Tasa de liberación de energía (mecánica de fractura)

En el caso de desplazamiento prescrito, la energía de deformación puede expresarse en términos del desplazamiento especificado y la superficie de la grieta.${\displaystyle \Omega (q,s)}$y el cambio en esta energía de deformación solo se ve afectado por el cambio en el área de la superficie de fractura:${\displaystyle \delta \Omega =(\partial \Omega /\partial s)\delta s}$. Correspondientemente, la tasa de liberación de energía en este caso se expresa como ^{[ 3 ]}

${\displaystyle G=-\left.{\frac {\partial \Omega }{\partial s}}\right|_{q}.}$

Aquí es donde uno puede referirse con precisión a${\displaystyle G}$como la tasa de liberación de energía de deformación.

Cuando se prescribe la carga en lugar del desplazamiento, la energía de deformación debe modificarse como${\displaystyle \Omega (q(P,s),s)}$. La tasa de liberación de energía se calcula entonces como ^{[ 3 ]}

${\displaystyle G=-\left.{\frac {\partial }{\partial s}}\right|_{P}\left(\Omega -Pq\right).}$

Si el material es elástico lineal, entonces${\displaystyle \Omega =Pq/2}$y uno puede escribir en su lugar

${\displaystyle G=\left.{\frac {\partial \Omega }{\partial s}}\right|_{P}.}$

En el caso de problemas bidimensionales, el cambio en el área de crecimiento de la grieta es simplemente el cambio en la longitud de la grieta multiplicado por el espesor de la muestra. Es decir,${\displaystyle \partial s=B\partial a}$Por lo tanto, la ecuación para calcular${\displaystyle G}$puede modificarse para el caso 2D:

• Desplazamiento prescrito:${\displaystyle G=-\left.{\frac {1}{B}}{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}\right|_{q}.}$
• Carga prescrita:${\displaystyle G=-\left.{\frac {1}{B}}{\frac {\partial }{\partial a}}\right|_{P}\left(\Omega -Pq\right).}$
• Carga prescrita, elástica lineal:${\displaystyle G=\left.{\frac {1}{B}}{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}\right|_{P}.}$

Para obtener más información, puede consultar los ejemplos de cálculos incluidos en la siguiente sección. A veces, la energía de deformación se escribe utilizando${\displaystyle U=\Omega /B}$, una energía por unidad de espesor. Esto da

• Desplazamiento prescrito:${\displaystyle G=-\left.{\frac {\partial U}{\partial a}}\right|_{q}.}$
• Carga prescrita:${\displaystyle G=-\left.{\frac {\partial }{\partial a}}\right|_{P}\left(U-{\frac {Pq}{B}}\right).}$
• Carga prescrita, elástica lineal:${\displaystyle G=\left.{\frac {\partial U}{\partial a}}\right|_{P}.}$

La tasa de liberación de energía está directamente relacionada con el factor de intensidad de tensión asociado con un modo de carga bidimensional dado ( Modo-I, Modo-II o Modo-III ) cuando la grieta crece en línea recta. ^{[ 3 ]} Esto es aplicable a grietas bajo tensión plana , deformación plana y cizallamiento antiplano .

Para el Modo I, la tasa de liberación de energía${\displaystyle G}$La tasa está relacionada con el factor de intensidad de tensión del Modo I.${\displaystyle K_{I}}$para un material linealmente elástico por

${\displaystyle G={\frac {K_{I}^{2}}{E'}},}$

dónde${\displaystyle E'}$está relacionado con el módulo de Young${\displaystyle E}$y la relación de Poisson${\displaystyle \nu }$dependiendo de si el material está bajo tensión plana o deformación plana:

${\displaystyle E'={\begin{cases}E,&\mathrm {plane~stress} ,\\\\{\dfrac {E}{1-\nu ^{2}}},&\mathrm {plane~strain} .\end{cases}}}$

Para el Modo II, la tasa de liberación de energía se escribe de manera similar como

