Congruencia (geometría)

En geometría , dos figuras u objetos son congruentes si tienen la misma forma y tamaño , o si uno tiene la misma forma y tamaño que la imagen especular del otro. ^[1]

Más formalmente, dos conjuntos de puntos se denominan congruentes si, y solo si, uno puede transformarse en el otro mediante una isometría , es decir, una combinación de movimientos rígidos , a saber, una traslación , una rotación y una reflexión . Esto significa que cualquiera de los objetos puede reposicionarse y reflejarse (pero no cambiar de tamaño) de modo que coincida exactamente con el otro objeto. Por lo tanto, dos figuras planas distintas en una hoja de papel son congruentes si se pueden recortar y luego hacer coincidir completamente. Se permite dar vuelta el papel.

En geometría elemental, la palabra congruente se utiliza a menudo de la siguiente manera. ^[2] La palabra igual se utiliza a menudo en lugar de congruente para estos objetos.

• Dos segmentos de línea son congruentes si tienen la misma longitud.
• Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.
• Dos círculos son congruentes si tienen el mismo diámetro.

En este sentido, dos figuras planas son congruentes implica que sus características correspondientes son "congruentes" o "iguales", incluyendo no sólo sus lados y ángulos correspondientes, sino también sus diagonales, perímetros y áreas correspondientes.

El concepto relacionado de similitud se aplica si los objetos tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. (La mayoría de las definiciones consideran la congruencia como una forma de similitud, aunque una minoría exige que los objetos tengan tamaños diferentes para ser considerados similares).

Para que dos polígonos sean congruentes, deben tener el mismo número de lados (y, por lo tanto, el mismo número de vértices). Dos polígonos con n lados son congruentes si y solo si cada uno de ellos tiene secuencias numéricamente idénticas (aunque sean en el sentido de las agujas del reloj para un polígono y en el sentido contrario para el otro) lado-ángulo-lado-ángulo-... para n lados y n ángulos.

La congruencia de polígonos se puede establecer gráficamente de la siguiente manera:

• Primero, haga coincidir y etiquete los vértices correspondientes de las dos figuras.
• En segundo lugar, traza un vector desde uno de los vértices de una de las figuras hasta el vértice correspondiente de la otra figura. Traslada la primera figura por este vector de modo que estos dos vértices coincidan.
• En tercer lugar, gira la figura traducida sobre el vértice correspondiente hasta que un par de lados correspondientes coincidan.
• En cuarto lugar, refleje la figura rotada sobre este lado coincidente hasta que las figuras coincidan.

Si en algún momento no se puede completar el paso, los polígonos no son congruentes.

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son iguales en longitud y sus ángulos correspondientes son iguales en medida.

Simbólicamente, escribimos la congruencia e incongruencia de dos triángulos △ ABC y △ A′B′C′ de la siguiente manera:

${\displaystyle ABC\cong A'B'C'}$

${\displaystyle ABC\ncong A'B'C'}$

En muchos casos es suficiente establecer la igualdad de tres partes correspondientes y utilizar uno de los siguientes resultados para deducir la congruencia de los dos triángulos.

Se puede demostrar evidencia suficiente de la congruencia entre dos triángulos en el espacio euclidiano mediante las siguientes comparaciones:

• SAS (lado-ángulo-lado): si dos pares de lados de dos triángulos tienen la misma longitud y los ángulos incluidos tienen la misma medida, entonces los triángulos son congruentes.
• SSS (lado-lado-lado): si tres pares de lados de dos triángulos tienen la misma longitud, entonces los triángulos son congruentes.
• ASA (ángulo-lado-ángulo): si dos pares de ángulos de dos triángulos son iguales en medida, y los lados incluidos son iguales en longitud, entonces los triángulos son congruentes.

El postulado ASA se atribuye a Tales de Mileto . En la mayoría de los sistemas de axiomas, los tres criterios (SAS, SSS y ASA) se establecen como teoremas . En el sistema del Grupo de Estudio de Matemáticas Escolares, el SAS se toma como uno (#15) de 22 postulados.

