Formalismo estabilizador asistido por entrelazamiento

En la teoría de la comunicación cuántica , el formalismo del estabilizador asistido por entrelazamiento es un método para proteger la información cuántica con la ayuda del entrelazamiento compartido entre un emisor y un receptor antes de que transmitan datos cuánticos a través de un canal de comunicación cuántica. Extiende el formalismo del estabilizador estándar al incluir el entrelazamiento compartido (Brun et al. 2006). La ventaja de los códigos estabilizadores asistidos por entrelazamiento es que el emisor puede explotar las propiedades de corrección de errores de un conjunto arbitrario de operadores de Pauli . Los operadores de Pauli del emisor no necesariamente tienen que formar un subgrupo abeliano del grupo de Pauli.${\displaystyle \Pi ^{n}}$encima${\displaystyle n}$cúbits . El emisor puede hacer un uso inteligente de sus ebits compartidos para que el estabilizador global sea abeliano y, por lo tanto, forme un código de corrección de errores cuánticos válido .

Revisamos la construcción de un código asistido por entrelazamiento (Brun et al. 2006). Supongamos que existe un subgrupo no abeliano.${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset \Pi ^{n}}$de tamaño${\displaystyle nk=2c+s}$La aplicación del teorema fundamental de la geometría simpléctica (Lema 1 en la primera referencia externa) establece que existe un conjunto mínimo de generadores independientes. ${\displaystyle \left\{{\bar {Z}}_{1},\ldots ,{\bar {Z}}_{s+c},{\bar {X}}_{s+1},\ldots ,{\bar {X}}_{s+c}\right\}}$ para${\displaystyle {\mathcal {S}}}$con las siguientes relaciones de conmutación :

${\displaystyle \left[{\bar {Z}}_{i},{\bar {Z}}_{j}\right]=0\ \ \ \ \ \forall i,j,}$

${\displaystyle \left[{\bar {X}}_{i},{\bar {X}}_{j}\right]=0\ \ \ \ \ \forall i,j,}$

${\displaystyle \left[{\bar {X}}_{i},{\bar {Z}}_{j}\right]=0\ \ \ \ \ \forall i\neq j,}$

${\displaystyle \left\{{\bar {X}}_{i},{\bar {Z}}_{i}\right\}=0\ \ \ \ \ \forall i.}$

La descomposición de${\displaystyle {\mathcal {S}}}$en el conjunto generador mínimo anterior determina que el código requiere${\displaystyle s}$cúbits auxiliares y${\displaystyle c}$ebits . El código requiere un ebit para cada par anticommutante en el conjunto generador mínimo. La razón simple de este requisito es que un ebit es un simultáneo ${\displaystyle +1}$- autoestado de los operadores de Pauli${\displaystyle \left\{XX,ZZ\right\}}$El segundo cúbit en el ebit transforma el par anticonmutativo${\displaystyle \left\{X,Z\right\}}$en una pareja que viaja diariamente${\displaystyle \left\{XX,ZZ\right\}}$La descomposición anterior también minimiza la cantidad de ebits necesarios para el código; es una descomposición óptima.

Podemos dividir el grupo no abeliano.${\displaystyle {\mathcal {S}}}$en dos subgrupos : el subgrupo isotrópico${\displaystyle {\mathcal {S}}_{I}}$y el subgrupo de entrelazamiento ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{E}}$. El subgrupo isotrópico${\displaystyle {\mathcal {S}}_{I}}$es un subgrupo de viajeros${\displaystyle {\mathcal {S}}}$y por lo tanto corresponde a los cúbits auxiliares:

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{I}=\left\{{\bar {Z}}_{1},\ldots ,{\bar {Z}}_{s}\right\}}$.

Los elementos del subgrupo de entrelazamiento${\displaystyle {\mathcal {S}}_{E}}$vienen en pares anticommutativos y, por lo tanto, corresponden a ebits :

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{E}=\left\{{\bar {Z}}_{s+1},\ldots ,{\bar {Z}}_{s+c},{\bar {X}}_{s+1},\ldots ,{\bar {X}}_{s+c}\right\}}$.

