Principio de Bernoulli

Un flujo de aire a través de un medidor Venturi . La energía cinética aumenta a expensas de la presión del fluido , como lo demuestra la diferencia de altura entre las dos columnas de agua.

Vídeo de un medidor Venturi utilizado en un experimento de laboratorio.

El principio de Bernoulli es un concepto de la dinámica de fluidos que relaciona la presión, la velocidad y la altura. Por ejemplo, para un fluido que fluye horizontalmente, el principio de Bernoulli establece que un aumento en la velocidad ocurre simultáneamente con una disminución en la presión . ^{[ 1 ]}^{: Cap. 3}^{[ 2 ]}^{: 156–164, § 3.5} El principio recibe su nombre del matemático y físico suizo Daniel Bernoulli , quien lo publicó en su libro Hydrodynamica en 1738. ^{[ 3 ]} Aunque Bernoulli dedujo que la presión disminuye cuando aumenta la velocidad del flujo, fue Leonhard Euler en 1752 quien derivó la ecuación de Bernoulli en su forma habitual. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

El principio de Bernoulli se puede derivar directamente de la segunda ley del movimiento de Isaac Newton . Cuando un pequeño volumen de fluido fluye horizontalmente desde una región de alta presión a una de baja presión, la presión es mayor desde atrás que desde adelante. Esto genera una fuerza neta sobre el volumen, acelerándolo a lo largo de la línea de corriente. ^[^a^] Si la presión disminuye a lo largo de la línea de corriente, el fluido se acelera en la dirección de la velocidad. Por lo tanto, la disminución de la presión es la causa de una mayor velocidad. ^[⁷^]^[^b^]

El principio de Bernoulli también puede derivarse del principio de conservación de la energía, que establece que en un flujo de fluido estacionario la suma de todas las formas de energía es la misma a lo largo del flujo. Esto requiere que la suma de la energía cinética , la energía potencial y la energía interna permanezca constante. ^{[ 2 ]}^{: § 3.5} Por lo tanto, un aumento en la velocidad del fluido ocurre con una disminución simultánea de su energía potencial y energía interna. ^{[ 9 ]}^{: Ejemplo 3.5 y pág. 116}

Descripción general

Las partículas de fluido están sujetas únicamente a la presión y a su propio peso. Si un fluido fluye horizontalmente, cuando su velocidad aumenta, solo puede deberse a que el fluido en esa sección se ha movido de una región de mayor presión a una de menor presión; y si su velocidad disminuye, solo puede deberse a que se ha movido de una región de menor presión a una de mayor presión. Por consiguiente, en un fluido que fluye horizontalmente, la velocidad máxima se produce donde la presión es menor, y la velocidad mínima se produce donde la presión es mayor. ^{[ 10 ]}

La presión estática aguas arriba (1) es mayor que en la constricción (2), y la velocidad del fluido en "1" es menor que en "2", porque el área de la sección transversal en "1" es mayor que en "2".

El principio de Bernoulli solo es aplicable a flujos isoentrópicos : cuando los efectos de los procesos irreversibles (como la turbulencia ) y los procesos no adiabáticos (por ejemplo, la radiación térmica ) son pequeños y pueden despreciarse. La forma simple de la ecuación de Bernoulli es válida para flujos incompresibles (por ejemplo, la mayoría de los líquidos y gases que se mueven a números de Mach bajos ). Se pueden aplicar formas más avanzadas a flujos compresibles con números de Mach más altos.

Ecuación de flujo incompresible

En la mayoría de los flujos de líquidos y gases a bajo número de Mach , la densidad de una porción de fluido puede considerarse constante, independientemente de las variaciones de presión en el flujo. Por lo tanto, el fluido puede considerarse incompresible, y estos flujos se denominan flujos incompresibles . Bernoulli realizó sus experimentos con líquidos, por lo que su ecuación en su forma original solo es válida para flujos incompresibles.

Una forma común de la ecuación de Bernoulli es:

dónde:

$v$ es la velocidad del flujo del fluido en un punto,
$g$ es la aceleración debida a la gravedad ,
$z$ es la elevación del punto sobre un plano de referencia, con el signo positivo $z$ -dirección apuntando hacia arriba—es decir, en la dirección opuesta a la aceleración gravitacional,
$p$ es la presión estática en el punto elegido, y
$\rho$ es la densidad del fluido en todos los puntos del fluido.

La ecuación de Bernoulli y la constante de Bernoulli son aplicables en cualquier región de flujo donde la energía por unidad de masa sea uniforme. Dado que la energía por unidad de masa de líquido en un depósito bien mezclado es uniforme, la ecuación de Bernoulli puede utilizarse para analizar el flujo de fluido en todo el depósito (incluidas las tuberías o los campos de flujo que alimenta el depósito), excepto donde las fuerzas viscosas predominan y reducen la energía por unidad de masa. ^{[ 9 ]}^{: Ejemplo 3.5 y pág. 116}

Para que se aplique esta ecuación de Bernoulli, deben cumplirse las siguientes suposiciones: ^{[ 2 ]}^{: 265}

El flujo debe ser constante , es decir, los parámetros del flujo (velocidad, densidad, etc.) en cualquier punto no pueden cambiar con el tiempo.
El flujo debe ser incompresible; aunque la presión varíe, la densidad debe permanecer constante a lo largo de una línea de corriente.
La fricción debida a las fuerzas viscosas debe ser despreciable.

Para campos de fuerza conservativos (no limitados al campo gravitatorio ), la ecuación de Bernoulli se puede generalizar como: ^{[ 2 ]}^{: 265} ${\frac {v^{2}}{2}}+\Psi +{\frac {p}{\rho }}={\text{constante}}$ donde $Ψ$ es el potencial de fuerza en el punto considerado. Por ejemplo, para la gravedad terrestre $Ψ = gz$ .

Al multiplicar por la densidad del fluido $ρ$ , la ecuación ( A ) se puede reescribir como: ${\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho gz+p={\text{constante}}$ o: $q+\rho gh=p_{0}+\rho gz={\text{constante}}$ dónde

$q = 1 / 2 ρv 2$ es $la$ $presión$ dinámica ,
$h = z + ⁠ p / ρg ⁠$ es la carga piezométrica o carga hidráulica (la suma de la elevación $z$ y la carga de presión )^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} y
$p 0 = p + q$ es la presión de estancamiento (la suma de la presión estática $p$ y la presión dinámica $q$ ).^{[ 13 ]}

La constante en la ecuación de Bernoulli se puede normalizar. Un enfoque común es en términos de carga total o carga de energía $H$ : $H=z+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}=h+{\frac {v^{2}}{2g}},$

Las ecuaciones anteriores sugieren que existe una velocidad de flujo a la cual la presión es cero, y a velocidades aún mayores, la presión es negativa. Generalmente, los gases y líquidos no pueden alcanzar una presión absoluta negativa, ni siquiera cero, por lo que la ecuación de Bernoulli deja de ser válida antes de que se alcance la presión cero. En los líquidos, cuando la presión es demasiado baja, se produce cavitación . Las ecuaciones anteriores utilizan una relación lineal entre el cuadrado de la velocidad de flujo y la presión. A velocidades de flujo más altas en gases, o en el caso de ondas sonoras en líquidos, los cambios en la densidad de masa se vuelven significativos, por lo que la suposición de densidad constante deja de ser válida.

Forma simplificada

En muchas aplicaciones de la ecuación de Bernoulli, el cambio en el término $ρgz$ es tan pequeño en comparación con los demás términos que puede ignorarse. Por ejemplo, en el caso de una aeronave en vuelo, el cambio en la altura $z$ es tan pequeño que el término $ρgz$ puede omitirse. Esto permite presentar la ecuación anterior en la siguiente forma simplificada: $p+q=p_{0}$ donde $p 0$ se denomina presión total y $q$ es la presión dinámica . ^[¹⁴^] Muchos autores se refieren a la presión $p$ como presión estática para distinguirla de la presión total $p$ $0$ y la presión dinámica $q$ . En Aerodinámica , LJ Clancy escribe: "Para distinguirla de las presiones total y dinámica, la presión real del fluido, que no está asociada con su movimiento sino con su estado, a menudo se denomina presión estática, pero cuando se usa el término presión sola, se refiere a esta presión estática." ^[¹^]^:^{§ 3.5}

La forma simplificada de la ecuación de Bernoulli se puede resumir en la siguiente ecuación fácil de recordar: ^{[ 1 ]}^{: § 3.5}

Presión estática + Presión dinámica = Presión total.

