Corrección de errores cuánticos

Los tipos de errores que se producen en un sistema cuántico dependen en gran medida de la plataforma física subyacente, más que de suposiciones independientes del dispositivo. Por ejemplo, incluso cuando un cúbit está bajo control activo, permanece acoplado a su entorno mediante coeficientes de Einstein distintos de cero . Cuando el entorno se enfría hasta su estado de vacío, este acoplamiento da lugar a errores de amortiguación de amplitud (o pérdida de excitación), que reflejan la tendencia del sistema a relajarse hacia el equilibrio térmico y se caracterizan por un tiempo de relajación . Además, incluso un cúbit aislado posee un hamiltoniano intrínseco que corresponde a su dinámica interna, lo que da lugar a errores coherentes. En conjunto, la amortiguación de amplitud y la evolución coherente contribuyen a la desfasación , uno de los procesos de ruido dominantes en la mayoría de las implementaciones de cúbits.

Como se mencionó anteriormente, la mayoría de los QECC asumen que los errores dominantes son inversiones de bits, inversiones de fase o combinaciones de ambos, correspondientes a los operadores de Pauli. Una suposición implícita en este marco es que los errores físicos generales pueden aproximarse como elementos del grupo de Pauli . Bajo este modelo, el error de cada cúbit puede representarse mediante dos bits clásicos (00: sin error, 01:${\displaystyle Z}$, 10:${\displaystyle X}$, 11:${\displaystyle Y}$En consecuencia, los errores en un sistema de n cúbits pueden describirse mediante una cadena binaria de longitud 2n, lo que permite aplicar técnicas clásicas de corrección de errores bajo las restricciones adecuadas. Si bien esta aproximación no abarca todos los procesos de ruido reales, sigue siendo ampliamente utilizada porque simplifica enormemente tanto el análisis teórico como el diseño del código.

El${\displaystyle [[n,k,d]]}$Los QECC no abarcan todos los códigos cuánticos posibles. Estos pertenecen a la clase de códigos aditivos, definidos dentro del formalismo estabilizador. Una clase más general, conocida como códigos no aditivos, ^{[ 3 ]} se extiende más allá de este marco. Por ejemplo, el${\displaystyle ((5,6,2))}$El código ^{[ 4 ]} codifica más de dos cúbits.${\displaystyle (\log _{2}6\approx 2.585)}$en cinco cúbits físicos con distancia de código dos. En principio, los códigos no aditivos pueden alcanzar tasas de codificación más altas que los aditivos, pero su construcción y análisis son considerablemente más complejos. Por consiguiente, siguen siendo un campo relativamente inexplorado, con solo estudios limitados hasta la fecha.

Más allá de codificar cúbits en cúbits, la información cuántica también se puede almacenar en sistemas físicos más generales, como${\displaystyle d}$Sistemas de nivel n (qudits) u osciladores de dimensión infinita. La codificación de un sistema lógico más pequeño en un espacio de Hilbert físico más grande es un área de investigación activa.

• Los códigos de excitación constante ^{[ 24 ]} están diseñados para proteger contra errores coherentes colectivos que surgen del hamiltoniano intrínseco de los cúbits físicos durante una duración desconocida de almacenamiento o transmisión, como cuando el receptor puede estar en movimiento.
• El formalismo de estabilizador asistido por entrelazamiento , construido por Todd Brun et al., es una extensión del formalismo de estabilizador estándar que incorpora el entrelazamiento cuántico compartido entre un emisor y un receptor.
• Eric Rains ^{[ 25 ]} y John Smolin et al. ^{[ 26 ]} generalizan códigos no aditivos previos a más casos de distancia dos. Yu et al. ^{[ 27 ] [ 28 ]} mejoran aún más la distancia del código a tres.
• Noh et al. propusieron un esquema QEC que protege un solo oscilador utilizando un estado GKP auxiliar. ^{[ 29 ]}

Consideremos la situación en la que queremos transmitir el estado de un único cúbit.${\displaystyle \vert \psi \rangle }$a través de un canal ruidoso${\displaystyle {\mathcal {E}}}$Supongamos además que este canal invierte el estado del cúbit, con probabilidad${\displaystyle p}$o lo deja sin cambios. La acción de${\displaystyle {\mathcal {E}}}$en una entrada general${\displaystyle \rho }$Por lo tanto, se puede escribir como${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )=(1-p)\rho +p\cdot X\rho X}$.

