Ley de los senos

Ley de los senos

Figura 1, con círculo circunscrito

Figura 2, sin círculo circunscrito

Dos triángulos etiquetados con componentes de la ley de los senos. Los ángulos α , β y γ están asociados con los vértices respectivos A , B y C ; los lados respectivos de longitudes a , b y c son opuestos a estos (por ejemplo, el lado a es opuesto al vértice A con ángulo α ).

En trigonometría , la ley de los senos (a veces llamada fórmula del seno o regla del seno ) es una ecuación matemática que relaciona las longitudes de los lados de cualquier triángulo con los senos de sus ángulos . Según la ley, $${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{\sin {\gamma }}}\,=\,2R,}$$ donde a , b y c son las longitudes de los lados de un triángulo, y α , β y γ son los ángulos opuestos (véase la figura 2), mientras que R es el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo . Cuando no se utiliza la última parte de la ecuación, la ley a veces se expresa utilizando los recíprocos ; $${\displaystyle {\frac {\sin {\alpha }}{a}}\,=\,{\frac {\sin {\beta }}{b}}\,=\,{\frac {\sin {\gamma }}{c}}.}$$ La ley de los senos se puede utilizar para calcular los lados restantes de un triángulo cuando se conocen dos ángulos y un lado; esta técnica se denomina triangulación . También se puede utilizar cuando se conocen dos lados y uno de los ángulos no comprendidos. En algunos casos, el triángulo no se determina de forma unívoca con estos datos (lo que se conoce como caso ambiguo ) y la técnica proporciona dos posibles valores para el ángulo comprendido.

La ley de los senos es una de las dos ecuaciones trigonométricas que se aplican comúnmente para hallar longitudes y ángulos en triángulos escalenos , siendo la otra la ley de los cosenos .

La ley de los senos puede generalizarse a dimensiones superiores en superficies con curvatura constante. ^{[ 1 ]}

Con el lado de longitud a como base, la altura del triángulo se puede calcular como b sen γ o como c sen β . Igualando estas dos expresiones se obtiene $${\displaystyle {\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}\,,}$$ y ecuaciones similares surgen al elegir el lado de longitud b o el lado de longitud c como base del triángulo. Para una demostración de que estas expresiones son iguales a${\displaystyle 2R}$, véase Relación con el círculo circunscrito .

Al utilizar la ley de los senos para hallar un lado de un triángulo, se produce un caso ambiguo cuando se pueden construir dos triángulos distintos a partir de los datos proporcionados (es decir, existen dos soluciones posibles diferentes para el triángulo). En el caso que se muestra a continuación, se trata de los triángulos ABC y ABC′ .

Dado un triángulo general, se deberían cumplir las siguientes condiciones para que el caso sea ambiguo:

• La única información conocida sobre el triángulo es el ángulo α y los lados a y c .
• El ángulo α es agudo (es decir, α < 90°).
• El lado a es más corto que el lado c (es decir, a < c ).
• El lado a es más largo que la altura h desde el ángulo β , donde h = c sin α (es decir, a > h ).

Si se cumplen todas las condiciones anteriores, entonces cada uno de los ángulos β y β′ produce un triángulo válido, lo que significa que se cumplen las dos condiciones siguientes: $${\displaystyle {\gamma }'=\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}\quad {\text{o}}\quad {\gamma }=\pi -\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}.}$$

A partir de ahí podemos encontrar los correspondientes β y b o β′ y b′ si es necesario, donde b es el lado delimitado por los vértices A y C y b′ está delimitado por A y C′ .

Los siguientes son ejemplos de cómo resolver un problema utilizando la ley de los senos.

Ejemplo 1

Datos: lado a = 20 , lado c = 24 y ángulo γ = 40° . Se busca el ángulo α .

Utilizando la ley de los senos, concluimos que $${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{20}}={\frac {\sin(40^{\circ })}{24}}.}$$$${\displaystyle \alpha =\arcsin \left({\frac {20\sin(40^{\circ })}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.}$$

Nótese que la solución potencial α = 147,61° se excluye porque eso necesariamente daría α + β + γ > 180° .