En un fluido que fluye de forma constante, cada punto, independientemente de la velocidad del fluido en ese punto, tiene una presión estática $p$ y una presión dinámica $q$ únicas . La suma de estas presiones $, p + q,$ se define como la presión total $p₀ .$ El significado del principio de Bernoulli se puede resumir como: "la presión total es constante en cualquier región libre de fuerzas viscosas". Si el flujo del fluido se detiene en algún punto, este punto se denomina punto de estancamiento, y en este punto la presión estática es igual a la presión de estancamiento .

Si el flujo del fluido es irrotacional , la presión total es uniforme y el principio de Bernoulli se puede resumir como "la presión total es constante en todas partes en el flujo del fluido". ^{[ 1 ]}^{: Ecuación 3.12} Es razonable suponer que existe un flujo irrotacional en cualquier situación donde un gran cuerpo de fluido fluye alrededor de un cuerpo sólido. Ejemplos son aeronaves en vuelo y barcos que se mueven en cuerpos de agua abiertos. Sin embargo, es importante destacar que el principio de Bernoulli no se aplica en la capa límite, como en el flujo a través de tuberías largas .

Flujo potencial inestable

La ecuación de Bernoulli para flujo potencial transitorio se utiliza en la teoría de las olas superficiales oceánicas y la acústica . Para un flujo irrotacional, la velocidad del flujo se puede describir como el gradiente $\nabla φ$ de un potencial de velocidad $φ$ . En ese caso, y para una densidad constante $ρ$ , las ecuaciones de momento de las ecuaciones de Euler se pueden integrar a: ^{[ 2 ]}^{: 383} ${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}+gz=f(t),$

que es una ecuación de Bernoulli válida también para flujos no estacionarios —o dependientes del tiempo—. Aquí $⁠$ $\partial$ $φ$ $/$ $\partial$ $t$ $⁠$ denota la derivada parcial del potencial de velocidad $φ$ con respecto al tiempo $t$ , y $v$ $=$ $|$ $\nabla$ $φ$ $|$ es la velocidad del flujo. La función $f$ $($ $t$ $)$ depende solo del tiempo y no de la posición en el fluido. Como resultado, la ecuación de Bernoulli en algún momento $t$ se aplica en todo el dominio del fluido. Esto también es cierto para el caso especial de un flujo irrotacional estacionario, en el cual $f$ y $⁠$ $\partial$ $φ$ $/$ $\partial$ $t$ $⁠$ son constantes, por lo que la ecuación ( A ) se puede aplicar en cada punto del dominio del fluido. ^[²^]^:³⁸³ Además, $f$ $($ $t$ $)$ se puede hacer igual a cero incorporándola al potencial de velocidad usando la transformación: $\Phi =\varphi -\int _ {t_{0}}^{t}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau ,$ Resultando en: ${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}+gz=0.$

Nótese que la relación del potencial con la velocidad del flujo no se ve afectada por esta transformación: $\nablaΦ = \nabla φ$ .

La ecuación de Bernoulli para el flujo potencial no estacionario también parece desempeñar un papel central en el principio variacional de Luke , una descripción variacional de los flujos de superficie libre que utiliza la mecánica lagrangiana .

Ecuación de flujo compresible

Bernoulli desarrolló su principio a partir de observaciones sobre líquidos, y su ecuación es válida para fluidos ideales: aquellos que son inviscidos, incompresibles y sometidos únicamente a fuerzas conservativas. En ocasiones, también es válida para el flujo de gases, siempre que no haya transferencia de energía cinética o potencial del flujo de gas a la compresión o expansión del mismo. Si tanto la presión como el volumen del gas cambian simultáneamente, se realizará trabajo sobre o por el gas. En este caso, no se puede asumir la validez de la ecuación de Bernoulli en su forma de flujo incompresible. Sin embargo, si el proceso del gas es completamente isobárico o isocórico , no se realiza trabajo sobre o por el gas (por lo que el balance energético simple no se ve alterado). Según la ley de los gases, un proceso isobárico o isocórico es, por lo general, la única forma de asegurar una densidad constante en un gas. Además, la densidad del gas será proporcional a la relación entre la presión y la temperatura absoluta ; sin embargo, esta relación variará durante la compresión o expansión, independientemente de la cantidad de calor no nula que se añada o se elimine. La única excepción se da cuando la transferencia de calor neta es cero, como en un ciclo termodinámico completo o en un proceso isoentrópico individual ( adiabático sin fricción ), e incluso entonces este proceso reversible debe invertirse para restaurar el gas a la presión y el volumen específicos originales, y por lo tanto a la densidad. Solo entonces es aplicable la ecuación de Bernoulli original, sin modificar. En este caso, la ecuación puede utilizarse si la velocidad del flujo del gas es suficientemente inferior a la velocidad del sonido , de modo que la variación en la densidad del gas (debido a este efecto) a lo largo de cada línea de corriente pueda ignorarse. Generalmente se considera que el flujo adiabático a menos de Mach 0,3 es suficientemente lento. ^{[ 15 ]}

Es posible utilizar los principios fundamentales de la física para desarrollar ecuaciones similares aplicables a fluidos compresibles. Existen numerosas ecuaciones, cada una adaptada a una aplicación particular, pero todas son análogas a la ecuación de Bernoulli y se basan únicamente en los principios fundamentales de la física, como las leyes del movimiento de Newton o la primera ley de la termodinámica .

Flujo compresible en dinámica de fluidos

Para un fluido compresible, con una ecuación de estado barotrópica y bajo la acción de fuerzas conservativas, ^[¹⁶^] ${\frac {v^{2}}{2}}+\int _{p_{1}}^{p}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {p}}}{\rho \left({\tilde {p}}\right)}}+\Psi ={\text{constante (a lo largo de una línea de corriente)}}$ dónde:

$p$ es la presión
$ρ$ es la densidad y $ρ (p)$ indica que es una función de la presión.
$v$ es la velocidad del flujo
$Ψ$ es el potencial asociado con el campo de fuerza conservativo, a menudo el potencial gravitatorio.

En situaciones de ingeniería, las elevaciones suelen ser pequeñas en comparación con el tamaño de la Tierra, y las escalas de tiempo del flujo de fluidos son lo suficientemente pequeñas como para considerar la ecuación de estado como adiabática. En este caso, la ecuación anterior para un gas ideal se convierte en: ^{[ 1 ]}^{: § 3.11} ${\frac {v^{2}}{2}}+gz+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}={\text{constante (a lo largo de una línea de corriente)}}$ donde, además de los términos enumerados anteriormente:

$γ$ es la relación de los calores específicos del fluido
$g$ es la aceleración debida a la gravedad.
$z$ es la elevación del punto sobre un plano de referencia.

En muchas aplicaciones de flujo compresible, los cambios de elevación son despreciables en comparación con los demás términos, por lo que se puede omitir el término $gz . Una forma muy útil de la ecuación es entonces:$ ${\frac {v^{2}}{2}}+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}=\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}$

dónde:

$p 0$ es la presión total
$ρ 0$ es la densidad total

Flujo compresible en termodinámica

La forma más general de la ecuación, adecuada para su uso en termodinámica en caso de flujo (cuasi)estacionario, es: ^{[ 2 ]}^{: § 3.5}^{[ 17 ]}^{: § 5}^{[ 18 ]}^{: § 5.9}

${\frac {v^{2}}{2}}+\Psi +w={\text{constant}}.$

Aquí, $w$ es la entalpía por unidad de masa (también conocida como entalpía específica), que a menudo también se escribe como $h$ (que no debe confundirse con "cabeza" o "altura").

Tenga en cuenta que $w=e+{\frac {p}{\rho }}~~~\left(={\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}\right)$ donde $e$ es la energía termodinámica por unidad de masa, también conocida como energía interna específica . Por lo tanto, para una energía interna constante $e$ La ecuación se reduce a la forma de flujo incompresible.