Dejar${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha _ {0}|0\rangle +\alpha _ {1}|1\rangle}$sea ​​el estado cuántico que se va a transmitir. Sin un protocolo de corrección de errores, el estado transmitido se transmitirá correctamente con probabilidad${\displaystyle 1-p}$Sin embargo, podemos mejorar este número codificando el estado en un mayor número de cúbits, de tal manera que se puedan detectar y corregir errores en los cúbits lógicos correspondientes. En el caso del código de repetición simple de tres cúbits, la codificación consiste en las asignaciones${\displaystyle \vert 0\rangle \rightarrow \vert 0_{\rm {L}}\rangle \equiv \vert 000\rangle }$y${\displaystyle \vert 1\rangle \rightarrow \vert 1_{\rm {L}}\rangle \equiv \vert 111\rangle }$. El estado de entrada${\displaystyle \vert \psi \rangle }$está codificado en el estado${\displaystyle \vert \psi '\rangle =\alpha _{0}\vert 000\rangle +\alpha _{1}\vert 111\rangle }$Este mapeo se puede realizar, por ejemplo, utilizando dos puertas CNOT, entrelazando el sistema con dos cúbits auxiliares inicializados en el estado${\displaystyle \vert 0\rangle }$. ^{[ 31 ]} El estado codificado${\displaystyle \vert \psi '\rangle }$es lo que ahora se transmite a través del canal ruidoso.

El canal actúa en${\displaystyle \vert \psi '\rangle }$al invertir algún subconjunto (posiblemente vacío) de sus cúbits. Ningún cúbit se invierte con probabilidad${\displaystyle (1-p)^{3}}$, un solo cúbit se invierte con probabilidad${\displaystyle 3p(1-p)^{2}}$, dos cúbits se invierten con probabilidad${\displaystyle 3p^{2}(1-p)}$y los tres cúbits se invierten con probabilidad${\displaystyle p^{3}}$. Nótese que aquí se hace una suposición adicional sobre el canal: suponemos que${\displaystyle {\mathcal {E}}}$actúa de forma igualitaria e independiente sobre cada uno de los tres cúbits en los que ahora se codifica el estado. El problema ahora es cómo detectar y corregir dichos errores, sin corromper el estado transmitido .

Supongamos, por simplicidad, que${\displaystyle p}$es lo suficientemente pequeño como para que la probabilidad de que se invierta más de un cúbit sea insignificante. Entonces, se puede detectar si se invirtió un cúbit, sin consultar también los valores que se transmiten, preguntando si uno de los cúbits difiere de los demás. Esto equivale a realizar una medición con cuatro resultados diferentes, que corresponden a las siguientes cuatro mediciones proyectivas:$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}&=|000\rangle \langle 000|+|111\rangle \langle 111|,\\P_{1}&=|100\rangle \langle 100|+|011\rangle \langle 011|,\\P_{2}&=|010\rangle \langle 010|+|101\rangle \langle 101|,\\P_{3}&=|001\rangle \langle 001|+|110\rangle \langle 110|.\end{aligned}}}$$Esto revela qué cúbits son diferentes de los demás, sin proporcionar al mismo tiempo información sobre el estado de los propios cúbits. Si el resultado correspondiente a${\displaystyle P_{0}}$se obtiene, no se aplica ninguna corrección, mientras que si el resultado correspondiente a${\displaystyle P_{i}}$Se observa, luego se aplica la puerta X de Pauli a la${\displaystyle i}$-ésimo cúbit. Formalmente, este procedimiento de corrección corresponde a la aplicación del siguiente mapa a la salida del canal: $${\displaystyle {\mathcal {E}}_{\operatorname {corr} }(\rho )=P_{0}\rho P_{0}+\sum _{i=1}^{3}X_{i}P_{i}\rho \,P_{i}X_{i}.}$$Tenga en cuenta que, si bien este procedimiento corrige perfectamente la salida cuando el canal introduce cero o un cambio de estado, si se cambia más de un cúbit, la salida no se corrige correctamente. Por ejemplo, si se cambian el primer y el segundo cúbit, la medición del síndrome da como resultado${\displaystyle P_{3}}$y el tercer cúbit se invierte, en lugar de los dos primeros. Para evaluar el rendimiento de este esquema de corrección de errores para una entrada general podemos estudiar la fidelidad.${\displaystyle F(\psi ')}$entre la entrada${\displaystyle \vert \psi '\rangle }$y la salida${\displaystyle \rho _{\operatorname {out} }\equiv {\mathcal {E}}_{\operatorname {corr} }({\mathcal {E}}(\vert \psi '\rangle \langle \psi '\vert ))}$. Siendo el estado de salida${\displaystyle \rho _{\operatorname {out} }}$correcto cuando no se invierte más de un cúbit, lo que ocurre con probabilidad${\displaystyle (1-p)^{3}+3p(1-p)^{2}}$, podemos escribirlo como${\displaystyle [(1-p)^{3}+3p(1-p)^{2}]\,\vert \psi '\rangle \langle \psi '\vert +(...)}$, donde los puntos denotan componentes de${\displaystyle \rho _{\operatorname {out} }}$resultante de errores no corregidos adecuadamente por el protocolo. De ello se deduce que$${\displaystyle F(\psi ')=\langle \psi '\vert \rho _{\operatorname {out} }\vert \psi '\rangle \geq (1-p)^{3}+3p(1-p)^{2}=1-3p^{2}+2p^{3}.}$$Esta fidelidad debe compararse con la fidelidad correspondiente obtenida cuando no se utiliza ningún protocolo de corrección de errores, que se demostró anteriormente que es igual.${\displaystyle {1-p}}$. Un poco de álgebra muestra entonces que la fidelidad después de la corrección de errores es mayor que la que no la tiene.${\displaystyle p<1/2}$. Tenga en cuenta que esto es coherente con la suposición de trabajo que se hizo al derivar el protocolo (de${\displaystyle p}$siendo lo suficientemente pequeño).

