la teoría de un campo escalar,Φ{\displaystyle \Phi }, que es el potencial gravitatorio en julios por kilogramo del campo gravitatorio.gramo=−∇Φ{\displaystyle g=-\nabla \Phi }Véase la ley de Gauss para la gravedad.∇2Φ(incógnita→,t)=4πGRAMOρ(incógnita→,t){\displaystyle \nabla ^{2}\Phi \left({\vec {x}},t\right)=4\pi G\rho \left({\vec {x}},t\right)} dóndeρ{\displaystyle \rho }es la densidad de masa. La órbita de una partícula en caída libre satisface incógnita→¨(t)=gramo→=−∇Φ(incógnita→(t),t).{\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}(t)={\vec {g}}=-\nabla \Phi \left({\vec {x}}(t),t\right)\,.}

En notación tensorial, estos se convierten en Φ,ii=4πGRAMOρd2incógnitaidt2=−Φ,i.{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{,ii}&=4\pi G\rho \\{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}&=-\Phi _{,i}\,.\end{aligned}}}

En la relatividad general, estas ecuaciones se reemplazan por las ecuaciones de campo de Einstein en su forma de traza invertida. Rμν=K(Tμν−12Tgramoμν){\displaystyle R_{\mu \nu }=K\left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}Tg_{\mu \nu }\right)} por alguna constante,K{\displaystyle K}y la ecuación geodésicad2incógnitaαdτ2=−Γβγαdincógnitaβdτdincógnitaγdτ.{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.}

Para ver cómo se reduce lo segundo a lo primero, suponemos que la velocidad de la partícula de prueba es aproximadamente cero. dincógnitaβdτ≈(dtdτ,0,0,0){\displaystyle {\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\approx \left({\frac {dt}{d\tau }},0,0,0\right)} y por lo tanto ddt(dtdτ)≈0{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)\approx 0} y que la métrica y sus derivadas son aproximadamente estáticas y que los cuadrados de las desviaciones de la métrica de Minkowski son despreciables. Aplicando estas suposiciones simplificadoras a los componentes espaciales de la ecuación geodésica se obtiene d2incógnitaidt2≈−Γ00i{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}\approx -\Gamma _{00}^{i}} donde dos factores dedtdτ{\textstyle {\frac {{\text{d}}t}{{\text{d}}\tau }}}se han dividido. Esto se reducirá a su contraparte newtoniana, siempre que Φ,i≈Γ00i=12gramoiα(gramoα0,0+gramo0α,0−gramo00,α).{\displaystyle \Phi _{,i}\approx \Gamma _{00}^{i}={\tfrac {1}{2}}g^{i\alpha }\left(g_{\alpha 0,0}+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha }\right)\,.}

Nuestras suposiciones obliganα=i{\displaystyle \alpha =i}y las derivadas del tiempo (0) sean cero. Entonces esto se simplifica a 2Φ,i≈gramoij(−gramo00,j)≈−gramo00,i{\displaystyle 2\Phi _{,i}\approx g^{ij}\left(-g_{00,j}\right)\approx -g_{00,i}\,} que se satisface dejando gramo00≈−do2−2Φ.{\displaystyle g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi \,.}

En cuanto a las ecuaciones de Einstein, solo necesitamos el componente tiempo-tiempo. R00=K(T00−12Tgramo00){\displaystyle R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)} Las suposiciones de baja velocidad y campo estático implican que Tμν≈diagnóstico⁡(T00,0,0,0)≈diagnóstico⁡(ρdo4,0,0,0).{\displaystyle T_{\mu \nu }\approx \operatorname {diag} \left(T_{00},0,0,0\right)\approx \operatorname {diag} \left(\rho c^{4},0,0,0\right)\,.}

Entonces T=gramoαβTαβ≈gramo00T00≈−1do2ρdo4=−ρdo2{\displaystyle T=g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }\approx g^{00}T_{00}\approx -{\frac {1}{c^{2}}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,} y por lo tanto K(T00−12Tgramo00)≈K(ρdo4−12(−ρdo2)(−do2))=12Kρdo4.{\displaystyle K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx K\left(\rho c^{4}-{\tfrac {1}{2}}\left(-\rho c^{2}\right)\left(-c^{2}\right)\right)={\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}\,.}

A partir de la definición del tensor de Ricci R00=Γ00,ρρ−Γρ0,0ρ+ΓρλρΓ00λ−Γ0λρΓρ0λ.{\displaystyle R_{00}=\Gamma _{00,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho 0,0}^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.}

Nuestras suposiciones simplificadoras hacen que los cuadrados deΓ{\displaystyle \Gamma }desaparecen junto con las derivadas temporales R00≈Γ00,ii.{\displaystyle R_{00}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\,.}

Combinando las ecuaciones anteriores Φ,ii≈Γ00,ii≈R00=K(T00−12Tgramo00)≈12Kρdo4{\displaystyle \Phi _{,ii}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\approx R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}} que se reduce a la ecuación de campo newtoniana proporcionada 12Kρdo4=4πGRAMOρ,{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}=4\pi G\rho ,} lo cual ocurrirá si K=8πGRAMOdo4.{\displaystyle K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.}

ecuaciones del campo de vacío

Moneda conmemorativa suiza de 1979, que muestra las ecuaciones del campo de vacío con constante cosmológica cero (arriba).