La constante del lado derecho se suele denominar constante de Bernoulli y se denota con la letra $b$ . Para un flujo adiabático estacionario no viscoso sin fuentes ni sumideros de energía adicionales, $b$ es constante a lo largo de cualquier línea de corriente. En términos más generales, cuando $b$ puede variar a lo largo de las líneas de corriente, sigue siendo un parámetro útil, relacionado con la "altura" del fluido (véase más adelante).

Cuando se puede ignorar el cambio en $Ψ , una forma muy útil de esta ecuación es:$ ${\frac {v^{2}}{2}}+w=w_{0}$ donde $w 0$ es la entalpía total. Para un gas calóricamente perfecto, como un gas ideal, la entalpía es directamente proporcional a la temperatura, lo que da lugar al concepto de temperatura total (o de estancamiento).

Cuando existen ondas de choque , en un sistema de referencia donde el choque es estacionario y el flujo es constante, muchos de los parámetros de la ecuación de Bernoulli experimentan cambios abruptos al atravesar el choque. El parámetro de Bernoulli permanece inalterado. Una excepción a esta regla son los choques radiativos, que violan los supuestos que dan origen a la ecuación de Bernoulli, a saber, la ausencia de sumideros o fuentes de energía adicionales.

Flujo potencial inestable

Para un fluido compresible, con una ecuación de estado barotrópica, la ecuación de conservación del momento transitoria ${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}=-{\vec {g}}-{\frac {\nabla p}{\rho }}$

Con la suposición irrotacional, es decir, la velocidad del flujo se puede describir como el gradiente $\nabla φ$ de un potencial de velocidad $φ$ . La ecuación de conservación del momento transitorio se convierte en: ${\frac {\partial \nabla \phi }{\partial t}}+\nabla \left({\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}\right)=-\nabla \Psi -\nabla \int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}$ lo que lleva a ${\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}+\Psi +\int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}={\text{constant}}$

En este caso, la ecuación anterior para el flujo isoentrópico se convierte en: ${\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}+\Psi +{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}$

Derivaciones

Ecuación de Bernoulli para fluidos incompresibles

La ecuación de Bernoulli para fluidos incompresibles se puede derivar integrando la segunda ley del movimiento de Newton o aplicando la ley de conservación de la energía , ignorando la viscosidad , la compresibilidad y los efectos térmicos.

Derivación mediante la integración de la segunda ley del movimiento de Newton.

La derivación más sencilla consiste en ignorar primero la gravedad y considerar las constricciones y expansiones en tuberías que, de otro modo, serían rectas, como se observa en el efecto Venturi . Sea el eje $x$ el eje longitudinal de la tubería.

Definimos una porción de fluido que se mueve a través de una tubería con un área de sección transversal $A$ , la longitud de la porción es $d x$ , y el volumen de la porción es $A d x$ . Si la densidad de masa es $ρ$ , la masa de la porción es la densidad multiplicada por su volumen $m = ρA d x$ . El cambio en la presión a lo largo de una distancia $d x$ es $d p$ y la velocidad del flujo $v = ⁠ d x / d t ⁠$ .

Aplicamos la segunda ley del movimiento de Newton (fuerza = masa × aceleración) y reconocemos que la fuerza efectiva sobre la porción de fluido es $- A d p$ . Si la presión disminuye a lo largo de la tubería, $d p$ es negativo, pero la fuerza resultante del flujo es positiva a lo largo del eje $x$ .

${\begin{aligned}m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=F\\\rho A\mathrm {d} x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=-A\mathrm {d} p\\\rho {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=-{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}\end{aligned}}$

En flujo estacionario, el campo de velocidad es constante con respecto al tiempo, $v = v (x) = v (x (t))$ , por lo que $v$ en sí mismo no es directamente una función del tiempo $t$ . Es solo cuando la parcela se mueve a través de $x$ que el área de la sección transversal cambia: $v$ depende de $t$ solo a través de la posición de la sección transversal $x (t)$ . ${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}v={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right).$

Con una densidad $ρ$ constante, la ecuación de movimiento se puede escribir como ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\rho {\frac {v^{2}}{2}}+p\right)=0$ integrando con respecto a $x$ ${\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}=C$ donde $C$ es una constante, a veces denominada constante de Bernoulli. No es una constante universal , sino una constante propia de un sistema de fluidos específico. La conclusión es que, a mayor velocidad, menor presión, y viceversa.

En la derivación anterior, no se invoca ningún principio externo de trabajo-energía. Más bien, el principio de Bernoulli se derivó mediante una simple manipulación de la segunda ley de Newton.

Un tubo de corriente de fluido que se mueve hacia la derecha. Se indican la presión, la elevación, la velocidad del flujo, la distancia ( $s$ ) y el área de la sección transversal. Nótese que en esta figura la elevación se denota como $h$ , a diferencia del texto donde se indica como $z$ .

Derivación mediante la conservación de la energía

Otra forma de derivar el principio de Bernoulli para un flujo incompresible es aplicando la conservación de la energía. ^{[ 19 ]} En la forma del teorema del trabajo y la energía , que establece que ^{[ 20 ]}

el cambio en la energía cinética

E kin

del sistema es igual al trabajo neto $W$ realizado sobre el sistema ;

W=\Delta E_{\text{kin}}.

Por lo tanto,

El trabajo realizado por las fuerzas en el fluido es igual al aumento de la energía cinética .

El sistema consiste en el volumen de fluido, inicialmente entre las secciones transversales $A 1$ y $A 2$ . En el intervalo de tiempo $Δ t,$ los elementos de fluido inicialmente en la sección transversal de entrada $A 1$ se mueven una distancia $s 1 = v 1 Δ t$ , mientras que en la sección transversal de salida el fluido se aleja de la sección transversal $A 2$ una distancia $s 2 = v 2 Δ t$ . Los volúmenes de fluido desplazados en la entrada y la salida son respectivamente $A 1 s 1$ y $A 2 s 2$ . Las masas de fluido desplazadas asociadas son –cuando $ρ es la$ densidad de masa del fluido– iguales a la densidad por el volumen, por lo que $ρA 1 s 1$ y $ρA 2 s 2$ . Por conservación de la masa, estas dos masas desplazadas en el intervalo de tiempo $Δ t$ deben ser iguales, y esta masa desplazada se denota por $Δ$ $m$ : ${\begin{aligned}\rho A_{1}s_{1}&=\rho A_{1}v_{1}\Delta t=\Delta m,\\\rho A_{2}s_{2}&=\rho A_{2}v_{2}\Delta t=\Delta m.\end{aligned}}$

El trabajo realizado por las fuerzas consta de dos partes:

El trabajo realizado por la presión que actúa sobre las áreas $A 1$ y $A 2$ $W_{\text{pressure}}=F_{1,{\text{pressure}}}s_{1}-F_{2,{\text{pressure}}}s_{2}=p_{1}A_{1}s_{1}-p_{2}A_{2}s_{2}=\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.$
El trabajo realizado por la gravedad : la energía potencial gravitatoria en el volumen $A 1 s 1$ se pierde, y en la salida en el volumen $A 2 s 2$ se gana. Por lo tanto, el cambio en la energía potencial gravitatoria $Δ E pot,gravedad$ en el intervalo de tiempo $Δ t$ es

$\Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{2}-\Delta m\,gz_{1}.$ Ahora bien, el trabajo realizado por la fuerza de gravedad es opuesto al cambio en la energía potencial , $W gravedad = - ΔE pot,gravedad$ : mientras la fuerza de gravedad esté en la dirección negativa del eje $z$ , el trabajo (fuerza de gravedad multiplicada por el cambio de elevación) será negativo para un cambio de elevación positivo $Δ z = z 2 - z 1$ , mientras que el cambio de energía potencial correspondiente es positivo. ^{[ 21 ]}^{: 14–4, §14–3} Entonces: $W_{\text{gravity}}=-\Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}.$ Y por lo tanto , el trabajo total realizado en este intervalo de tiempo $Δt es$ $W=W_{\text{pressure}}+W_{\text{gravity}}.$ El aumento de la energía cinética es $\Delta E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}.$ Al combinar estos elementos, el teorema del trabajo y la energía cinética $W = Δ E kin$ da como resultado: ^{[ 19 ]} $\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}+\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}$ o ${\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}+\Delta m\,gz_{1}+\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}+\Delta m\,gz_{2}+\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.$ Después de dividir por la masa $Δ m = ρA 1 v 1 Δ t = ρA 2 v 2 Δ t$ el resultado es: ^{[ 19 ]} ${\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+gz_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+gz_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho }}$ o, como se indica en el primer párrafo:

Una división adicional por $g$ produce la siguiente ecuación. Nótese que cada término puede describirse en términos de longitud (como metros). Esta es la ecuación de la cabeza derivada del principio de Bernoulli:

El término central, $z$ , representa la energía potencial del fluido debido a su elevación con respecto a un plano de referencia. Ahora, $z$ se denomina carga de elevación y se le da la designación $z elevación$ .