El cambio de bit es el único tipo de error en las computadoras clásicas. En las computadoras cuánticas, sin embargo, es posible otro tipo de error: el cambio de signo. A través de la transmisión en un canal, el signo relativo entre${\displaystyle |0\rangle }$y${\displaystyle |1\rangle }$puede invertirse. Por ejemplo, un cúbit en el estado${\displaystyle |-\rangle =(|0\rangle -|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$puede cambiar su signo a${\displaystyle |+\rangle =(|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}.}$

El estado original del cúbit $${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle }$$ se transformará en el estado $${\displaystyle |\psi '\rangle =\alpha _{0}|{+}{+}{+}\rangle +\alpha _{1}|{-}{-}{-}\rangle .}$$

En la base de Hadamard, los cambios de bit se convierten en cambios de signo y los cambios de signo se convierten en cambios de bit.${\displaystyle E_{\text{phase}}}$ser un canal cuántico que puede causar como máximo un cambio de fase. Entonces el código de cambio de bits de arriba puede recuperarse${\displaystyle |\psi \rangle }$transformándose en la base de Hadamard antes y después de la transmisión a través de${\displaystyle E_{\text{phase}}}$.

El canal de error puede inducir un cambio de bit, un cambio de signo (es decir, un cambio de fase) o ambos. Es posible corregir ambos tipos de errores en un cúbit lógico utilizando un código QEC bien diseñado. Un ejemplo de un código que hace esto es el código Shor, publicado en 1995. ^{[ 32 ] [ 33 ] : 10} Dado que estos dos tipos de errores son los únicos tipos de errores que pueden resultar después de una medición proyectiva, un código Shor corrige errores arbitrarios de un solo cúbit.

Dejar${\displaystyle E}$ser un canal cuántico que puede corromper arbitrariamente un solo cúbit. Los cúbits 1, 4 y 7 son para el código de inversión de signo, mientras que los tres grupos de cúbits (1,2,3), (4,5,6) y (7,8,9) están diseñados para el código de inversión de bit. Con el código de Shor, un estado de cúbit${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle }$se transformará en el producto de 9 cúbits${\displaystyle |\psi '\rangle =\alpha _{0}|0_{S}\rangle +\alpha _{1}|1_{S}\rangle }$, dónde $${\displaystyle |0_{\rm {S}}\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|000\rangle +|111\rangle )\otimes (|000\rangle +|111\rangle )\otimes (|000\rangle +|111\rangle )}$$$${\displaystyle |1_{\rm {S}}\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|000\rangle -|111\rangle )\otimes (|000\rangle -|111\rangle )\otimes (|000\rangle -|111\rangle )}$$

Si se produce un error de inversión de bit en un cúbit, se realizará un análisis de síndrome en cada bloque de cúbits (1,2,3), (4,5,6) y (7,8,9) para detectar y corregir como máximo un error de inversión de bit en cada bloque.

Si se consideran los grupos de inversión de tres bits (1,2,3), (4,5,6) y (7,8,9) como tres entradas, el circuito del código Shor se puede reducir a un código de inversión de signo. Esto significa que el código Shor también puede corregir un error de inversión de signo para un solo cúbit.

El código Shor también puede corregir cualquier error arbitrario (tanto inversión de bit como inversión de signo) en un solo cúbit. Si un error se modela mediante una transformación unitaria U, que actuará sobre un cúbit${\displaystyle |\psi \rangle }$, entonces${\displaystyle U}$puede describirse en la forma $${\displaystyle U=c_{0}I+c_{1}X+c_{2}Y+c_{3}Z}$$ dónde${\displaystyle c_{0}}$,${\displaystyle c_{1}}$,${\displaystyle c_{2}}$, y${\displaystyle c_{3}}$son constantes complejas, I es la identidad y las matrices de Pauli están dadas por $${\displaystyle {\begin{aligned}X&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};\\Y&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}};\\Z&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Si U es igual a I , entonces no se produce ningún error. Si${\displaystyle U=X}$, se produce un error de inversión de bits. Si${\displaystyle U=Z}$, se produce un error de inversión de signo. Si${\displaystyle U=iY}$Entonces se producen tanto un error de inversión de bit como un error de inversión de signo. En otras palabras, el código Shor puede corregir cualquier combinación de errores de bit o de fase en un solo cúbit.