${\displaystyle G={\frac {K_{II}^{2}}{E'}}.}$

Para el Modo III (cizallamiento antiplano), la tasa de liberación de energía ahora es una función del módulo de cizallamiento.${\displaystyle \mu }$,

${\displaystyle G={\frac {K_{III}^{2}}{2\mu }}.}$

Para una combinación arbitraria de todos los modos de carga, estas soluciones elásticas lineales pueden superponerse como

${\displaystyle G={\frac {K_{I}^{2}}{E'}}+{\frac {K_{II}^{2}}{E'}}+{\frac {K_{III}^{2}}{2\mu }}.}$

El único método para calcular${\displaystyle G}$Para condiciones arbitrarias, se trata de calcular la energía potencial total y derivarla con respecto al área de la superficie de la grieta. Esto se suele hacer de la siguiente manera:

• calcular el campo de tensiones resultante de la carga,
• calcular la energía de deformación en el material resultante del campo de tensión,
• calcular el trabajo realizado por las cargas externas,

todo ello en términos de la superficie de la grieta.

Si el material es elástico lineal, el cálculo de su tasa de liberación de energía se puede simplificar mucho. En este caso, la curva Carga vs. Desplazamiento del punto de carga es lineal con una pendiente positiva, y el desplazamiento por unidad de fuerza aplicada se define como la compliancia,${\displaystyle C}$^{[ 3 ]}

${\displaystyle C={\frac {q}{P}}.}$

La energía de deformación correspondiente${\displaystyle \Omega }$(área bajo la curva) es igual a ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{2}}Pq={\frac {1}{2}}{\frac {q^{2}}{C}}={\frac {1}{2}}P^{2}C.}$

Utilizando el método de cumplimiento, se puede demostrar que la tasa de liberación de energía para ambos casos de carga y desplazamiento prescritos resulta ser ^{[ 3 ].}

${\displaystyle G={\frac {1}{2}}P^{2}{\frac {\partial C}{\partial s}}.}$

En el caso de desplazamiento prescrito, manteniendo fija la longitud de la grieta, la tasa de liberación de energía se puede calcular mediante ^{[ 3 ].}

${\displaystyle G=-\int _{0}^{q}{\frac {\partial P}{\partial s}}\,dq,}$

mientras que en el caso de carga prescrita, ^{[ 3 ]}

${\displaystyle G=\int _{0}^{P}{\frac {\partial q}{\partial s}}\,dP.}$

Como se puede observar, en ambos casos, la tasa de liberación de energía${\displaystyle G}$veces el cambio en la superficie${\displaystyle ds}$devuelve el área entre las curvas, que indica la energía disipada para la nueva área de superficie como se ilustra en la figura de la derecha ^{[ 3 ].}

${\displaystyle Gds=-ds\int _{0}^{q}{\frac {\partial P}{\partial s}}\,dq=ds\int _{0}^{P}{\frac {\partial q}{\partial s}}\,dP.}$

Dado que la tasa de liberación de energía se define como la derivada negativa de la energía potencial total con respecto al crecimiento de la superficie de la grieta, la tasa de liberación de energía puede escribirse como la diferencia entre la energía potencial antes y después del crecimiento de la grieta. Tras una derivación cuidadosa, esto conduce a la integral de cierre de grieta ^{[ 3 ].}

${\displaystyle G=\lim _{\Delta s\to 0}-{\frac {1}{\Delta s}}\int _{\Delta s}{\frac {1}{2}}\,t_{i}^{0}\left(\Delta u_{i}^{+}-\Delta u_{i}^{-}\right)\,dS,}$

dónde${\displaystyle \Delta s}$es la nueva área de superficie de fractura,${\displaystyle t_{i}^{0}}$son los componentes de la tracción liberada en la superficie superior de la fractura a medida que crece la grieta,${\displaystyle \Delta u_{i}^{+}-\Delta u_{i}^{-}}$son los componentes del desplazamiento de apertura de la grieta (la diferencia en los incrementos de desplazamiento entre las superficies superior e inferior de la grieta), y la integral se realiza sobre la superficie del material.${\displaystyle S}$.