Una masa en caída libre desde una altura $z > 0$ (en el vacío ) alcanzará una velocidad $v={\sqrt {{2g}{z}}},$ al llegar a la elevación $z = 0.$ O cuando se reorganiza como cabeza : $h_{v}={\frac {v^{2}}{2g}}$ El término $v²$ $/$ $2g$ $se$ denomina carga $de$ velocidad $y se expresa como una medida$ $de$ longitud. Representa la energía interna del fluido debida a su movimiento.

La presión hidrostática p se define como $p=p_{0}-\rho gz,$ con $p 0$ alguna presión de referencia, o cuando se reorganiza como cabeza : $\psi ={\frac {p}{\rho g}}.$ El término $p$ $/$ $ρg$ $,$ también llamado altura de presión $,$ se expresa como una medida de longitud. Representa la energía interna del fluido debida a la presión ejercida sobre el recipiente. Al combinar la altura debida a la velocidad del flujo y la altura debida a la presión estática con la elevación sobre un plano de referencia, se obtiene una relación sencilla, útil para fluidos incompresibles, que utiliza la altura de velocidad, la altura de elevación y la altura de presión.

Si se multiplica la ecuación 1 por la densidad del fluido, se obtiene una ecuación con tres términos de presión:

Nótese que la presión del sistema es constante en esta formulación de la ecuación de Bernoulli. Si la presión estática del sistema (el tercer término) aumenta y la presión debida a la elevación (el término intermedio) es constante, entonces la presión dinámica (el primer término) debe haber disminuido. En otras palabras, si la velocidad de un fluido disminuye y no se debe a una diferencia de elevación, debe deberse a un aumento de la presión estática que se opone al flujo.

Las tres ecuaciones son simplemente versiones simplificadas de un balance energético en un sistema.

Ecuación de Bernoulli para fluidos compresibles

La derivación para fluidos compresibles es similar. Nuevamente, la derivación depende de (1) la conservación de la masa y (2) la conservación de la energía. La conservación de la masa implica que en la figura anterior, en el intervalo de tiempo $Δt$ $, la$ cantidad de masa que pasa a través del límite definido por el área $A1$ es igual a la cantidad de masa que pasa hacia afuera a través del límite definido por el área $A2 :$ $0=\Delta M_{1}-\Delta M_{2}=\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t.$ La conservación de la energía se aplica de manera similar: se supone que el cambio en la energía del volumen del tubo de corriente delimitado por $A 1$ y $A 2$ se debe enteramente a la energía que entra o sale a través de uno u otro de estos dos límites. Claramente, en una situación más complicada como un flujo de fluido acoplado con radiación, tales condiciones no se cumplen. Sin embargo, suponiendo que este sea el caso y suponiendo que el flujo es estacionario de modo que el cambio neto en la energía es cero, $\Delta E_{1}-\Delta E_{2}=0$ donde $ΔE1 y ΔE2$ son la energía que entra por $A1$ y sale por $A2$ $,$ $respectivamente$ $. La$ energía que entra por $A1$ $es$ la suma de la energía cinética que entra, la energía que entra en forma de energía potencial gravitatoria del fluido, $la energía interna termodinámica$ $del$ fluido por unidad de masa ( $ε1$ $)$ que entra, y la energía que entra en forma de trabajo mecánico $p$ $dV$ $:$ $\Delta E_{1}=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\varepsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t$ donde $Ψ = gz$ es un potencial de fuerza debido a la gravedad terrestre , $g$ es la aceleración debida a la gravedad y $z$ es la elevación sobre un plano de referencia. Se puede construir fácilmente una expresión similar para $Δ E 2.$ $Entonces, ahora, estableciendo 0 = Δ E 1 - Δ E 2$ : $0=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\varepsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{2}v_{2}^{2}+\Psi _{2}\rho _{2}+\varepsilon _{2}\rho _{2}+p_{2}\right)A_{2}v_{2}\,\Delta t$ que se puede reescribir como: $0=\left({\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+\Psi _{1}+\varepsilon _{1}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+\Psi _{2}+\varepsilon _{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right)\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t$ Ahora, utilizando el resultado obtenido previamente de la conservación de la masa, esto se puede simplificar para obtener ${\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +\varepsilon +{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}\equiv b$ que es la ecuación de Bernoulli para flujo compresible.

Se puede escribir una expresión equivalente en términos de la entalpía del fluido ( $h$ ): ${\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +h={\text{constant}}\equiv b$

Aplicaciones

En la vida cotidiana moderna hay muchas observaciones que pueden explicarse satisfactoriamente mediante la aplicación del principio de Bernoulli, aunque ningún fluido real es completamente inviscido, ^{[ 24 ]} y una viscosidad pequeña a menudo tiene un gran efecto en el flujo.

El principio de Bernoulli se puede utilizar para calcular la fuerza de sustentación en un perfil aerodinámico , si se conoce el comportamiento del flujo de fluido en las proximidades del perfil. Por ejemplo, si el aire que fluye sobre la superficie superior del ala de un avión se mueve más rápido que el aire que fluye sobre la superficie inferior, entonces el principio de Bernoulli implica que la presión en las superficies del ala será menor arriba que abajo. Esta diferencia de presión resulta en una fuerza de sustentación hacia arriba . ^{[ c ]}^{[ 25 ]} Siempre que se conozca la distribución de velocidad sobre las superficies superior e inferior de un ala, las fuerzas de sustentación se pueden calcular (con una buena aproximación) utilizando las ecuaciones de Bernoulli, ^{[ 26 ]} que fueron establecidas por Bernoulli más de un siglo antes de que se utilizaran las primeras alas artificiales para el vuelo.
El funcionamiento básico de un carburador, presente en muchos motores de pistón, consiste en una garganta en el flujo de aire que crea una zona de baja presión para aspirar el combustible y mezclarlo completamente con el aire de admisión. Esta baja presión en la garganta se explica por el principio de Bernoulli, según el cual el aire en la garganta se mueve a su máxima velocidad y, por lo tanto, alcanza su mínima presión. El carburador puede o no utilizar la diferencia entre las dos presiones estáticas resultantes del efecto Venturi en el flujo de aire para forzar el paso del combustible. Como base, puede utilizar la diferencia de presión entre la garganta y la presión atmosférica local en la cuba del flotador, o entre la garganta y un tubo Pitot en la entrada de aire.
Un inyector en una locomotora de vapor o en una caldera estática .
El tubo Pitot y el puerto estático de una aeronave se utilizan para determinar su velocidad aerodinámica. Estos dos dispositivos están conectados al indicador de velocidad aerodinámica , que determina la presión dinámica del flujo de aire que pasa por la aeronave. El principio de Bernoulli se utiliza para calibrar el indicador de velocidad aerodinámica de modo que muestre la velocidad aerodinámica indicada correspondiente a la presión dinámica. ^{[ 1 ]}^{: § 3.8}
Una tobera De Laval utiliza el principio de Bernoulli para crear una fuerza transformando la energía de presión generada por la combustión de los propelentes en velocidad. Esto, a su vez, genera empuje según la tercera ley del movimiento de Newton .
La velocidad de flujo de un fluido se puede medir utilizando un dispositivo como un medidor Venturi o una placa de orificio , que se coloca en una tubería para reducir el diámetro del flujo. Para un dispositivo horizontal, la ecuación de continuidad muestra que, para un fluido incompresible, la reducción del diámetro provoca un aumento en la velocidad de flujo. Posteriormente, el principio de Bernoulli demuestra que debe haber una disminución de la presión en la región de diámetro reducido. Este fenómeno se conoce como efecto Venturi .
El caudal máximo posible para un tanque con un orificio o grifo en la base se puede calcular directamente a partir de la ecuación de Bernoulli y resulta ser proporcional a la raíz cuadrada de la altura del fluido en el tanque. Esta es la ley de Torricelli , compatible con el principio de Bernoulli. El aumento de la viscosidad reduce este caudal; esto se refleja en el coeficiente de descarga, que depende del número de Reynolds y de la forma del orificio. ^{[ 27 ]}
El agarre de Bernoulli se basa en este principio para crear una fuerza adhesiva sin contacto entre una superficie y el dispositivo de agarre ^{[ 28 ]} .

