Epicicloide

En geometría , una epicicloide (también llamada hipercicloide ) ^[1] es una curva plana que se obtiene trazando la trayectoria de un punto elegido en la circunferencia de un círculo —llamado epiciclo— que rueda sin deslizarse alrededor de un círculo fijo. Es un tipo particular de ruleta .

Un epicicloide con un radio menor (R2) de 0 es un círculo. Esta es una forma degenerada.

Si el círculo más pequeño tiene radio y el círculo más grande tiene radio , entonces las ecuaciones paramétricas para la curva se pueden dar mediante: ${\displaystyle r}$${\displaystyle R=kr}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=(R+r)\cos \theta \ -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\\&y(\theta )=(R+r)\sin \theta \ -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\end{aligned}}}$

o:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\\&y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right).\end{aligned}}}$

Esto se puede escribir de una forma más concisa utilizando números complejos como ^[2]

${\displaystyle z(\theta )=r\left((k+1)e^{i\theta }-e^{i(k+1)\theta }\right)}$

dónde

• El ángulo${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$
• El círculo más pequeño tiene radio y${\displaystyle r}$
• El círculo más grande tiene radio .${\displaystyle kr}$

(Suponiendo que el punto inicial se encuentra en el círculo más grande). Cuando es un entero positivo, el área y la longitud del arco de esta epicicloide son ${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle A=(k+1)(k+2)\pi r^{2},}$

${\displaystyle s=8(k+1)r.}$

Significa que el epicicloide es mayor en área que el círculo estacionario original. ${\displaystyle {\frac {(k+1)(k+2)}{k^{2}}}}$

Si es un entero positivo, entonces la curva está cerrada y tiene k cúspides (es decir, esquinas agudas). ${\displaystyle k}$

Si es un número racional , digamos expresado como fracción irreducible , entonces la curva tiene cúspides. ${\displaystyle k}$${\displaystyle k=p/q}$${\displaystyle p}$

Cuente las rotaciones de la animación para ver p y q

Si es un número irracional , entonces la curva nunca se cierra y forma un subconjunto denso del espacio entre el círculo mayor y un círculo de radio . ${\displaystyle k}$${\displaystyle R+2r}$

La distancia desde el origen hasta el punto en el círculo pequeño varía hacia arriba y hacia abajo como ${\displaystyle {\overline {OP}}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle R\leq {\overline {OP}}\leq R+2r}$

dónde

• ${\displaystyle R}$= radio del círculo grande y
• ${\displaystyle 2r}$= diámetro del círculo pequeño.

• Ejemplos de epicicloides
• 
  k = 1 ; un cardioide
• 
  k = 2 ; una nefroide
• 
  k = 3 ; un trebolide
• 
  k = 4 ; un cuatrifolioide
• 
  k = 2,1 = 21/10
• 
  k = 3,8 = 19/5
• 
  k = 5,5 = 11/2
• 
  k = 7,2 = 36/5

El epicicloide es un tipo especial de epitrocoide .

Un epiciclo con una cúspide es un cardioide , y con dos cúspides es un nefroide .

Un epicicloide y su evoluta son similares . ^[3]

Suponemos que la posición de es lo que queremos resolver, es el ángulo desde el punto tangencial al punto en movimiento , y es el ángulo desde el punto de inicio al punto tangencial. ${\displaystyle p}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \theta }$

Como no hay deslizamiento entre los dos ciclos, entonces tenemos que

${\displaystyle \ell _{R}=\ell _{r}}$

Por la definición de ángulo (que es la velocidad del arco sobre el radio), entonces tenemos que

${\displaystyle \ell _{R}=\theta R}$

y

${\displaystyle \ell _{r}=\alpha r}$.

De estas dos condiciones, obtenemos la identidad

${\displaystyle \theta R=\alpha r}$.

Calculando, obtenemos la relación entre y , que es ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {R}{r}}\theta }$.

En la figura vemos claramente la posición del punto en el círculo pequeño. ${\displaystyle p}$

${\displaystyle x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)}$

${\displaystyle y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)}$

• Lista de funciones periódicas
• Cicloide
• Ciclogón
• Deferente y epiciclo
• Engranaje epicicloidal
• Epitrocoide
• Hipocicloide
• Hipotrocoide
• Conjunto multibrot
• Ruleta (curva)
• Espirógrafo

• J. Dennis Lawrence (1972). Catálogo de curvas planas especiales . Dover Publications. pp. 161, 168–170, 175. ISBN. 978-0-486-60288-2.

• Weisstein, Eric W. "Epicicloide". MundoMatemático .
• "Epicicloide" de Michael Ford, The Wolfram Demonstrations Project , 2007
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Epicicloide", Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews
• Animación de epicicloides, pericicloides e hipocicloides
• Espirógrafo - GeoFun
• Nota histórica sobre la aplicación del epicicloide a la forma de los dientes de los engranajes