La integral de cierre de grietas es válida solo para materiales elásticos, pero sigue siendo válida para grietas que crecen en cualquier dirección. Sin embargo, para una grieta bidimensional que crece en línea recta, la integral de cierre de grietas se simplifica a ^{[ 3 ].}

${\displaystyle G=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{0}^{\Delta a}\sigma _{i2}(x_{1},0)u_{i}(\Delta a-x_{1},\pi )\,dx_{1},}$

dónde${\displaystyle \Delta a}$es la nueva longitud de la grieta, y los componentes del desplazamiento se escriben como una función de las coordenadas polares${\displaystyle r=\Delta a-x_{1}}$y${\displaystyle \theta =\pi }$.

En ciertas situaciones, la tasa de liberación de energía${\displaystyle G}$se puede calcular utilizando la integral J , es decir${\displaystyle G=J}$, usando ^{[ 3 ]}

${\displaystyle J=\int _{\Gamma }\left(Wn_{1}-t_{i}\,{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{1}}}\right)\,d\Gamma ,}$

dónde${\displaystyle W}$es la densidad de energía de deformación elástica,${\displaystyle n_{1}}$es el${\displaystyle x_{1}}$componente del vector unitario normal a${\displaystyle \Gamma }$, la curva utilizada para la integral de línea,${\displaystyle t_{i}}$son los componentes del vector de tracción${\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} }$, dónde${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$es el tensor de tensiones, y${\displaystyle u_{i}}$son los componentes del vector de desplazamiento.

Esta integral es cero sobre una trayectoria cerrada simple y es independiente de la trayectoria , lo que permite utilizar cualquier trayectoria simple que comience y termine en las caras de la grieta para calcular${\displaystyle J}$. Para igualar la tasa de liberación de energía a la integral J,${\displaystyle G=J}$Se deben cumplir las siguientes condiciones:

• La grieta debe estar creciendo en línea recta hacia adelante, y
• la deformación cerca de la grieta (encerrada por${\displaystyle \Gamma }$) debe ser elástico (no plástico).

La integral J puede calcularse violando estas condiciones, pero entonces${\displaystyle G\neq J}$. Cuando no se violan, se puede relacionar la tasa de liberación de energía y la integral J con los módulos elásticos y los factores de intensidad de tensión utilizando ^{[ 3 ].}

${\displaystyle G=J={\frac {K_{I}^{2}}{E'}}+{\frac {K_{II}^{2}}{E'}}+{\frac {K_{III}^{2}}{2\mu }}.}$

Si la grieta crece en línea recta, la tasa de liberación de energía se puede descomponer como una suma de 3 términos.${\displaystyle G_{i}}$asociado con la energía en cada uno de los 3 modos. Como resultado, el método de liberación nodal (NR) se puede utilizar para determinar${\displaystyle G_{i}}$a partir de los resultados del análisis de elementos finitos. La tasa de liberación de energía se calcula en los nodos de la malla de elementos finitos para la grieta en una longitud inicial y extendida por una pequeña distancia.${\displaystyle \Delta a}$Primero, calculamos la variación del desplazamiento en el nodo de interés.${\displaystyle \Delta {\vec {u}}={\vec {u}}^{(t+1)}-{\vec {u}}^{(t)}}$(antes y después de que se libere el nodo de la punta de la grieta). En segundo lugar, hacemos un seguimiento de la fuerza nodal.${\displaystyle {\vec {F}}}$generado por FEA. Finalmente, podemos encontrar cada uno de los componentes de${\displaystyle G}$utilizando las siguientes fórmulas:

$${\displaystyle G_{1}^{\text{NR}}={\frac {1}{\Delta a}}F_{2}{\frac {\Delta u_{2}}{2}}}$$$${\displaystyle G_{2}^{\text{NR}}={\frac {1}{\Delta a}}F_{1}{\frac {\Delta u_{1}}{2}}}$$$${\displaystyle G_{3}^{\text{NR}}={\frac {1}{\Delta a}}F_{3}{\frac {\Delta u_{3}}{2}}}$$Dónde${\displaystyle \Delta a}$es el ancho del elemento que delimita la punta de la grieta. La precisión del método depende en gran medida del refinamiento de la malla, tanto porque el desplazamiento y las fuerzas dependen de él, como porque${\displaystyle G=\lim _{\Delta a\to 0}G^{\text{NR}}}$. Nótese que las ecuaciones anteriores se derivan utilizando la integral de cierre de grieta.

Si la tasa de liberación de energía supera un valor crítico, la grieta crecerá. En este caso, se realiza una nueva simulación FEA (para el siguiente paso de tiempo) donde se libera el nodo en la punta de la grieta. Para un sustrato limitado, podemos simplemente dejar de aplicar condiciones de contorno de Dirichlet fijas en el nodo de la punta de la grieta del paso de tiempo anterior (es decir, los desplazamientos ya no están restringidos). Para una grieta simétrica, necesitaríamos actualizar la geometría del dominio con una apertura de grieta mayor (y por lo tanto generar una nueva malla ^{[ 5 ]} ).

De forma similar al método de liberación nodal, el método integral de cierre de grietas modificado (MCCI) es un método para calcular la tasa de liberación de energía utilizando los desplazamientos nodales del análisis de elementos finitos (FEA).${\displaystyle (u_{i}^{j})}$y fuerzas${\displaystyle (F_{i}^{j})}$. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Donde${\displaystyle i}$representa la dirección correspondiente a los vectores base cartesianos con origen en la punta de la grieta, y${\displaystyle j}$representa el índice nodal. MCCI es computacionalmente más eficiente que el método de liberación nodal porque solo requiere un análisis por cada incremento de crecimiento de grieta.

Una condición necesaria para el método MCCI es la longitud uniforme del elemento.${\displaystyle (\Delta a)}$a lo largo de la cara de la grieta en el${\displaystyle x_{1}}$-dirección. Además, este método requiere una discretización suficiente de modo que, a lo largo de la longitud de un elemento, los campos de tensión sean autosimilares . Esto implica que${\displaystyle K(a+\Delta a)\approx K(a)}$a medida que la grieta se propaga. A continuación se muestran ejemplos del método MCCI con dos tipos de elementos finitos comunes.

elementos de 4 nodos

Los elementos lineales cuadrados de 4 nodos que se ven en la Figura 2 tienen una distancia entre nodos.${\displaystyle j}$y${\displaystyle j+1}$igual a${\displaystyle \Delta a.}$Consideremos una grieta con su punta ubicada en el nodo.${\displaystyle j.}$De forma similar al método de liberación nodal, si la grieta se propagara a lo largo de la longitud de un elemento a lo largo de la línea de simetría (paralela a la${\displaystyle x_{1}}$-eje) el desplazamiento de apertura de la grieta sería el desplazamiento en la punta de la grieta anterior, es decir${\displaystyle {\boldsymbol {u^{j}}}}$y la fuerza en la punta de la nueva grieta${\displaystyle (j+1)}$sería${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{j+1}.}$Dado que se supone que el crecimiento de la grieta es autosimilar, el desplazamiento en el nodo${\displaystyle j}$después de que la grieta se propaga es igual al desplazamiento en el nodo${\displaystyle j-1}$antes de que la grieta se propague. Este mismo concepto se puede aplicar a las fuerzas en el nodo.${\displaystyle j+1}$y${\displaystyle j.}$Utilizando el mismo método que se muestra en la sección de liberación nodal, recuperamos las siguientes ecuaciones para la tasa de liberación de energía:

${\displaystyle G_{1}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}F_{2}^{j}{\Delta u_{2}^{j-1}}}$

${\displaystyle G_{2}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}F_{1}^{j}{\Delta u_{1}^{j-1}}}$

${\displaystyle G_{3}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}F_{3}^{j}{\Delta u_{3}^{j-1}}}$

Dónde${\displaystyle \Delta u_{i}^{j-1}=u_{i}^{(+)j-1}-u_{i}^{(-)j-1}}$(desplazamiento por encima y por debajo de la cara de la grieta, respectivamente). Debido a que tenemos una línea de simetría paralela a la grieta, podemos asumir${\displaystyle u_{i}^{(+)j-1}=-u_{i}^{(-)j-1}.}$

De este modo,${\displaystyle \Delta u_{i}^{j-1}=2u_{i}^{(+)j-1}.}$

elementos de 8 nodos

Los elementos rectangulares de 8 nodos que se ven en la Figura 3 tienen funciones base cuadráticas . El proceso para calcular G es el mismo que para los elementos de 4 nodos, con la excepción de que${\displaystyle \Delta a}$(el crecimiento de la grieta sobre un elemento) ahora es la distancia desde el nodo${\displaystyle j}$a${\displaystyle j+2.}$Una vez más, asumiendo un crecimiento de grietas rectas autosimilares, la tasa de liberación de energía se puede calcular utilizando las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle G_{1}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}\left(F_{2}^{j}{\Delta u_{2}^{j-2}}+F_{2}^{j+1}{\Delta u_{2}^{j-1}}\right)}$

${\displaystyle G_{2}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}\left(F_{1}^{j}{\Delta u_{1}^{j-2}}+F_{1}^{j+1}{\Delta u_{1}^{j-1}}\right)}$

${\displaystyle G_{3}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}\left(F_{3}^{j}{\Delta u_{3}^{j-2}}+F_{3}^{j+1}{\Delta u_{3}^{j-1}}\right)}$

Al igual que con el método de liberación nodal, la precisión de MCCI depende en gran medida del nivel de discretización a lo largo de la punta de la grieta, es decir${\displaystyle G=\lim _{\Delta a\to 0}G^{\text{MCCI}}.}$La precisión también depende de la elección de los elementos. Una malla de elementos cuadráticos de 8 nodos puede producir resultados más precisos que una malla de elementos lineales de 4 nodos con el mismo número de grados de libertad ^{[ 8 ]} en la malla.

La integral J se puede calcular directamente utilizando la malla de elementos finitos y las funciones de forma. ^{[ 9 ]} Consideramos un contorno de dominio como se muestra en la figura 4 y elegimos una función suave arbitraria.${\displaystyle {\tilde {q}}(x_{1},x_{2})=\sum _{i}N_{i}(x_{1},x_{2}){\tilde {q}}_{i}}$de tal manera que${\displaystyle {\tilde {q}}=1}$en ${\displaystyle \Gamma }$y ${\displaystyle {\tilde {q}}=0}$en ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$.

Para grietas elásticas lineales que crecen en línea recta,${\displaystyle G=J}$La tasa de liberación de energía se puede calcular entonces sobre el área delimitada por el contorno utilizando una formulación actualizada: ${\displaystyle J=\int _{\mathcal {A}}(\sigma _{ij}u_{i,1}{\tilde {q}}_{,j}-W{\tilde {q}}_{,1})d{\mathcal {A}}}$

La fórmula anterior puede aplicarse a cualquier área anular que rodee la punta de la grieta (en particular, se puede utilizar un conjunto de elementos vecinos). Este método es muy preciso, incluso con una malla gruesa alrededor de la punta de la grieta (se puede elegir un dominio de integración alejado, donde las tensiones y los desplazamientos sean menos sensibles al refinamiento de la malla).