conceptos erróneos

Sustentación aerodinámica

Una de las explicaciones erróneas más comunes de la sustentación aerodinámica afirma que el aire debe atravesar las superficies superior e inferior de un ala en el mismo tiempo, lo que implica que, dado que la superficie superior presenta una trayectoria más larga, el aire debe moverse sobre la parte superior del ala más rápido que sobre la inferior. A continuación, se cita el principio de Bernoulli para concluir que la presión en la parte superior del ala debe ser menor que en la inferior. ^{[ 29 ]}^{[ 30 ]}

El tiempo de tránsito igual se aplica al flujo alrededor de un cuerpo que no genera sustentación, pero no existe ningún principio físico que requiera un tiempo de tránsito igual en el caso de cuerpos que sí la generan. De hecho, la teoría predice —y los experimentos lo confirman— que el aire atraviesa la superficie superior de un cuerpo que experimenta sustentación en un tiempo menor que el que atraviesa la superficie inferior; la explicación basada en el tiempo de tránsito igual es falsa. ^{[ 31 ]}^{[ 32 ]}^{[ 33 ]} Si bien la explicación del tiempo igual es falsa, no es el principio de Bernoulli el que es falso, ya que este principio está bien establecido; la ecuación de Bernoulli se utiliza correctamente en los tratamientos matemáticos comunes de la sustentación aerodinámica. ^{[ 34 ]}^{[ 35 ]}

demostraciones comunes en el aula

Hay varias demostraciones comunes en el aula que a veces se explican incorrectamente utilizando el principio de Bernoulli. ^{[ 36 ]}^{[ 37 ]}

Una de ellas consiste en sostener un trozo de papel horizontalmente de forma que cuelgue hacia abajo y luego soplar sobre él. A medida que el demostrador sopla sobre el papel, este se eleva. Se afirma entonces que esto se debe a que "el aire que se mueve más rápido tiene menor presión". ^{[ 38 ]}

Un problema con esta explicación se puede ver soplando a lo largo de la parte inferior del papel: si la desviación fuera causada por aire que se mueve más rápido, entonces el papel debería desviarse hacia abajo; pero el papel se desvía hacia arriba independientemente de si el aire que se mueve más rápido está arriba o abajo. ^{[ 39 ]} Otro problema es que cuando el aire sale de la boca del demostrador tiene la misma presión que el aire circundante; ^{[ 40 ]} el aire no tiene menor presión solo porque se está moviendo; en la demostración, la presión estática del aire que sale de la boca del demostrador es igual a la presión del aire circundante. ^{[ 41 ]}^{[ 42 ]} Un tercer problema es que es falso establecer una conexión entre el flujo en los dos lados del papel usando la ecuación de Bernoulli ya que el aire arriba y abajo son campos de flujo diferentes y el principio de Bernoulli solo se aplica dentro de un campo de flujo. ^{[ 43 ]}

Dado que la formulación del principio puede modificar sus implicaciones, es importante enunciarlo correctamente. ^{[ 44 ]} El principio de Bernoulli establece que, dentro de un flujo de energía constante, cuando un fluido atraviesa una región de menor presión, su velocidad aumenta, y viceversa. ^{[ 45 ]} Por lo tanto, el principio de Bernoulli se refiere a los cambios de velocidad y de presión dentro de un campo de flujo. No puede utilizarse para comparar diferentes campos de flujo.

Una explicación correcta de por qué el papel se eleva observaría que la columna de aire sigue la curva del papel y que una línea de corriente curva desarrollará un gradiente de presión perpendicular a la dirección del flujo, con la presión más baja en el interior de la curva. ^{[ 46 ]} El principio de Bernoulli predice que la disminución de la presión está asociada con un aumento de la velocidad; en otras palabras, a medida que el aire pasa sobre el papel, se acelera y se mueve más rápido que cuando salió de la boca del demostrador. Pero esto no es evidente en la demostración. ^{[ 47 ]}^{[ 48 ]}^{[ 49 ]}

Otras demostraciones comunes en el aula, como soplar entre dos esferas suspendidas, inflar una bolsa grande o suspender una pelota en una corriente de aire, a veces se explican de manera igualmente engañosa diciendo que "el aire que se mueve más rápido tiene menor presión". ^{[ 50 ]}

Véase también

Ley de Torricelli
Efecto Coandă
Ecuaciones de Euler : para el flujo de un fluido no viscoso
Hidráulica : mecánica de fluidos aplicada a líquidos
Ecuaciones de Navier-Stokes : para el flujo de un fluido viscoso.
Efecto tetera
Terminología en dinámica de fluidos

Notas

↑ Si la partícula se encuentra en una región de presión variable (un gradiente de presión no nulo en la $dirección x$ ) y si la partícula tiene un tamaño finito $l$ , entonces la parte frontal de la partícula experimentará una presión diferente a la de la parte posterior. Más precisamente, si la presión disminuye en ladirección $x ($ $d$ $p$ $/$ $d$ $x$ $<$ $0 )$ $,$ la presión en la parte posterior es mayor que en la parte frontal y la partícula experimenta una fuerza neta (positiva). Según la segunda ley de Newton, esta fuerza provoca una aceleración y la velocidad de la partícula aumenta a medida que se mueve a lo largo de la línea de corriente... La ecuación de Bernoulli describe esto matemáticamente (véase la derivación completa en el apéndice).^[⁶^]
↑ La idea es que, a medida que la parcela se mueve siguiendo una línea de corriente, al entrar en una zona de mayor presión, habrá mayor presión delante (mayor que la presión detrás) y esto ejercerá una fuerza sobre la parcela, ralentizándola. Por el contrario, si la parcela se mueve hacia una región de menor presión, habrá mayor presión detrás (mayor que la presión delante), acelerándola. Como siempre, cualquier fuerza desequilibrada provocará un cambio en el momento (y la velocidad), según lo exigen las leyes del movimiento de Newton.^{[ 8 ]}
↑ "Cuando una corriente de aire fluye alrededor de un perfil aerodinámico, se producen cambios locales en la velocidad alrededor del perfil y, en consecuencia, cambios en la presión estática, de acuerdo con el teorema de Bernoulli. La distribución de la presión determina la sustentación, el momento de cabeceo y la resistencia de forma del perfil aerodinámico, así como la posición de su centro de presión."^{[ 1 ]}^{: § 5.5}