Ejemplo 2

Si las longitudes de dos lados del triángulo a y b son iguales a x , el tercer lado tiene longitud c , y los ángulos opuestos a los lados de longitudes a , b y c son α , β y γ respectivamente, entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =\beta ={\frac {180^{\circ }-\gamma }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\\[6pt]&\sin \alpha =\sin \beta =\sin \left(90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {x}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{\sin \gamma }}=x\end{aligned}}}$$

En la identidad $${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}},}$$ El valor común de las tres fracciones es en realidad el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo . Este resultado se remonta a Ptolomeo . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Prueba

Como se muestra en la figura, sea un círculo con inscrito${\displaystyle \triangle ABC}$y otra inscripción${\displaystyle \triangle ADB}$que pasa por el centro del círculo O.${\displaystyle \angle AOD}$tiene un ángulo central de${\displaystyle 180^{\circ }}$y por lo tanto${\displaystyle \angle ABD=90^{\circ }}$, por el teorema de Tales . Dado que${\displaystyle \triangle ABD}$es un triángulo rectángulo, $${\displaystyle \sin {\delta }={\frac {\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}}={\frac {c}{2R}},}$$ dónde${\textstyle R={\frac {d}{2}}}$es el radio del círculo circunscrito del triángulo. ^{[ 3 ]} Ángulos${\displaystyle {\gamma }}$y${\displaystyle {\delta }}$yace en el mismo círculo y subtiende la misma cuerda c ; por lo tanto, por el teorema del ángulo inscrito ,${\displaystyle {\gamma }={\delta }}$. Por lo tanto, $${\displaystyle \sin {\delta }=\sin {\gamma }={\frac {c}{2R}}.}$$

Reorganizar los resultados $${\displaystyle 2R={\frac {c}{\sin {\gamma }}}.}$$

Repitiendo el proceso de creación${\displaystyle \triangle ADB}$con otros puntos da

${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R.}$

La ley esférica de los senos se refiere a triángulos en una esfera, cuyos lados son arcos de círculos máximos .

Supongamos que el radio de la esfera es  1. Sean a , b y c las longitudes de los arcos máximos que forman los lados del triángulo. Dado que se trata de una esfera unitaria, a , b y c son los ángulos en el centro de la esfera subtendidos por dichos arcos, expresados ​​en radianes. Sean A , B y C los ángulos opuestos a esos lados respectivos. Estos son ángulos diedros entre los planos de los tres círculos máximos.

Entonces, la ley esférica de los senos dice: $${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$$

Prueba vectorial

Consideremos una esfera unitaria con tres vectores unitarios OA , OB y ​​OC trazados desde el origen hasta los vértices del triángulo. Así, los ángulos α , β y γ son los ángulos a , b y c , respectivamente. El arco BC subtiende un ángulo de magnitud a en el centro. Introduzcamos una base cartesiana con OA a lo largo del eje z y OB en el plano xz formando un ángulo c con el eje z . El vector OC se proyecta sobre ON en el plano xy y el ángulo entre ON y el eje x es A. Por lo tanto, los tres vectores tienen componentes: $${\displaystyle \mathbf {OA} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OB} ={\begin{pmatrix}\sin c\\0\\\cos c\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OC} ={\begin{pmatrix}\sin b\cos A\\\sin b\sin A\\\cos b\end{pmatrix}}.}$$

El producto triple escalar OA ⋅ ( OB × OC ) es el volumen del paralelepípedo formado por los vectores de posición de los vértices del triángulo esférico OA , OB y ​​OC . Este volumen es invariante al sistema de coordenadas específico utilizado para representar OA , OB y ​​OC . El valor del producto triple escalar OA ⋅ ( OB × OC ) es el determinante de 3 × 3 con OA , OB y ​​OC como sus filas. Con el eje z a lo largo de OA, el cuadrado de este determinante es $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&=\left(\det {\begin{pmatrix}\mathbf {OA} &\mathbf {OB} &\mathbf {OC} \end{pmatrix}}\right)^{2}\\[4pt]&={\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}}$$ Repitiendo este cálculo con el eje z a lo largo de OB se obtiene (sin c sin a sin B ) ² , mientras que con el eje z a lo largo de OC es (sin a sin b sin C ) ² . Igualando estas expresiones y dividiendo en todo momento por (sin a sin b sin c ) ² se obtiene $${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}={\frac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}C}{\sin ^{2}c}}={\frac {V^{2}}{\sin ^{2}(a)\sin ^{2}(b)\sin ^{2}(c)}},}$$ donde V es el volumen del paralelepípedo formado por el vector de posición de los vértices del triángulo esférico. En consecuencia, se deduce el resultado.