Los métodos mencionados anteriormente para calcular la tasa de liberación de energía se aproximan asintóticamente a la solución real con una discretización mayor, pero no logran capturar completamente la singularidad de la punta de la grieta. Se pueden realizar simulaciones más precisas utilizando elementos de cuarto de punto alrededor de la punta de la grieta. ^{[ 10 ]} Estos elementos tienen una singularidad incorporada que produce campos de tensión más precisos alrededor de la punta de la grieta. La ventaja del método de cuarto de punto es que permite mallas de elementos finitos más gruesas y reduce considerablemente el costo computacional. Además, estos elementos se derivan de pequeñas modificaciones a elementos finitos comunes sin requerir programas computacionales especiales para el análisis. Para los fines de esta sección, se examinarán materiales elásticos, aunque este método se puede extender a la mecánica de fractura elastoplástica . [ ^{11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] Suponiendo} elasticidad perfecta, los campos de tensión experimentarán una${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$singularidad de la punta de la grieta.

elemento isoparamétrico de 8 nodos

El elemento cuadrático de 8 nodos se describe en la Figura 5 tanto en el espacio padre como en coordenadas locales.${\displaystyle \xi }$y${\displaystyle \eta ,}$y por el elemento mapeado en el espacio físico/global por${\displaystyle x}$y${\displaystyle y.}$El elemento padre se mapea del espacio local al espacio físico mediante las funciones de forma.${\displaystyle N_{i}(\xi ,\eta )}$y las coordenadas de los grados de libertad${\displaystyle (x_{i},y_{i}).}$La punta de la grieta se encuentra en${\displaystyle \xi =-1,\eta =-1}$o ${\displaystyle x=0,y=0.}$

${\displaystyle x(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi ,\eta )x_{i}}$

${\displaystyle y(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi ,\eta )y_{i}}$

De manera similar, los desplazamientos (definidos como${\displaystyle u\equiv u_{1},v\equiv u_{2}}$) también se puede mapear.

${\displaystyle u(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi ,\eta )u_{i}}$

${\displaystyle v(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi ,\eta )v_{i}}$

Una propiedad de las funciones de forma en el método de elementos finitos es el soporte compacto , específicamente la propiedad delta de Kronecker (es decir,${\displaystyle N_{i}=1}$en el nodo${\displaystyle i}$y cero en todos los demás nodos). Esto da como resultado las siguientes funciones de forma para los elementos cuadráticos de 8 nodos: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle N_{1}={\frac {-(\xi -1)(\eta -1)(1+\eta +\xi )}{4}}}$

${\displaystyle N_{2}={\frac {(\xi +1)(\eta -1)(1+\eta -\xi )}{4}}}$

${\displaystyle N_{3}={\frac {(\xi +1)(\eta +1)(-1+\eta +\xi )}{4}}}$

${\displaystyle N_{4}={\frac {-(\xi -1)(\eta +1)(-1+\eta -\xi )}{4}}}$

${\displaystyle N_{5}={\frac {(1-\xi ^{2})(1-\eta )}{2}}}$

${\displaystyle N_{6}={\frac {(1+\xi )(1-\eta ^{2})}{2}}}$

${\displaystyle N_{7}={\frac {(1-\xi ^{2})(1+\eta )}{2}}}$

${\displaystyle N_{8}={\frac {(1-\xi )(1-\eta ^{2})}{2}}}$

Al considerar una línea frente a la grieta que es colineal con la${\displaystyle x}$- eje (es decir,${\displaystyle N_{i}(\xi ,\eta =-1)}$) todas las funciones base son cero excepto${\displaystyle N_{1,2,5}.}$

${\displaystyle N_{1}(\xi ,-1)=-{\frac {\xi (1-\xi )}{2}}}$

${\displaystyle N_{2}(\xi ,-1)={\frac {\xi (1+\xi )}{2}}}$

${\displaystyle N_{5}(\xi ,-1)=(1-\xi ^{2})}$

El cálculo de la deformación normal implica utilizar la regla de la cadena para tomar la derivada del desplazamiento con respecto a${\displaystyle x.}$