Los dos subgrupos${\displaystyle {\mathcal {S}}_{I}}$y${\displaystyle {\mathcal {S}}_{E}}$desempeñan un papel en las condiciones de corrección de errores para el formalismo del estabilizador asistido por entrelazamiento. Un código asistido por entrelazamiento corrige errores en un conjunto ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset \Pi ^{n}}$si para todos${\displaystyle E_{1},E_{2}\in {\mathcal {E}}}$,

${\displaystyle E_{1}^{\dagger }E_{2}\in {\mathcal {S}}_{I}\cup \left(\Pi ^{n}-{\mathcal {Z}}\left(\left\langle {\mathcal {S}}_{I},{\mathcal {S}}_{E}\right\rangle \right)\right).}$

El funcionamiento de un código asistido por entrelazamiento es el siguiente. El emisor realiza una codificación unitaria sobre sus cúbits no protegidos, cúbits auxiliares y la mitad de sus ebits . El estado no codificado es un autoestado simultáneo +1 de los siguientes operadores de Pauli :

${\displaystyle \left\{Z_{1},\ldots ,Z_{s},Z_{s+1}|Z_{1},\ldots ,Z_{s+c}|Z_{c},X_{s+1}|X_{1},\ldots ,X_{s+c}|X_{c}\right\}.}$

Los operadores de Pauli a la derecha de las barras verticales indican la mitad de los ebits compartidos que le corresponde al receptor . La codificación unitaria transforma los operadores de Pauli sin codificar en los siguientes operadores de Pauli codificados :

${\displaystyle \left\{{\bar {Z}}_{1},\ldots ,{\bar {Z}}_{s},{\bar {Z}}_{s+1}|Z_{1},\ldots ,{\bar {Z}}_{s+c}|Z_{c},{\bar {X}}_{s+1}|X_{1},\ldots ,{\bar {X}}_{s+c}|X_{c}\right\}.}$

El emisor transmite todos sus cúbits a través del canal cuántico ruidoso . El receptor recibe los cúbits transmitidos y su mitad de los ebits . Analiza los operadores codificados para diagnosticar el error. El último paso consiste en corregirlo.

Podemos interpretar la tasa de un código asistido por entrelazamiento de tres maneras diferentes (Wilde y Brun 2007b). Supongamos que un código cuántico asistido por entrelazamiento codifica${\displaystyle k}$cúbits de información en${\displaystyle n}$cúbits físicos con la ayuda de${\displaystyle c}$ebits.

• La tasa asistida por entrelazamiento supone que el entrelazamiento compartido entre emisor y receptor es libre. Bennett et al. hacen esta suposición al derivar la capacidad asistida por entrelazamiento de un canal cuántico para enviar información cuántica. La tasa asistida por entrelazamiento es${\displaystyle k/n}$para un código con los parámetros anteriores.
• La tasa de compensación supone que el entrelazamiento no es gratuito y un par de tasas determina el rendimiento. El primer número del par es el número de cúbits sin ruido generados por uso del canal, y el segundo número del par es el número de ebits consumidos por uso del canal. El par de tasas es${\displaystyle \left(k/n,c/n\right)}$para un código con los parámetros anteriores. Los teóricos de la información cuántica han calculado curvas de compensación asintóticas que delimitan la región de tasas en la que se encuentran los pares de tasas alcanzables. La construcción para un código de bloque cuántico asistido por entrelazamiento minimiza el número${\displaystyle c}$de ebits dado un número fijo${\displaystyle k}$y${\displaystyle n}$de los respectivos cúbits de información y cúbits físicos.
• La tasa catalítica supone que los bits de entrelazamiento se acumulan a expensas de los cúbits transmitidos. Un canal cuántico sin ruido o el uso codificado de un canal cuántico ruidoso son dos formas diferentes de acumular entrelazamiento entre un emisor y un receptor. La tasa catalítica de un${\displaystyle \left[n,k;c\right]}$El código es${\displaystyle \left(k-c\right)/n}$.

La interpretación más razonable depende del contexto en el que usemos el código. En cualquier caso, los parámetros${\displaystyle n}$,${\displaystyle k}$, y${\displaystyle c}$En última instancia, rigen el desempeño, independientemente de la definición de la tasa que utilicemos para interpretar dicho desempeño.