En términos más generales, el operador de error U no tiene por qué ser unitario, sino que puede ser un operador de Kraus procedente de una operación cuántica que representa un sistema que interactúa con su entorno.

La corrección de errores cuánticos se puede aplicar a la metrología cuántica . Así, un cúbit lógico se almacena en varios cúbits físicos. En el caso de un interferómetro lineal, no hay interacción entre los cúbits lógicos. Sin embargo, la dinámica viene dada por operadores que contienen operadores de correlación de múltiples cúbits de los cúbits físicos correspondientes a un cúbit lógico. En este esquema, los errores se pueden detectar y corregir siguiendo las reglas generales de la corrección de errores cuánticos. ^{[ 34 ] [ 35 ]}

En otro enfoque, el objetivo no es corregir el estado cuántico, sino mantener un estado que haga posible la metrología cuántica con alta precisión incluso si hay ruido presente. Se ha observado que algunos estados cuánticos que no pueden superar a los estados separables en metrología cuántica, pueden ser mejores que los estados separables en el caso de múltiples copias, por lo que sus capacidades metrológicas pueden activarse. ^{[ 36 ]} Por lo tanto, en lugar de almacenar cada cúbit lógico en varios cúbits físicos, almacenamos varias copias de todo el estado cuántico. Por ejemplo, consideremos un${\displaystyle N}$-estado cuántico de cúbit${\displaystyle \varrho }$vivir en el espacio

$${\displaystyle \{|0\rangle ^{\otimes N},|1\rangle ^{\otimes N}\}.}$$

Este subespacio incluye el estado cuántico ruidoso

$${\displaystyle p|{\rm {GHZ}}_{N}\rangle \langle {\rm {GHZ}}_{N}|+(1-p){\frac {(|0\rangle \langle 0|)^{\otimes N}+(|1\rangle \langle 1|)^{\otimes N}}{2}},}$$

donde el estado de Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ) se da como

$${\displaystyle |{\rm {GHZ}}_{N}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle ^{\otimes N}+|1\rangle ^{\otimes N}).}$$

Consideremos${\displaystyle M}$copias del estado

$${\displaystyle \varrho _{M{\text{-copy}}}=\varrho ^{\otimes M}.}$$

Luego, el siguiente hamiltoniano

$${\displaystyle H=\sum _{n=1}^{N}\prod _{m=1}^{M}\sigma _{z}^{(n,m)}}$$

actúa sobre el${\displaystyle M}$-copiar estado cuántico. Aquí,${\displaystyle \sigma _{z}^{(n,m)}}$es la matriz de espín de Pauli${\displaystyle \sigma _{z}}$para el n-ésimo cúbit de la m-ésima copia. La utilidad metrológica caracterizada por la información cuántica de Fisher como

$${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,H]}$$

aumenta exponencialmente con el número de copias,${\displaystyle M}$y se aproxima a la utilidad metrológica del estado GHZ,${\displaystyle 4N^{2}.}$Los estados separables alcanzan${\displaystyle 4N.}$^{[ 37 ]}

Si el estado está fuera del subespacio descrito anteriormente, entonces se puede volver a colocar dentro del subespacio con los pasos habituales de corrección de errores con el código de inversión de bits.

En otro ejemplo, se puede ver que en este esquema se suprime un error de fase incluso sin corrección de errores. Llamemos a las tres copias de la${\displaystyle N}$-estado GHZ de qubit y luego una sola fase

$${\displaystyle |\Psi \rangle =|{\rm {GHZ}}_{N}\rangle \otimes |{\rm {GHZ}}_{N}\rangle \otimes |{\rm {GHZ}}_{N}\rangle ,}$$

y consideremos el hamiltoniano anterior. Entonces, la utilidad metrológica del estado se caracteriza por la información cuántica de Fisher.${\displaystyle F_{Q}[|\Psi \rangle \langle \Psi |,H]}$.

Denotemos el estado después de que uno de los cúbits pase a través de un canal de inversión de fase por${\displaystyle \varrho _{\rm {phaseflip}}.}$Se puede demostrar que la utilidad metrológica del estado no cambia.

$${\displaystyle F_{Q}[\varrho _{\rm {phaseflip}},H]=F_{Q}[|\Psi \rangle \langle \Psi |,H]}$$

y permanece máximo. Por lo tanto, incluso sin un paso de corrección de errores, las propiedades metrológicas permanecen iguales. (Véase el Suplemento E en las referencias ^{[ 37 ]} y ^{[ 38 ]} ).