${\displaystyle \gamma _{xx}={\frac {\partial u}{\partial x}}=\sum _{i=1,2,5}{\frac {\partial N_{i}}{\partial \xi }}{\frac {\partial \xi }{\partial x}}u_{i}}$

Si los nodos están espaciados uniformemente en el elemento rectangular, la deformación no contendrá la singularidad. Al mover las posiciones de los nodos 5 y 8 a un cuarto de la longitud ${\displaystyle ({\tfrac {L}{4}})}$del elemento más cercano a la punta de la grieta como se ve en la figura 5, el mapeo de${\displaystyle \xi \rightarrow x}$se convierte en:

${\displaystyle x(\xi )={\frac {\xi (1+\xi )}{2}}L+(1-\xi ^{2}){\frac {L}{4}}}$

Resolver para${\displaystyle \xi }$y al tomar la derivada se obtiene:

${\displaystyle \xi (x)=-1+2{\sqrt {\frac {x}{L}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \xi }{\partial x}}={\frac {1}{\sqrt {xL}}}}$

Sustituyendo este resultado en la ecuación de deformación, se obtiene el resultado final:

${\displaystyle \gamma _{xx}={\frac {4}{L}}\left({\frac {u_{2}}{2}}-u_{5}\right)+{\frac {1}{\sqrt {xL}}}\left(2u_{5}-{\frac {u_{2}}{5}}\right)}$

Al mover los nodos medios a una posición de cuarto se obtiene el resultado correcto.${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$singularidad de la punta de la grieta.

Otros tipos de elementos

El método de elementos rectangulares no permite mallar fácilmente elementos singulares alrededor de la punta de la grieta. Esto impide la capacidad de capturar la dependencia angular de los campos de tensión, que es fundamental para determinar la trayectoria de la grieta. Además, excepto a lo largo de los bordes del elemento, ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$La singularidad existe en una región muy pequeña cerca de la punta de la grieta. La figura 6 muestra otro método de cuarto de punto para modelar esta singularidad. El elemento rectangular de 8 nodos se puede mapear en un triángulo. ^{[ 15 ]} Esto se hace colapsando los nodos en la línea${\displaystyle \xi =-1}$a la ubicación del nodo medio y desplazando los nodos medios en${\displaystyle \eta =\pm 1}$hasta la ubicación del punto medio. El rectángulo colapsado puede rodear más fácilmente la punta de la grieta, pero requiere que los bordes del elemento sean rectos, de lo contrario se reducirá la precisión del cálculo del factor de intensidad de tensión.

Un mejor candidato para el método del cuarto de punto es el triángulo natural, como se muestra en la Figura 7. La geometría del elemento permite rodear fácilmente la punta de la grieta y simplifica el mallado. Siguiendo el mismo procedimiento descrito anteriormente, el campo de desplazamiento y deformación para los elementos triangulares es:

${\displaystyle u=u_{3}+{\sqrt {\frac {x}{L}}}\left[4u_{6}-3u_{3}-u_{1}\right]+{\frac {x}{L}}\left[2u_{1}+2u_{3}-4u_{6}\right]}$

${\displaystyle \gamma _{xx}={\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {1}{\sqrt {xL}}}\left[-{\frac {u_{1}}{2}}-{\frac {3u_{3}}{2}}+2u_{6}\right]+{\frac {1}{L}}\left[2u_{1}+2u_{3}-4u_{6}\right]}$

Este método reproduce los dos primeros términos de las soluciones de Williams ^{[ 16 ]} con un término constante y singular.

Una ventaja del método del cuarto de punto es que se puede generalizar fácilmente a modelos tridimensionales. Esto puede reducir considerablemente el cálculo en comparación con otros métodos tridimensionales, pero puede generar errores si la punta de la grieta se propaga con un alto grado de curvatura. ^{[ 17 ]}