• AAS (ángulo-ángulo-lado): si dos pares de ángulos de dos triángulos tienen la misma medida y un par de lados correspondientes no incluidos tienen la misma longitud, entonces los triángulos son congruentes. AAS es equivalente a una condición ASA, por el hecho de que si se dan dos ángulos cualesquiera, también se da el tercer ángulo, ya que su suma debe ser 180°. ASA y AAS a veces se combinan en una sola condición, AAcorrS : dos ángulos cualesquiera y un lado correspondiente. ^[3]
• RHS (ángulo recto-hipotenusa-lado), también conocido como HL (hipotenusa-cateto): si dos triángulos rectángulos tienen sus hipotenusas de igual longitud, y un par de otros lados son de igual longitud, entonces los triángulos son congruentes.

La condición SSA (lado-lado-ángulo) que especifica dos lados y un ángulo no incluido (también conocida como ASS, o ángulo-lado-lado) no prueba por sí misma la congruencia. Para demostrar la congruencia, se requiere información adicional, como la medida de los ángulos correspondientes y, en algunos casos, las longitudes de los dos pares de lados correspondientes. Hay algunos casos posibles:

Si dos triángulos satisfacen la condición SSA y la longitud del lado opuesto al ángulo es mayor o igual que la longitud del lado adyacente (SSA, o lado largo-lado corto-ángulo), entonces los dos triángulos son congruentes. El lado opuesto a veces es más largo cuando los ángulos correspondientes son agudos, pero siempre es más largo cuando los ángulos correspondientes son rectos u obtusos. Cuando el ángulo es un ángulo recto, también conocido como el postulado hipotenusa-cateto (HL) o la condición ángulo recto-hipotenusa-lado (RHS), el tercer lado se puede calcular utilizando el teorema de Pitágoras , lo que permite aplicar el postulado SSS.

Si dos triángulos satisfacen la condición SSA y los ángulos correspondientes son agudos y la longitud del lado opuesto al ángulo es igual a la longitud del lado adyacente multiplicada por el seno del ángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Si dos triángulos satisfacen la condición SSA y los ángulos correspondientes son agudos y la longitud del lado opuesto al ángulo es mayor que la longitud del lado adyacente multiplicada por el seno del ángulo (pero menor que la longitud del lado adyacente), entonces no se puede demostrar que los dos triángulos sean congruentes. Este es el caso ambiguo y se pueden formar dos triángulos diferentes a partir de la información dada, pero información adicional que los distinga puede llevar a una prueba de congruencia.

En geometría euclidiana, AAA (ángulo-ángulo-ángulo) (o simplemente AA, ya que en geometría euclidiana los ángulos de un triángulo suman 180°) no proporciona información sobre el tamaño de los dos triángulos y, por lo tanto, solo prueba similitud y no congruencia en el espacio euclidiano.

Sin embargo, en geometría esférica y geometría hiperbólica (donde la suma de los ángulos de un triángulo varía con el tamaño) AAA es suficiente para la congruencia en una curvatura dada de la superficie. ^[4]

Este acrónimo significa Las partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes , que es una versión abreviada de la definición de triángulos congruentes. ^{[5] [6]}

En más detalle, es una forma sucinta de decir que si los triángulos ABC y DEF son congruentes, es decir,

${\displaystyle \triángulo ABC\cong \triángulo DEF,}$

con pares de ángulos correspondientes en los vértices A y D ; B y E ; y C y F , y con pares de lados correspondientes AB y DE ; BC y EF ; y CA y FD , entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:

${\displaystyle {\overline {AB}}\cong {\overline {DE}}}$

${\displaystyle {\overline {BC}}\cong {\overline {EF}}}$

${\displaystyle {\overline {AC}}\cong {\overline {DF}}}$

${\displaystyle \ángulo BAC\cong \ángulo EDF}$

${\displaystyle \ángulo ABC\cong \ángulo DEF}$

${\displaystyle \ángulo BCA\cong \ángulo EFD.}$

La afirmación se utiliza a menudo como justificación en demostraciones de geometría elemental cuando se necesita llegar a una conclusión sobre la congruencia de las partes de dos triángulos después de haber establecido la congruencia de los triángulos. Por ejemplo, si se ha demostrado que dos triángulos son congruentes según los criterios SSS y se necesita una afirmación de que los ángulos correspondientes son congruentes en una demostración, entonces se puede utilizar el CPCTC como justificación de esta afirmación.