Referencias

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↑ Denker, John S. «El principio de Bernoulli» . Véase «See How It Flies » . Archivado del original el 27/09/2007 – vía av8n.com. El principio de Bernoulli es muy fácil de entender siempre que esté correctamente enunciado. Sin embargo, debemos tener cuidado, ya que cambios aparentemente pequeños en la redacción pueden llevar a conclusiones completamente erróneas.
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↑ a. Bobrowsky, Matt. "P: ¿Realmente se debe al efecto Bernoulli?" . Ciencia 101 . Asociación Nacional de Enseñanza de las Ciencias. El efecto Bernoulli se invoca comúnmente —y erróneamente— para explicar: :por qué dos globos o pelotas de tenis de mesa suspendidos se mueven uno hacia el otro cuando se sopla aire entre ellos; :por qué el papel se eleva cuando se sopla aire sobre él; :por qué una pelota de béisbol lanzada describe una curva; :por qué una cuchara es atraída hacia una corriente de agua; :por qué una pelota permanece suspendida en un chorro de aire. La noticia es la siguiente: Ninguno de estos fenómenos es resultado del efecto Bernoulli.b. Kamela, Martin (septiembre de 2007). "Pensando en Bernoulli" . The Physics Teacher . 45 (6). Asociación Estadounidense de Profesores de Física: 379–381 . Bibcode : 2007PhTea..45..379K . doi : 10.1119/1.2768700 . Finalmente, volvamos al ejemplo inicial de una bola levitando en un chorro de aire. La explicación ingenua de la estabilidad de la bola en la corriente de aire, "porque la presión en el chorro es menor que la presión en la atmósfera circundante", es claramente incorrecta. La presión estática en el chorro de aire libre es la misma que la presión en la atmósfera circundante...{{cite journal}}: CS1 maint: servicio de archivo obsoleto ( enlace ) c. Smith, Norman F. (noviembre de 1972). "Bernoulli y Newton en mecánica de fluidos". The Physics Teacher . 10 (8): 455. Bibcode : 1972PhTea..10..451S . doi : 10.1119/1.2352317 . El flujo asimétrico (no el teorema de Bernoulli) también explica la sustentación de la pelota de ping-pong o de playa que flota tan misteriosamente en el escape inclinado de la aspiradora...Bauman, Robert P. " El enigma de Bernoulli" (PDF) . introphysics.info . Departamento de Física, Universidad de Alabama en Birmingham. Archivado del original (PDF) el 25 de febrero de 2012. Recuperado el 25 de junio de 2012. El teorema de Bernoulli a menudo se oscurece por demostraciones que involucran fuerzas que no son de Bernoulli. Por ejemplo, una bola puede estar sostenida sobre un chorro ascendente de aire o agua, porque cualquier fluido (el aire y el agua) tiene viscosidad, lo que retarda el deslizamiento de una parte del fluido que se mueve más allá de otra parte del fluido. d. Craig, Gale M. "Principios físicos del vuelo alado" . Recuperado el 31 de marzo de 2016. En una demostración que a veces se describe erróneamente como una demostración de sustentación debido a la reducción de presión en el aire en movimiento o a la reducción de presión debido a la restricción de la trayectoria del flujo, una bola o globo se suspende mediante un chorro de aire. e. Anderson, David F.; Eberhardt, Scott. "La descripción newtoniana de la sustentación de un ala" (PDF) . pág. 12. Archivado del original (PDF) el 11 de marzo de 2016 – vía integener.com. Un segundo ejemplo es el confinamiento de una pelota de ping-pong en el escape vertical de un secador de pelo . Se nos dice que esto es una demostración del principio de Bernoulli. Pero ahora sabemos que el escape no tiene un valor menor de ps. Nuevamente, es la transferencia de momento lo que mantiene la pelota en el flujo de aire. Cuando la pelota se acerca al borde del escape hay un flujo asimétrico alrededor de la pelota, que la empuja lejos del borde del flujo. Lo mismo sucede cuando uno sopla entre dos pelotas de ping-pong que cuelgan de cuerdas. f. "Láminas metálicas delgadas: efecto Coanda" . physics.umd.edu . Centro de conferencias y demostraciones de física, Universidad de Maryland. Archivado del original el 23 de junio de 2012. Recuperado el 23 de octubre de 2012. Esta demostración se explica a menudo incorrectamente utilizando el principio de Bernoulli . Según la explicación INCORRECTA, el flujo de aire es más rápido en la región entre las láminas, creando así una presión menor en comparación con el aire en reposo en el exterior de las láminas. g. "Respuesta n.° 256" . physics.umd.edu . Centro de Clases y Demostraciones de Física, Universidad de Maryland. Archivado del original el 13 de diciembre de 2014. Recuperado el 9 de diciembre de 2014. Aunque el efecto Bernoulli se usa a menudo para explicar esta demostración, y un fabricante vende el material para esta demostración como "bolsas Bernoulli", no se puede explicar mediante el efecto Bernoulli, sino más bien mediante el proceso de arrastre.

Enlaces externos

El flujo del agua seca - Las lecciones de física de Feynman
Ciencia básica: ¿Realmente se debe al efecto Bernoulli?
Universidad de Millersville – Aplicaciones de la ecuación de Euler
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[7] Si la partícula se encuentra en una región de presión variable (un gradiente de presión no nulo en la $dirección x$ ) y si la partícula tiene un tamaño finito $l$ , entonces la parte frontal de la partícula experimentará una presión diferente a la de la parte posterior. Más precisamente, si la presión disminuye en ladirección $x ($ $d$ $p$ $/$ $d$ $x$ $<$ $0 )$ $,$ la presión en la parte posterior es mayor que en la parte frontal y la partícula experimenta una fuerza neta (positiva). Según la segunda ley de Newton, esta fuerza provoca una aceleración y la velocidad de la partícula aumenta a medida que se mueve a lo largo de la línea de corriente... La ecuación de Bernoulli describe esto matemáticamente (véase la derivación completa en el apéndice).^[⁶^]

[10] La idea es que, a medida que la parcela se mueve siguiendo una línea de corriente, al entrar en una zona de mayor presión, habrá mayor presión delante (mayor que la presión detrás) y esto ejercerá una fuerza sobre la parcela, ralentizándola. Por el contrario, si la parcela se mueve hacia una región de menor presión, habrá mayor presión detrás (mayor que la presión delante), acelerándola. Como siempre, cualquier fuerza desequilibrada provocará un cambio en el momento (y la velocidad), según lo exigen las leyes del movimiento de Newton.^{[ 8 ]}

[27] "Cuando una corriente de aire fluye alrededor de un perfil aerodinámico, se producen cambios locales en la velocidad alrededor del perfil y, en consecuencia, cambios en la presión estática, de acuerdo con el teorema de Bernoulli. La distribución de la presión determina la sustentación, el momento de cabeceo y la resistencia de forma del perfil aerodinámico, así como la posición de su centro de presión."^{[ 1 ]}^{: § 5.5}

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[30] Manual de referencia de ingeniería mecánica (9.ª ed.).

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[34] Babinsky, Holger (2003). "¿Cómo funcionan las alas?" (PDF) . Educación en Física . 38 (6): 497– 503. Bibcode : 2003PhyEd..38..497B . doi : 10.1088/0031-9120/38/6/001 . S2CID 1657792. Archivado del original (PDF) el 12 de abril de 2022. Recuperado el 11 de abril de 2022. ... a menudo se pregunta por qué las partículas de fluido deberían encontrarse de nuevo en el borde de salida. O, en otras palabras, ¿por qué dos partículas a cada lado del ala deberían tardar el mismo tiempo en viajar de S a T? No hay una explicación obvia y las observaciones de la vida real demuestran que esto es incorrecto.

[35] "La velocidad real sobre la parte superior de un perfil aerodinámico es mucho mayor que la predicha por la teoría de la "trayectoria más larga" y las partículas que se mueven sobre la parte superior llegan al borde de salida antes que las partículas que se mueven debajo del perfil aerodinámico." Centro de Investigación Glenn (16 de agosto de 2000). "Teoría de sustentación incorrecta n.° 1" . NASA. Archivado del original el 27 de abril de 2014. Recuperado el 27 de junio de 2021 .

[36] Anderson, John (2005). Introducción al vuelo . Boston: McGraw-Hill Higher Education. pág. 355. ISBN 978-0072825695Se asume entonces que estos dos elementos deben encontrarse en el borde de salida, y dado que la distancia recorrida sobre la superficie superior del perfil aerodinámico es mayor que sobre la superficie inferior, el elemento sobre la superficie superior debe moverse más rápido. Esto simplemente no es cierto. Los resultados experimentales y los cálculos de dinámica de fluidos computacional demuestran claramente que un elemento de fluido que se mueve sobre la superficie superior de un perfil aerodinámico abandona el borde de salida mucho antes de que su elemento compañero, que se mueve sobre la superficie inferior, llegue a dicho borde.

[37] Anderson, David; Eberhardt, Scott. "Cómo vuelan los aviones" . Cómo vuelan los aviones: una descripción física de la sustentación . Archivado del original el 26 de enero de 2016. Recuperado el 26 de enero de 2016. No hay nada malo con el principio de Bernoulli, ni con la afirmación de que el aire va más rápido sobre la parte superior del ala. Pero, como sugiere la discusión anterior, nuestra comprensión no es completa con esta explicación. El problema es que nos falta una pieza vital cuando aplicamos el principio de Bernoulli. Podemos calcular las presiones alrededor del ala si conocemos la velocidad del aire sobre y debajo del ala, pero ¿cómo determinamos la velocidad?