Si el tensor energía-momentoTμν{\displaystyle T_{\mu \nu }}Si es cero en la región considerada, entonces las ecuaciones de campo también se denominan ecuaciones de campo de vacío . Al establecerTμν=0{\displaystyle T_{\mu \nu }=0}En las ecuaciones de campo con traza invertida , las ecuaciones de campo de vacío, también conocidas como "ecuaciones de vacío de Einstein" (EVE), se pueden escribir como Rμν=0.{\displaystyle R_{\mu \nu }=0\,.}

En el caso de una constante cosmológica distinta de cero, las ecuaciones son Rμν=ΛD2−1gramoμν.{\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {\Lambda }{{\frac {D}{2}}-1}}g_{\mu \nu }\,.}

Las soluciones a las ecuaciones del campo de vacío se denominan soluciones de vacío . El espacio de Minkowski plano es el ejemplo más simple de una solución de vacío. Ejemplos no triviales incluyen la solución de Schwarzschild y la solución de Kerr .

Variedades con tensor de Ricci nulo ,Rμν=0{\displaystyle R_{\mu \nu }=0}, se denominan variedades de Ricci planas y variedades con un tensor de Ricci proporcional a la métrica como variedades de Einstein .

Ecuaciones de Einstein-Maxwell

Si el tensor energía-momentoTμν{\displaystyle T_{\mu \nu }}es el de un campo electromagnético en el espacio libre , es decir, si el tensor de energía-tensión electromagnéticaTαβ=−1μ0(FαψFψβ+14gramoαβFψτFψτ){\displaystyle T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)} Si se utiliza, entonces las ecuaciones de campo de Einstein se denominan ecuaciones de Einstein-Maxwell (con constante cosmológica) .Λ{\displaystyle \Lambda }, considerado cero en la teoría de la relatividad convencional): GRAMOαβ+Λgramoαβ=κμ0(FαψFψβ+14gramoαβFψτFψτ).{\displaystyle G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {\kappa }{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right).}

Además, las ecuaciones covariantes de Maxwell también son aplicables en el espacio libre: [ 23 ]Fαβ;β=0F[αβ;γ]=13(Fαβ;γ+Fβγ;α+Fγα;β)=13(Fαβ,γ+Fβγ,α+Fγα,β)=0,{\displaystyle {\begin{aligned}{F^{\alpha \beta }}_{;\beta }&=0\\F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}&={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta  ;\gamma }+F_{\beta \gamma  ;\alpha }+F_{\gamma \alpha  ;\beta }\right)={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0,\end{aligned}}} donde el punto y coma representa una derivada covariante , y los corchetes denotan antisimetrización . La primera ecuación afirma que la 4- divergencia de la 2-formaF{\displaystyle F}es cero, y la segunda que su derivada exterior es cero. De esto último se deduce, por el lema de Poincaré , que en un diagrama de coordenadas es posible introducir un potencial de campo electromagnético.Aα{\displaystyle A_{\alpha }}de tal manera que [ 23 ]Fαβ=Aα;β−Aβ;α=Aα,β−Aβ,α{\displaystyle F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta  ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }} donde la coma denota una derivada parcial. Esto a menudo se considera equivalente a la ecuación de Maxwell covariante de la que se deriva. [ 24 ] Sin embargo, existen soluciones globales de la ecuación que pueden carecer de un potencial definido globalmente. [ 25 ]

Soluciones

Las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein son métricas del espaciotiempo. Estas métricas describen la estructura del espaciotiempo, incluyendo el movimiento inercial de los objetos en él. Dado que las ecuaciones de campo son no lineales, no siempre se pueden resolver completamente (es decir, sin hacer aproximaciones). Por ejemplo, no se conoce una solución completa para un espaciotiempo con dos cuerpos masivos (como en el modelo teórico de un sistema estelar binario). Sin embargo, en estos casos se suelen realizar aproximaciones, comúnmente denominadas aproximaciones postnewtonianas . Aun así, existen varios casos en los que las ecuaciones de campo se han resuelto completamente, y estos se denominan soluciones exactas. [ 11 ]

El estudio de las soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein es una de las actividades de la cosmología . Esto lleva a la predicción de agujeros negros y a diferentes modelos de evolución del universo .

También se pueden descubrir nuevas soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein mediante el método de marcos ortonormales, desarrollado por Ellis y MacCallum. [ 26 ] En este enfoque, las ecuaciones de campo de Einstein se reducen a un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas y no lineales. Como lo discuten Hsu y Wainwright, [ 27 ] las soluciones autosimilares de las ecuaciones de campo de Einstein son puntos fijos del sistema dinámico resultante. LeBlanc [ 28 ] y Kohli y Haslam [ 29 ] han descubierto nuevas soluciones utilizando estos métodos.