Un teorema relacionado es el CPCFC , en el que "triángulos" se reemplaza por "figuras" de modo que el teorema se aplica a cualquier par de polígonos o poliedros que sean congruentes.

En un sistema euclidiano , la congruencia es fundamental; es la contraparte de la igualdad para los números. En geometría analítica , la congruencia puede definirse intuitivamente de la siguiente manera: dos aplicaciones de figuras en un sistema de coordenadas cartesianas son congruentes si y solo si, para dos puntos cualesquiera en la primera aplicación, la distancia euclidiana entre ellos es igual a la distancia euclidiana entre los puntos correspondientes en la segunda aplicación.

Una definición más formal establece que dos subconjuntos A y B del espacio euclidiano R ⁿ se denominan congruentes si existe una isometría f  : R ⁿ → R ⁿ (un elemento del grupo euclidiano E ( n )) con f ( A ) = B . La congruencia es una relación de equivalencia .

Dos secciones cónicas son congruentes si sus excentricidades y otro parámetro distinto que las caracteriza son iguales. Sus excentricidades establecen sus formas, cuya igualdad es suficiente para establecer la semejanza, y el segundo parámetro establece entonces el tamaño. Dado que dos círculos , parábolas o hipérbolas rectangulares siempre tienen la misma excentricidad (específicamente 0 en el caso de los círculos, 1 en el caso de las parábolas y en el caso de las hipérbolas rectangulares), dos círculos, parábolas o hipérbolas rectangulares necesitan tener solo otro valor de parámetro común, que establezca su tamaño, para que sean congruentes. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Para dos poliedros con el mismo tipo combinatorio (es decir, el mismo número E de aristas, el mismo número de caras y el mismo número de lados en las caras correspondientes), existe un conjunto de medidas E que pueden establecer si los poliedros son congruentes o no. ^{[7] [8]} El número es ajustado, lo que significa que menos de E medidas no son suficientes si los poliedros son genéricos entre su tipo combinatorio. Pero menos medidas pueden funcionar para casos especiales. Por ejemplo, los cubos tienen 12 aristas, pero 9 medidas son suficientes para decidir si un poliedro de ese tipo combinatorio es congruente con un cubo regular dado.

Al igual que con los triángulos planos, en una esfera dos triángulos que comparten la misma secuencia de ángulo-lado-ángulo (ALA) son necesariamente congruentes (es decir, tienen tres lados idénticos y tres ángulos idénticos). ^[9] Esto se puede ver de la siguiente manera: Uno puede situar uno de los vértices con un ángulo dado en el polo sur y recorrer el lado con una longitud dada hasta el meridiano principal. Conocer ambos ángulos en cada extremo del segmento de longitud fija asegura que los otros dos lados emanan con una trayectoria unívocamente determinada y, por lo tanto, se encontrarán en un punto unívocamente determinado; por lo tanto, la ALA es válida.

Los teoremas de congruencia lado-ángulo-lado (SAS) y lado-lado-lado (SSS) también se cumplen en una esfera; además, si dos triángulos esféricos tienen una secuencia ángulo-ángulo-ángulo (AAA) idéntica, son congruentes (a diferencia de los triángulos planos). ^[9]

El teorema de congruencia plano-triángulo ángulo-ángulo-lado (AAS) no se cumple para triángulos esféricos. ^[10] Al igual que en geometría plana, lado-lado-ángulo (SSA) no implica congruencia.

Un símbolo que se utiliza habitualmente para la congruencia es el símbolo de igual con una tilde encima, ≅ , que corresponde al carácter Unicode "aproximadamente igual a" (U+2245). En el Reino Unido, a veces se utiliza el signo de igual de tres barras ≡ (U+2261).

• Isometría del plano euclidiano
• Isometría

• El SSS en Cut-the-Knot
• La SSA en Cut-the-Knot
• Animaciones interactivas que demuestran polígonos congruentes, ángulos congruentes, segmentos de línea congruentes y triángulos congruentes en Math Open Reference