[38] Anderson, John D. (2016). "Capítulo 4. Aerodinámica básica". Introducción al vuelo (8.ª ed.). McGraw-Hill Education.

[39] "La ley de Bernoulli y los experimentos atribuidos a ella son fascinantes. Desafortunadamente, algunos de estos experimentos se explican erróneamente..." Weltner, Klaus; Ingelman-Sundberg, Martin. "Malinterpretaciones de la ley de Bernoulli" . Departamento de Física, Universidad de Frankfurt. Archivado del original el 21 de junio de 2012. Recuperado el 25 de junio de 2012 .

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[41] . Tymony, Cy. "Disco volador de origami" . Revista MAKE . Esto ocurre debido al principio de Bernoulli: el aire que se mueve rápidamente tiene menor presión que el aire que no se mueve.{{cite web}}: CS1 maint: servicio de archivo obsoleto ( enlace ) b. "Efectos Bernoulli" . Escuela de Física y Astronomía, Universidad de Minnesota . Archivado del original el 10 de marzo de 2012. Fluido que se mueve más rápido, menor presión. ... Cuando el demostrador sostiene el papel frente a su boca y sopla sobre la parte superior, está creando un área de aire que se mueve más rápido.c. "Paquete educativo" (PDF) . Festival de Grandes Veleros – Puerto de las Islas del Canal. Archivado del original el 3 de diciembre de 2013. Recuperado el 25 de junio de 2012. El principio de Bernoulli establece que el aire que se mueve más rápido tiene menor presión... Puedes demostrar el principio de Bernoulli soplando sobre un trozo de papel sostenido horizontalmente sobre tus labios.

[42] Craig, Gale M. "Principios físicos del vuelo alado" . Consultado el 31 de marzo de 2016 en rcgroups.com. Si la sustentación en la figura A se debiera al "principio de Bernoulli", entonces el papel en la figura B debería caer más cuando se sopla aire debajo de él. Sin embargo, como se muestra, se eleva cuando el gradiente de presión ascendente en el flujo descendente se suma a la presión atmosférica en la superficie inferior del papel.

[43] Babinsky, Holger (2003). "Cómo funcionan las alas" (PDF) . Educación en física . 38 (6). IOP Publishing: 497. Bibcode : 2003PhyEd..38..497B . doi : 10.1088/0031-9120/38/6/001 . S2CID 1657792. Recuperado el 7 de abril de 2022 a través de iopscience.iop.org. De hecho, la presión del aire expulsado de los pulmones es igual a la del aire circundante...

[44] Eastwell, Peter (2007). "¿Bernoulli? Tal vez, ¿pero qué pasa con la viscosidad?" (PDF) . The Science Education Review . 6 (1). Archivado del original (PDF) el 18 de marzo de 2018. Recuperado el 18 de marzo de 2018. ... el aire no tiene una presión lateral reducida (o presión estática...) simplemente porque se le hace moverse, la presión estática del aire libre no disminuye a medida que aumenta la velocidad del aire, es malinterpretar el principio de Bernoulli sugerir que esto es lo que nos dice, y el comportamiento del papel curvado se explica por otro razonamiento que no sea el principio de Bernoulli.

[45] Raskin, Jef (febrero de 2003). "Efecto Coanda: Entendiendo por qué funcionan las alas" . karmak.org . Haz una tira de papel de escribir de unos 5 cm × 25 cm. Sostenla frente a tus labios de manera que cuelgue hacia abajo formando una superficie convexa hacia arriba. Cuando soples sobre la parte superior del papel, este se eleva. Muchos libros atribuyen esto a la disminución de la presión del aire en la parte superior únicamente al efecto Bernoulli. Ahora usa tus dedos para darle al papel una forma curva de manera que sea ligeramente cóncava hacia arriba a lo largo de toda su longitud y vuelve a soplar sobre la parte superior de esta tira. El papel ahora se dobla hacia abajo... un experimento frecuentemente citado, que generalmente se toma como demostración de la explicación común de la sustentación, no lo hace... {{cite web}}: CS1 maint: servicio de archivado obsoleto ( enlace )

[46] . Babinsky, Holger (2003). "Cómo funcionan las alas" (PDF) . Educación en física . 38 (6). IOP Publishing: 497. Bibcode : 2003PhyEd..38..497B . doi : 10.1088/0031-9120/38/6/001 . S2CID 1657792. Recuperado el 7 de abril de 2022 – vía iopscience.iop.org. Soplar sobre un trozo de papel no demuestra la ecuación de Bernoulli. Si bien es cierto que un papel curvo se levanta cuando se aplica flujo en un lado, esto no se debe a que el aire se mueva a diferentes velocidades en los dos lados... Es falso establecer una conexión entre el flujo en los dos lados del papel utilizando la ecuación de Bernoulli. b. Eastwell, Peter (2007). "¿Bernoulli? Tal vez, ¿pero qué pasa con la viscosidad?" (PDF) . The Science Education Review . 6 (1). Archivado del original (PDF) el 18 de marzo de 2018. Recuperado el 18 de marzo de 2018. Una explicación basada en el principio de Bernoulli no es aplicable a esta situación, porque este principio no dice nada sobre la interacción de masas de aire con diferentes velocidades... Además, mientras que el principio de Bernoulli nos permite comparar velocidades y presiones de fluidos a lo largo de una sola línea de corriente y... a lo largo de dos líneas de corriente diferentes que se originan bajo condiciones de fluido idénticas, usar el principio de Bernoulli para comparar el aire por encima y por debajo del papel curvo en la Figura 1 no tiene sentido; ¡en este caso, no hay ninguna línea de corriente por debajo del papel!c. Auerbach, David. "Por qué vuelan los aviones" (PDF) . European Journal of Physics . 21 : 295 – vía iopscience.iop.org. La conocida demostración del fenómeno de sustentación mediante el levantamiento de una página en voladizo en la mano soplando horizontalmente a lo largo de ella es probablemente más una demostración de las fuerzas inherentes al efecto Coanda que una demostración de la ley de Bernoulli; pues, aquí, un chorro de aire sale de la boca y se adhiere a una superficie curva (y, en este caso, flexible). El borde superior es una capa de mezcla compleja cargada de vórtices y el flujo distante es estacionario, por lo que la ley de Bernoulli difícilmente es aplicable.d. Smith, Norman F. (noviembre de 1972). "Bernoulli y Newton en mecánica de fluidos". The Physics Teacher . A millones de niños en clases de ciencias se les pide que soplen sobre trozos de papel curvos y observen que el papel se "levanta"... Luego se les pide que crean que el teorema de Bernoulli es el responsable... Desafortunadamente, la "elevación dinámica" involucrada... no se explica adecuadamente con el teorema de Bernoulli.

[47] Denker, John S. «El principio de Bernoulli» . Véase «See How It Flies » . Archivado del original el 27/09/2007 – vía av8n.com. El principio de Bernoulli es muy fácil de entender siempre que esté correctamente enunciado. Sin embargo, debemos tener cuidado, ya que cambios aparentemente pequeños en la redacción pueden llevar a conclusiones completamente erróneas.

[48] Smith, Norman F. (1973). "Bernoulli, Newton y la sustentación dinámica, parte I" . School Science and Mathematics . 73 (3): 181–186 . doi : 10.1111/j.1949-8594.1973.tb08998.x – vía wiley.com. El enunciado completo del teorema de Bernoulli es el siguiente: «En un flujo donde no se añade ni se extrae energía, la suma de sus diversas energías es constante; por consiguiente, donde aumenta la velocidad, disminuye la presión y viceversa».