EFE linealizado

La no linealidad de la EFE dificulta la obtención de soluciones exactas. Una forma de resolver las ecuaciones de campo es mediante una aproximación: lejos de la(s) fuente(s) de materia gravitatoria, el campo gravitatorio es muy débil y el espaciotiempo se aproxima al espacio de Minkowski. La métrica se expresa entonces como la suma de la métrica de Minkowski y un término que representa la desviación de la métrica verdadera respecto a la métrica de Minkowski , ignorando los términos de orden superior. Este procedimiento de linealización puede utilizarse para investigar el fenómeno de la radiación gravitatoria .

Forma polinómica

A pesar de que la EFE, tal como está escrita, contiene la inversa del tensor métrico, se puede organizar de una forma que contenga el tensor métrico en forma polinómica y sin su inversa. Primero, se puede escribir el determinante de la métrica en 4 dimensiones. det(gramo)=124εαβγδεκλμνgramoακgramoβλgramoγμgramoδν{\displaystyle \det(g)={\tfrac {1}{24}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }} utilizando el símbolo de Levi-Civita ; y la inversa de la métrica en 4 dimensiones se puede escribir como: gramoακ=16εαβγδεκλμνgramoβλgramoγμgramoδνdet(gramo).{\displaystyle g^{\alpha \kappa }={\frac {{\tfrac {1}{6}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}{\det(g)}}\,.}

Sustituyendo esta expresión del inverso de la métrica en las ecuaciones y luego multiplicando ambos lados por una potencia adecuada dedet(gramo){\displaystyle \det(g)}Eliminarlo del denominador da como resultado ecuaciones polinómicas en el tensor métrico y sus primeras y segundas derivadas. La acción de Einstein-Hilbert de la que se derivan las ecuaciones también puede escribirse en forma polinómica mediante redefiniciones adecuadas de los campos. [ 30 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Cormac O'Raifeartaigh ; Michael O'Keeffe; Werner Nahmb ; Simon Mitton (2018). "Cien años de la constante cosmológica: de 'acrobacia superflua' a energía oscura" . The European Physical Journal H. 43 : 5. arXiv : 1711.06890 . doi : 10.1140/epjh/e2017-80061-7 . un conjunto de ecuaciones covariantes que relacionaban la geometría de una región del espacio-tiempo con la distribución de materia/energía dentro de ella.
  2. ^ Einstein, Albert (25 de noviembre de 1915). "Die Feldgleichungen der Gravitation" . Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 844–847 . Consultado el 21 de agosto de 2017 .
  3. ↑ Misner, Thorne y Wheeler (1973) , pág. 916 [cap. 34].
  4. ↑ Carroll, Sean (2004). Espacio-tiempo y geometría: una introducción a la relatividad general . Addison Wesley. págs. 151–159 . ISBN  0-8053-8732-3.
  5. ↑ Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjorn (2007). La teoría general de la relatividad de Einstein: con aplicaciones modernas en cosmología ( edición ilustrada). Springer Science & Business Media. pág. 180. ISBN   978-0-387-69200-5.
  6. ↑ Einstein, Albert. «Los fundamentos de la teoría general de la relatividad». En AJ Kox; Martin J. Klein; Robert Schulmann (eds.). OBRAS COMPLETAS DE Albert Einstein: LOS AÑOS DE BERLÍN: ESCRITOS, 1914-1917 . Vol. 6. Traducido por W. Perret; GB Jefferey; Alfred Engel. Princeton University Press . págs. 147-200. Archivado del original el 6 de febrero de 2012.  
  7. ↑ Con la elección de la constante gravitacional de Einstein dada aquí, κ = 8 πG / c 4 , el tensor de energía-impulso del lado derecho de la ecuación debe escribirse con cada componente en unidades de densidad de energía (es decir, energía por volumen, equivalentemente presión). En la publicación original de Einstein, la elección es κ = 8 πG / c 2 , en cuyo caso los componentes del tensor de energía-impulso tienen unidades de densidad de masa.
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  23. 1 2 La expresión completa aquí con derivadas parciales, denotadas por una coma, es totalmente covariante, a pesar de que los términos individuales no son covariantes.
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Referencias

Consulte los recursos sobre la relatividad general .

  • "Ecuaciones de Einstein" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  • Tutorial de Caltech sobre la relatividad : una introducción sencilla a las ecuaciones de campo de Einstein.
  • El significado de la ecuación de Einstein : una explicación de la ecuación de campo de Einstein, su derivación y algunas de sus consecuencias.
  • Videoconferencia sobre las ecuaciones de campo de Einstein a cargo del profesor de física del MIT Edmund Bertschinger.
  • Arco y andamio: Cómo Einstein encontró sus ecuaciones de campo. Física Hoy, noviembre de 2015, Historia del desarrollo de las ecuaciones de campo.

Imágenes externas

  • La ecuación de campo de Einstein en la pared del Museo Boerhaave en el centro de Leiden.
  • Suzanne Imber , "El impacto de la relatividad general en el desierto de Atacama" , ecuación de campo de Einstein en el lateral de un tren en Bolivia.