Geometría epipolar

La geometría epipolar es la geometría de la visión estereoscópica . Cuando dos cámaras observan una escena 3D desde dos posiciones distintas, existen diversas relaciones geométricas entre los puntos 3D y sus proyecciones sobre las imágenes 2D, lo que genera restricciones entre los puntos de la imagen. Estas relaciones se derivan a partir de la suposición de que las cámaras pueden aproximarse mediante el modelo de cámara estenopeica .

La figura siguiente muestra dos cámaras estenopeicas apuntando al punto X. En las cámaras reales, el plano de imagen se encuentra detrás del centro focal y produce una imagen simétrica respecto al centro focal de la lente. Sin embargo, en este caso, el problema se simplifica colocando un plano de imagen virtual delante del centro focal (es decir, el centro óptico de cada lente) para producir una imagen que no se vea afectada por la simetría. O _L y O _R representan los centros de simetría de las dos lentes. X representa el punto de interés en ambas cámaras. Los puntos x _L y x _R son las proyecciones del punto X sobre los planos de imagen.

Cada cámara captura una imagen bidimensional del mundo tridimensional. Esta conversión de 3D a 2D se denomina proyección en perspectiva y se describe mediante el modelo de cámara estenopeica. Es común modelar esta operación de proyección mediante rayos que emanan de la cámara y pasan por su centro focal. Cada rayo corresponde a un punto específico de la imagen.

Si se conoce la posición relativa de las dos cámaras, esto lleva a dos observaciones importantes:

• Supongamos que se conoce el punto de proyección x _L y la línea epipolar e _R – x _R , y que el punto X se proyecta en la imagen derecha sobre un punto x _R que debe estar sobre esta línea epipolar particular. Esto significa que para cada punto observado en una imagen, el mismo punto debe observarse en la otra imagen sobre una línea epipolar conocida. Esto proporciona una restricción epipolar : la proyección de X sobre el plano de la cámara derecha x _R debe estar contenida en la línea epipolar e _R – x _{R. Todos los puntos X, por ejemplo} X ₁ , X ₂ , X _3, sobre la línea O _L – X _L verificarán esta restricción. Esto significa que es posible comprobar si dos puntos corresponden al mismo punto 3D. Las restricciones epipolares también pueden describirse mediante la matriz fundamental [ ^{1 ] o ,} en el caso de coordenadas de imagen normalizadas, la matriz esencial ^{[ 2 ]} entre las dos cámaras.
• Si se conocen los puntos x _L y x _{R , también se conocen sus líneas de proyección. Si los dos puntos de la imagen corresponden al mismo punto 3D} X, las líneas de proyección deben intersecarse precisamente en X. Esto significa que X se puede calcular a partir de las coordenadas de los dos puntos de la imagen, un proceso llamado triangulación . ^{[ 3 ]}

La geometría epipolar se simplifica si los planos de imagen de las dos cámaras coinciden. En este caso, las líneas epipolares también coinciden ( e _L – X _L = e _R – X _R ). Además, las líneas epipolares son paralelas a la línea O _L – O _R entre los centros de proyección y, en la práctica, pueden alinearse con los ejes horizontales de las dos imágenes. Esto significa que, para cada punto de una imagen, su punto correspondiente en la otra imagen se puede encontrar simplemente siguiendo una línea horizontal. Si las cámaras no se pueden posicionar de esta manera, las coordenadas de imagen de las cámaras se pueden transformar para simular un plano de imagen común. Este proceso se denomina rectificación de imagen .

A diferencia de la cámara de fotogramas convencional que utiliza un CCD bidimensional, la cámara de barrido lineal emplea una matriz de CCD unidimensionales para producir una larga tira de imagen continua, denominada "alfombra de imagen". Si el sensor unidimensional se desplaza sobre el plano focal de una escena estática con óptica fija, su funcionamiento es equivalente al de un sensor bidimensional, con la única diferencia de que cada parte de la imagen se captura en un instante distinto. La geometría epipolar de este sensor difiere notablemente de la de las cámaras de proyección estenopeica. En primer lugar, la línea epipolar del sensor de barrido lineal no es recta, sino una curva hipérbola. En segundo lugar, no existe un par de "curvas" epipolares. ^{[ 4 ]} Sin embargo, en ciertas condiciones especiales, la geometría epipolar de las imágenes satelitales puede considerarse un modelo lineal. ^{[ 5 ]}

• Reconstrucción 3D
• Reconstrucción 3D a partir de múltiples imágenes
• Escáner 3D
• Disparidad binocular
• ecuación de colinealidad
• Fotogrametría
• Matriz esencial , matriz fundamental
• Tensor trifocal

• Richard Hartley y Andrew Zisserman (2003). Geometría de múltiples vistas en visión por computadora . Cambridge University Press. ISBN 0-521-54051-8.

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