[49] . Babinsky, Holger (2003). "Cómo funcionan las alas" (PDF) . Educación en física . 38 (6). IOP Publishing: 497. Bibcode : 2003PhyEd..38..497B . doi : 10.1088/0031-9120/38/6/001 . S2CID 1657792. Recuperado el 7 de abril de 2022 a través de iopscience.iop.org. ...si una línea de corriente es curva, debe haber un gradiente de presión a través de la línea de corriente, con la presión aumentando en la dirección que se aleja del centro de curvatura. b. Smith, Norman F. (1973). "Bernoulli, Newton y la sustentación dinámica, parte II" . School Science and Mathematics . 73 (4): 3333. doi : 10.1111/j.1949-8594.1973.tb09040.x – vía wiley.com. El papel curvado desvía la corriente de aire hacia abajo, y esta acción produce la reacción de sustentación que eleva el papel.c. Aeronáutica: Guía para educadores con actividades en ciencia, matemáticas y tecnología (PDF) . NASA. pág. 26 – vía nasa.gov. La superficie curva de la lengua crea una presión de aire desigual y una acción de sustentación. ... La sustentación es causada por el movimiento del aire sobre una superficie curva. d. Anderson, David F. ; Eberhardt, Scott. "La descripción newtoniana de la sustentación de un ala" (PDF) . p. 12. Archivado del original (PDF) el 11-03-2016 – vía integener.com. La viscosidad hace que el aliento siga la superficie curva, la primera ley de Newton dice que hay una fuerza sobre el aire y la tercera ley de Newton dice que hay una fuerza igual y opuesta sobre el papel. La transferencia de momento eleva la tira. La reducción de la presión que actúa sobre la superficie superior del trozo de papel hace que el papel se eleve.

[50] Anderson, David F.; Eberhardt, Scott. Entendiendo el vuelo . pág. 229 – vía Google Books. Las "demostraciones" del principio de Bernoulli suelen presentarse como demostraciones de la física de la sustentación. Si bien son demostraciones de sustentación, no lo son del principio de Bernoulli.

[51] Feil, Max. The Aeronautics File . Archivado del original el 17 de mayo de 2015. Como ejemplo, tomemos el experimento engañoso que se usa con más frecuencia para "demostrar" el principio de Bernoulli. Sostenga un trozo de papel de manera que se curve sobre su dedo y luego sople sobre la parte superior. El papel se elevará. Sin embargo, la mayoría de las personas no se dan cuenta de que el papel no se elevaría si fuera plano, aunque se esté soplando aire sobre él a gran velocidad. El principio de Bernoulli no se aplica directamente en este caso. Esto se debe a que el aire en ambos lados del papel no proviene de la misma fuente. El aire en la parte inferior es aire ambiente de la habitación, pero el aire en la parte superior proviene de su boca, donde en realidad aumentó su velocidad sin disminuir su presión al forzarlo a salir de su boca. Como resultado, el aire en ambos lados del papel plano tiene en realidad la misma presión, aunque el aire en la parte superior se mueve más rápido. La razón por la que un trozo de papel curvado se eleva es que el aire que sale de la boca se acelera aún más al seguir la curva del papel, lo que a su vez reduce la presión, según Bernoulli.

[52] Geurts, Pim. "Algunos experimentos sencillos" . sailtheory.com . Archivado del original el 3 de marzo de 2016. Recuperado el 7 de abril de 2022. Algunas personas soplan sobre una hoja de papel para demostrar que el aire acelerado sobre la hoja produce una presión menor. Su explicación es errónea. La hoja de papel sube porque desvía el aire, por el efecto Coanda, y esa desviación es la causa de la fuerza que levanta la hoja. Para demostrar que están equivocados, utilizo el siguiente experimento: Si la hoja de papel se dobla previamente en la dirección opuesta enrollándola primero, y luego se sopla sobre ella, baja. Esto se debe a que el aire se desvía en la dirección opuesta. La velocidad del aire sigue siendo mayor sobre la hoja, por lo que eso no causa la presión menor.

[53] . Bobrowsky, Matt. "P: ¿Realmente se debe al efecto Bernoulli?" . Ciencia 101 . Asociación Nacional de Enseñanza de las Ciencias. El efecto Bernoulli se invoca comúnmente —y erróneamente— para explicar: :por qué dos globos o pelotas de tenis de mesa suspendidos se mueven uno hacia el otro cuando se sopla aire entre ellos; :por qué el papel se eleva cuando se sopla aire sobre él; :por qué una pelota de béisbol lanzada describe una curva; :por qué una cuchara es atraída hacia una corriente de agua; :por qué una pelota permanece suspendida en un chorro de aire. La noticia es la siguiente: Ninguno de estos fenómenos es resultado del efecto Bernoulli.b. Kamela, Martin (septiembre de 2007). "Pensando en Bernoulli" . The Physics Teacher . 45 (6). Asociación Estadounidense de Profesores de Física: 379–381 . Bibcode : 2007PhTea..45..379K . doi : 10.1119/1.2768700 . Finalmente, volvamos al ejemplo inicial de una bola levitando en un chorro de aire. La explicación ingenua de la estabilidad de la bola en la corriente de aire, "porque la presión en el chorro es menor que la presión en la atmósfera circundante", es claramente incorrecta. La presión estática en el chorro de aire libre es la misma que la presión en la atmósfera circundante...{{cite journal}}: CS1 maint: servicio de archivo obsoleto ( enlace ) c. Smith, Norman F. (noviembre de 1972). "Bernoulli y Newton en mecánica de fluidos". The Physics Teacher . 10 (8): 455. Bibcode : 1972PhTea..10..451S . doi : 10.1119/1.2352317 . El flujo asimétrico (no el teorema de Bernoulli) también explica la sustentación de la pelota de ping-pong o de playa que flota tan misteriosamente en el escape inclinado de la aspiradora...Bauman, Robert P. " El enigma de Bernoulli" (PDF) . introphysics.info . Departamento de Física, Universidad de Alabama en Birmingham. Archivado del original (PDF) el 25 de febrero de 2012. Recuperado el 25 de junio de 2012. El teorema de Bernoulli a menudo se oscurece por demostraciones que involucran fuerzas que no son de Bernoulli. Por ejemplo, una bola puede estar sostenida sobre un chorro ascendente de aire o agua, porque cualquier fluido (el aire y el agua) tiene viscosidad, lo que retarda el deslizamiento de una parte del fluido que se mueve más allá de otra parte del fluido. d. Craig, Gale M. "Principios físicos del vuelo alado" . Recuperado el 31 de marzo de 2016. En una demostración que a veces se describe erróneamente como una demostración de sustentación debido a la reducción de presión en el aire en movimiento o a la reducción de presión debido a la restricción de la trayectoria del flujo, una bola o globo se suspende mediante un chorro de aire. e. Anderson, David F.; Eberhardt, Scott. "La descripción newtoniana de la sustentación de un ala" (PDF) . pág. 12. Archivado del original (PDF) el 11 de marzo de 2016 – vía integener.com. Un segundo ejemplo es el confinamiento de una pelota de ping-pong en el escape vertical de un secador de pelo . Se nos dice que esto es una demostración del principio de Bernoulli. Pero ahora sabemos que el escape no tiene un valor menor de ps. Nuevamente, es la transferencia de momento lo que mantiene la pelota en el flujo de aire. Cuando la pelota se acerca al borde del escape hay un flujo asimétrico alrededor de la pelota, que la empuja lejos del borde del flujo. Lo mismo sucede cuando uno sopla entre dos pelotas de ping-pong que cuelgan de cuerdas. f. "Láminas metálicas delgadas: efecto Coanda" . physics.umd.edu . Centro de conferencias y demostraciones de física, Universidad de Maryland. Archivado del original el 23 de junio de 2012. Recuperado el 23 de octubre de 2012. Esta demostración se explica a menudo incorrectamente utilizando el principio de Bernoulli . Según la explicación INCORRECTA, el flujo de aire es más rápido en la región entre las láminas, creando así una presión menor en comparación con el aire en reposo en el exterior de las láminas. g. "Respuesta n.° 256" . physics.umd.edu . Centro de Clases y Demostraciones de Física, Universidad de Maryland. Archivado del original el 13 de diciembre de 2014. Recuperado el 9 de diciembre de 2014. Aunque el efecto Bernoulli se usa a menudo para explicar esta demostración, y un fabricante vende el material para esta demostración como "bolsas Bernoulli", no se puede explicar mediante el efecto Bernoulli, sino más bien mediante el proceso de arrastre.

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Descripción general

Ecuación de flujo incompresible

Forma simplificada

Flujo potencial inestable

Ecuación de flujo compresible

Flujo compresible en dinámica de fluidos

Flujo compresible en termodinámica

Flujo potencial inestable

Derivaciones

Aplicaciones

conceptos erróneos

Sustentación aerodinámica

demostraciones comunes en el aula

Véase también

Notas

Referencias

Enlaces externos

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