Presentamos un ejemplo de un código asistido por entrelazamiento que corrige un error arbitrario de un solo qubit (Brun et al. 2006). Supongamos que el emisor quiere utilizar las propiedades de corrección de errores cuánticos del siguiente subgrupo no abeliano de${\displaystyle \Pi ^{4}}$:

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}Z&X&Z&I\\Z&Z&I&Z\\X&Y&X&I\\X&X&I&X\end{array}}}$

Los dos primeros generadores son anticommutativos. Obtenemos un tercer generador modificado multiplicando el tercer generador por el segundo. Luego multiplicamos el último generador por el primero, el segundo y el tercero modificado. Las propiedades de corrección de errores de los generadores son invariantes bajo estas operaciones. Los generadores modificados son los siguientes:

${\displaystyle {\begin{array}{cccccc}g_{1}&=&Z&X&Z&I\\g_{2}&=&Z&Z&I&Z\\g_{3}&=&Y&X&X&Z\\g_{4}&=&Z&Y&Y&X\end{array}}}$

El conjunto de generadores anterior tiene las relaciones de conmutación dadas por el teorema fundamental de la geometría simpléctica:

${\displaystyle \left\{g_{1},g_{2}\right\}=\left[g_{1},g_{3}\right]=\left[g_{1},g_{4}\right]=\left[g_{2},g_{3}\right]=\left[g_{2},g_{4}\right]=\left[g_{3},g_{4}\right]=0.}$

El conjunto de generadores anterior es unitariamente equivalente a los siguientes generadores canónicos:

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}X&I&I&I\\Z&I&I&I\\I&Z&I&I\\I&I&Z&I\end{array}}}$

Podemos añadir un ebit para resolver la anticonmutatividad de los dos primeros generadores y obtener el estabilizador canónico:

${\displaystyle {\begin{array}{c}X\\Z\\I\\I\end{array}}\left\vert {\begin{array}{cccc}X&I&I&I\\Z&I&I&I\\I&Z&I&I\\I&I&Z&I\end{array}}\right.}$

El receptor Bob posee el cúbit de la izquierda y la emisora ​​Alice posee los cuatro cúbits de la derecha. El siguiente estado es un autoestado del estabilizador anterior.

${\displaystyle \left\vert \Phi ^{+}\right\rangle ^{BA}\left\vert 00\right\rangle ^{A}\left\vert \psi \right\rangle ^{A}.}$

dónde${\displaystyle \left\vert \psi \right\rangle ^{A}}$es un cúbit que el emisor desea codificar. La unidad de codificación luego rota el estabilizador canónico al siguiente conjunto de generadores que conmutan globalmente:

${\displaystyle {\begin{array}{c}X\\Z\\I\\I\end{array}}\left\vert {\begin{array}{cccc}Z&X&Z&I\\Z&Z&I&Z\\Y&X&X&Z\\Z&Y&Y&X\end{array}}\right.}$

El receptor mide los generadores mencionados anteriormente al recibir todos los cúbits para detectar y corregir errores.

Continuamos con el ejemplo anterior. Detallamos un algoritmo para determinar un circuito de codificación y el número óptimo de ebits para el código asistido por entrelazamiento; este algoritmo apareció por primera vez en el apéndice de (Wilde y Brun 2007a) y posteriormente en el apéndice de (Shaw et al. 2008). Los operadores del ejemplo anterior tienen la siguiente representación como una matriz binaria (véase el artículo sobre el código estabilizador ):

${\displaystyle H=\left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&1&0\\1&1&0&1\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\0&0&0&0\\1&1&1&0\\1&1&0&1\end{array}}\right].}$

Llama a la matriz que está a la izquierda de la barra vertical "${\displaystyle Z}$ matriz" y la matriz a la derecha de la barra vertical "${\displaystyle X}$matriz."

El algoritmo consiste en operaciones de filas y columnas sobre la matriz anterior. Las operaciones de filas no afectan las propiedades de corrección de errores del código, pero son cruciales para llegar a la descomposición óptima a partir del teorema fundamental de la geometría simpléctica. Las operaciones disponibles para manipular las columnas de la matriz anterior son operaciones de Clifford. Las operaciones de Clifford preservan el grupo de Pauli.${\displaystyle \Pi ^{n}}$bajo conjugación. La puerta CNOT, la puerta Hadamard y la puerta Phase generan el grupo Clifford. Una puerta CNOT de qubit${\displaystyle i}$al cúbit${\displaystyle j}$agrega columna${\displaystyle i}$a la columna${\displaystyle j}$en el ${\displaystyle X}$matriz y agrega columna${\displaystyle j}$a la columna${\displaystyle i}$en el${\displaystyle Z}$matriz. Una puerta de Hadamard en un cúbit.${\displaystyle i}$columna de intercambios${\displaystyle i}$en el${\displaystyle Z}$matriz con columna${\displaystyle i}$en el ${\displaystyle X}$matriz y viceversa. Una puerta de fase en el cúbit.${\displaystyle i}$agrega columna${\displaystyle i}$en el ${\displaystyle X}$matriz a columna${\displaystyle i}$en el${\displaystyle Z}$matriz. Tres compuertas CNOT implementan una operación de intercambio de cúbits. El efecto de un intercambio en los cúbits ${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$es intercambiar columnas${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$en ambos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Z}$matriz.