Es fácil ver cómo para triángulos esféricos pequeños, cuando el radio de la esfera es mucho mayor que los lados del triángulo, esta fórmula se convierte en la fórmula plana en el límite, ya que $${\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin a}{a}}=1}$$ y lo mismo para sen b y sen c .

En geometría hiperbólica, cuando la curvatura es −1, la ley de los senos se convierte en: $${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}\,.}$$

En el caso especial en que B es un ángulo recto, se obtiene $${\displaystyle \sin C={\frac {\sinh c}{\sinh b}}}$$

que es el análogo de la fórmula en geometría euclidiana que expresa el seno de un ángulo como el lado opuesto dividido por la hipotenusa.

Definir una función seno generalizada, que dependa también de un parámetro real.${\displaystyle \kappa }$: $${\displaystyle \sin _{\kappa }(x)=x-{\frac {\kappa }{3!}}x^{3}+{\frac {\kappa ^{2}}{5!}}x^{5}-{\frac {\kappa ^{3}}{7!}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\kappa ^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}.}$$

La ley de los senos en curvatura constante${\displaystyle \kappa }$se lee como ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin _{\kappa }a}}={\frac {\sin B}{\sin _{\kappa }b}}={\frac {\sin C}{\sin _{\kappa }c}}\,.}$$

Al sustituir${\displaystyle \kappa =0}$,${\displaystyle \kappa =1}$, y${\displaystyle \kappa =-1}$, se obtiene respectivamente${\displaystyle \sin _{0}(x)=x}$,${\displaystyle \sin _{1}(x)=\sin x}$, y${\displaystyle \sin _{-1}(x)=\sinh x}$, es decir, los casos euclidiano, esférico e hiperbólico de la ley de los senos descrita anteriormente. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle p_{\kappa }(r)}$indicar la circunferencia de un círculo de radio${\displaystyle r}$en un espacio de curvatura constante${\displaystyle \kappa }$. Entonces${\displaystyle p_{\kappa }(r)=2\pi \sin _{\kappa }(r)}$Por lo tanto, la ley de los senos también puede expresarse como: $${\displaystyle {\frac {\sin A}{p_{\kappa }(a)}}={\frac {\sin B}{p_{\kappa }(b)}}={\frac {\sin C}{p_{\kappa }(c)}}\,.}$$

Esta formulación fue descubierta por János Bolyai . ^{[ 7 ]}

Un tetraedro tiene cuatro caras triangulares . El valor absoluto del seno polar ( psin ) de los vectores normales a las tres caras que comparten un vértice del tetraedro, dividido por el área de la cuarta cara, no dependerá de la elección del vértice: ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{b}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{c}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )\right|}{\mathrm {Area} _{d}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3~\mathrm {Volume} _{\mathrm {tetrahedron} })^{2}}{2~\mathrm {Area} _{a}\mathrm {Area} _{b}\mathrm {Area} _{c}\mathrm {Area} _{d}}}\,.\end{aligned}}}$$

De forma más general, para un símplex n -dimensional (es decir, triángulo ( n = 2 ), tetraedro ( n = 3 ), pentatopo ( n = 4 ), etc.) en el espacio euclidiano n- dimensional , el valor absoluto del seno polar de los vectores normales de las caras que se encuentran en un vértice, dividido por la hiperárea de la cara opuesta al vértice, es independiente de la elección del vértice. Si denotamos por V el hipervolumen del símplex n- dimensional y por P el producto de las hiperáreas de sus caras ( n − 1) -dimensionales, la razón común es $${\displaystyle {\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\ldots ,\mathbf {z} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}=\cdots ={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\ldots ,\mathbf {y} )\right|}{\mathrm {Area} _{z}}}={\frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)!P}}.}$$

Tenga en cuenta que cuando los vectores v ₁ , ..., v _n , desde un vértice seleccionado a cada uno de los otros vértices, son las columnas de una matriz V, entonces las columnas de la matriz${\displaystyle N=-V(V^{T}V)^{-1}{\sqrt {\det {V^{T}V}}}/(n-1)!}$son vectores normales orientados hacia afuera de aquellas facetas que se encuentran en el vértice seleccionado. Esta fórmula también funciona cuando los vectores están en un espacio m- dimensional con m > n . En el caso m = n de que V sea cuadrado, la fórmula se simplifica a${\displaystyle N=-(V^{T})^{-1}|\det {V}|/(n-1)!\,.}$

Un equivalente de la ley de los senos, que establece que los lados de un triángulo son proporcionales a las cuerdas del doble de los ángulos opuestos, era conocido por el astrónomo helenístico del siglo II, Ptolomeo , y lo utilizó ocasionalmente en su Almagesto . ^{[ 9 ]}

En la obra astronómica y trigonométrica del matemático indio Brahmagupta , del siglo VII, aparecen afirmaciones relacionadas con la ley de los senos . En su Brāhmasphuṭasiddhānta , Brahmagupta expresa el radio de la circunferencia circunscrita de un triángulo como el producto de dos lados dividido por el doble de la altura ; la ley de los senos se puede derivar expresando alternativamente la altura como el seno de uno u otro ángulo de la base multiplicado por su lado opuesto, e igualando las dos variantes resultantes. ^{[ 10 ]} Una ecuación aún más cercana a la ley moderna de los senos aparece en el Khaṇḍakhādyaka de Brahmagupta , en un método para hallar la distancia entre la Tierra y un planeta siguiendo un epiciclo ; sin embargo, Brahmagupta nunca trató la ley de los senos como un tema independiente ni la utilizó sistemáticamente para resolver triángulos. ^{[ 11 ]}

La ley esférica de los senos se atribuye a veces a los eruditos del siglo X Abu-Mahmud Khujandi o Abū al-Wafāʾ (aparece en su Almagesto ), pero se le da mayor importancia en el Tratado sobre la determinación de arcos esféricos de Abū Naṣr Manṣūr , y fue atribuida a Abū Naṣr Manṣūr por su alumno al-Bīrūnī en sus Claves de la astronomía . ^{[ 12 ]} El Libro de arcos desconocidos de una esfera de Ibn Muʿādh al-Jayyānī , del siglo XI, también contiene la ley esférica de los senos. ^{[ 13 ]}

El matemático persa del siglo XIII Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī enunció y demostró la ley planar de los senos: ^{[ 14 ]}

En cualquier triángulo plano, la razón entre los lados es igual a la razón entre los senos de los ángulos opuestos a esos lados. Es decir, en el triángulo ABC, tenemos AB  : AC = Sen(∠ACB)  : Sen(∠ABC).

Mediante la ley de los senos, al-Tusi podía resolver triángulos donde se conocían dos ángulos y un lado, o bien dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Para triángulos con dos lados y el ángulo comprendido, los dividía en triángulos rectángulos que luego podía resolver. Cuando se conocían tres lados, trazaba una línea perpendicular y utilizaba la Proposición II-13 de los Elementos de Euclides (una versión geométrica de la ley de los cosenos ). Al-Tusi estableció el importante resultado de que si se proporciona la suma o la diferencia de dos arcos junto con la razón de sus senos, entonces se pueden calcular los arcos. ^{[ 15 ]}

Según Glen Van Brummelen , "La Ley de los Senos es realmente el fundamento de Regiomontanus para sus soluciones de triángulos rectángulos en el Libro IV, y estas soluciones son a su vez las bases para sus soluciones de triángulos generales". ^{[ 16 ]} Regiomontanus fue un matemático alemán del siglo XV.

• Gersonides – Filósofo judío medieval 
• Fórmula de la mitad del lado : para resolver triángulos esféricos. 
• Ley de los cosenos
• Ley de las tangentes
• Ley de las cotangentes
• Fórmula de Mollweide : para comprobar soluciones de triángulos. 
• Solución de triángulos
• Topografía

• "Teorema del seno" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• La ley de los senos en cut-the-knot
• Grado de curvatura
• Cómo hallar el seno de 1 grado
• Ley generalizada de los senos a dimensiones superiores