El algoritmo comienza calculando el producto simpléctico entre la primera fila y todas las demás. Cabe destacar que el producto simpléctico en este caso es el producto simpléctico estándar. Deje la matriz como está si la primera fila no es ortogonal simplécticamente a la segunda fila o si la primera fila es ortogonal simplécticamente a todas las demás filas. En caso contrario, intercambie la segunda fila con la primera fila disponible que no sea ortogonal simplécticamente a la primera. En nuestro ejemplo, la primera fila no es ortogonal simplécticamente a la segunda, por lo que dejamos todas las filas como están.

Organice la primera fila de manera que la entrada superior izquierda en el${\displaystyle X}$La matriz es uno. Una operación CNOT, un intercambio, una operación de Hadamard o combinaciones de estas operaciones pueden lograr este resultado. Podemos obtener este resultado en nuestro ejemplo intercambiando los cúbits uno y dos. La matriz se convierte en

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}0&1&1&0\\1&1&0&1\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\1&1&1&0\\1&1&0&1\end{array}}\right].}$

Realizar CNOT para borrar las entradas en el${\displaystyle X}$matriz en la fila superior a la derecha de la entrada más a la izquierda. Estas entradas ya son cero en este ejemplo, por lo que no necesitamos hacer nada. Proceda a borrar las entradas en la primera fila de la${\displaystyle Z}$matriz. Realice una puerta de fase para borrar la entrada más a la izquierda en la primera fila de la${\displaystyle Z}$matriz si es igual a uno. En este caso es igual a cero, por lo que no necesitamos hacer nada. Luego usamos Hadamards y CNOTs para borrar las demás entradas en la primera fila de la${\displaystyle Z}$matriz.

Realizamos las operaciones anteriores para nuestro ejemplo. Realizamos una operación de Hadamard en los cúbits dos y tres. La matriz se convierte en:

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&1\\1&1&1&0\\0&1&0&0\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}1&1&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\1&0&0&1\end{array}}\right].}$

Realiza una CNOT desde el cúbit uno al cúbit dos y desde el cúbit uno al cúbit tres. La matriz se convierte en

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&1\\1&1&1&0\\1&1&0&0\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\1&1&1&0\\1&1&1&1\end{array}}\right].}$

La primera fila está completa. Ahora procedemos a borrar las entradas de la segunda fila. Realizamos una operación de Hadamard en los cúbits uno y cuatro. La matriz queda

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\1&1&1&0\\1&1&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&1&0&1\\1&1&1&0\\1&1&1&0\end{array}}\right].}$

Realiza una CNOT desde el cúbit uno al cúbit dos y desde el cúbit uno al cúbit cuatro. La matriz se convierte en

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&1&0\\1&1&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\1&0&1&1\\1&0&1&1\end{array}}\right].}$

Las dos primeras filas ya están completas. Necesitan un ebit para compensar su anticonmutatividad o su no ortogonalidad con respecto al producto simpléctico.

Ahora realizamos una "ortogonalización de Gram-Schmidt" con respecto al producto simpléctico. Añada la fila uno a cualquier otra fila que tenga uno como la entrada más a la izquierda en su${\displaystyle Z}$ matriz. Agregue la fila dos a cualquier otra fila que tenga uno como la entrada más a la izquierda en su ${\displaystyle X}$matriz. Para nuestro ejemplo, agregamos la fila uno a la fila cuatro y agregamos la fila dos a las filas tres y cuatro. La matriz se convierte en

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&1\\0&0&1&1\end{array}}\right].}$

Las dos primeras filas son ahora ortogonales simplécticamente a todas las demás filas según el teorema fundamental de la geometría simpléctica. Procedemos con el mismo algoritmo en las dos filas siguientes. Las dos filas siguientes son ortogonales simplécticamente entre sí, por lo que podemos tratarlas individualmente. Realizamos una operación de Hadamard en el cúbit dos. La matriz se convierte en

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&1&1\\0&1&1&1\end{array}}\right].}$

Realiza una CNOT desde el cúbit dos al cúbit tres y desde el cúbit dos al cúbit cuatro. La matriz se convierte en

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right].}$

Realizar una puerta de fase en el cúbit dos:

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right].}$

Realizar una operación de Hadamard en el cúbit tres seguida de una operación CNOT desde el cúbit dos al cúbit tres:

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&1&1&0\end{array}}\right].}$

Suma la tercera fila a la cuarta y realiza una operación de Hadamard en el cúbit dos:

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{array}}\right].}$

Realiza una operación de Hadamard en el cúbit cuatro, seguida de una operación CNOT desde el cúbit tres hasta el cúbit cuatro. Finaliza realizando una operación de Hadamard en el cúbit tres:

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right].}$

La matriz anterior corresponde ahora a los operadores de Pauli canónicos. Al sumar la mitad de un ebit al lado del receptor, se obtiene el estabilizador canónico cuyo autoestado simultáneo +1 es el estado anterior. Las operaciones anteriores, en orden inverso, transforman el estabilizador canónico en el estabilizador codificado.

• Brun, T.; Devetak, I.; Hsieh, M.-H. (2006-10-20). "Corrección de errores cuánticos con entrelazamiento". Science . 314 (5798). Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia (AAAS): 436– 439. arXiv : quant -ph/0610092 . Bibcode : 2006Sci...314..436B . doi : 10.1126/science.1131563 . ISSN 0036-8075 . PMID 17008489. S2CID 18106089 .   
• Min-Hsiu Hsieh. Teoría de la codificación asistida por entrelazamiento. Tesis doctoral, Universidad del Sur de California, agosto de 2008. Disponible en https://arxiv.org/abs/0807.2080
• Mark M. Wilde. Codificación cuántica con entrelazamiento. Tesis doctoral, Universidad del Sur de California, agosto de 2008. Disponible en https://arxiv.org/abs/0806.4214
• Hsieh, Min-Hsiu; Devetak, Igor; Brun, Todd (19 de diciembre de 2007). "Códigos generales de corrección de errores cuánticos asistidos por entrelazamiento". Physical Review A. 76 ( 6) 062313. arXiv : 0708.2142 . Bibcode : 2007PhRvA..76f2313H . doi : 10.1103/physreva.76.062313 . ISSN 1050-2947 . S2CID 119155178 .  
• Kremsky, Isaac; Hsieh, Min-Hsiu; Brun, Todd A. (2008-07-21). "Mejora clásica de códigos de corrección de errores cuánticos". Physical Review A . 78 (1) 012341. arXiv : 0802.2414 . Bibcode : 2008PhRvA..78a2341K . doi : 10.1103/physreva.78.012341 . ISSN 1050-2947 . S2CID 119252610 .  
• Wilde, Mark M.; Brun, Todd A. (19 de junio de 2008). "Fórmulas de entrelazamiento óptimas para la codificación cuántica asistida por entrelazamiento". Physical Review A. 77 ( 6) 064302. arXiv : 0804.1404 . Bibcode : 2008PhRvA..77f4302W . doi : 10.1103/physreva.77.064302 . ISSN 1050-2947 . S2CID 118411793 .  
• Wilde, Mark M.; Krovi, Hari; Brun, Todd A. (2010). "Destilación de entrelazamiento convolucional". Simposio Internacional IEEE de Teoría de la Información de 2010. IEEE. págs. 2657–2661 . arXiv : 0708.3699 . doi : 10.1109/isit.2010.5513666 . ISBN  978-1-4244-7892-7.
• Wilde, Mark M.; Brun, Todd A. (30 de abril de 2010). "Codificación cuántica convolucional asistida por entrelazamiento". Physical Review A. 81 ( 4) 042333. arXiv : 0712.2223 . Bibcode : 2010PhRvA..81d2333W . doi : 10.1103/physreva.81.042333 . ISSN 1050-2947 . S2CID 8410654 .  
• Wilde, Mark M.; Brun, Todd A. (2010-06-08). "Codificación convolucional cuántica con entrelazamiento compartido: estructura general". Procesamiento de información cuántica . 9 (5). Springer Science and Business Media LLC: 509– 540. arXiv : 0807.3803 . doi : 10.1007/s11128-010-0179-9 . ISSN 1570-0755 . S2CID 18185704 .  
• Shaw, Bilal; Wilde, Mark M.; Oreshkov, Ognyan; Kremsky, Isaac; Lidar, Daniel A. (2008-07-18). "Codificación de un cúbit lógico en seis cúbits físicos". Physical Review A . 78 (1) 012337. arXiv : 0803.1495 . Bibcode : 2008PhRvA..78a2337S . doi : 10.1103/physreva.78.012337 . ISSN 1050-2947 . S2CID 40040752 .