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Articulo de referencia

Resolución de ecuaciones

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incógnita=−b±b2−4ado2a{\displaystyle {\overset {}{\underset {}{x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}}
La fórmula cuadrática , la solución simbólica de la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0
Ilustración del método de Newton
Un ejemplo del uso del método de Newton-Raphson para resolver numéricamente la ecuación f ( x ) = 0

En matemáticas , resolver una ecuación consiste en encontrar sus soluciones , que son los valores ( números , funciones , conjuntos , etc.) que satisfacen la condición que plantea la ecuación , y que generalmente consisten en dos expresiones relacionadas por un signo de igualdad . Al buscar una solución, una o más variables se designan como incógnitas . Una solución es la asignación de valores a las variables desconocidas que hace que la igualdad en la ecuación sea verdadera. En otras palabras, una solución es un valor o un conjunto de valores (uno por cada incógnita) que, al sustituir las incógnitas, hacen que la ecuación sea una igualdad . Una solución de una ecuación se suele llamar raíz de la ecuación, especialmente, aunque no exclusivamente, para ecuaciones polinómicas . El conjunto de todas las soluciones de una ecuación es su conjunto solución .

Una ecuación puede resolverse numéricamente o simbólicamente. Resolver una ecuación numéricamente significa que solo se admiten números como soluciones. Resolverla simbólicamente significa que se pueden usar expresiones para representar las soluciones.

Por ejemplo, la ecuación x + y = 2 x – 1 se resuelve para la incógnita x mediante la expresión x = y + 1 , porque al sustituir y + 1 por x en la ecuación se obtiene ( y + 1) + y = 2( y + 1) – 1 , una afirmación verdadera. También es posible tomar la variable y como la incógnita, y entonces la ecuación se resuelve mediante y = x – 1. O bien, x e y pueden tratarse como incógnitas, y entonces hay muchas soluciones para la ecuación; una solución simbólica es ( x , y ) = ( a + 1, a ) , donde la variable a puede tomar cualquier valor. Instanciar una solución simbólica con números específicos da una solución numérica; por ejemplo, a = 0 da ( x , y ) = (1, 0) (es decir, x = 1, y = 0 ), y a = 1 da ( x , y ) = (2, 1) .

La distinción entre variables conocidas y desconocidas se suele hacer en el enunciado del problema, mediante frases como «una ecuación en x e y » o «resolver para x e y », que indican las incógnitas, en este caso x e y . Sin embargo, es común reservar x , y , z , ... para denotar las incógnitas y usar a , b , c , ... para denotar las variables conocidas, que a menudo se denominan parámetros . Esto suele ocurrir al considerar ecuaciones polinómicas , como las ecuaciones cuadráticas . No obstante, en algunos problemas, todas las variables pueden asumir cualquiera de los dos roles.

Según el contexto, resolver una ecuación puede consistir en encontrar cualquier solución (con una sola basta), todas las soluciones o una solución que cumpla con otras propiedades, como pertenecer a un intervalo determinado . Cuando la tarea consiste en encontrar la mejor solución según algún criterio, se trata de un problema de optimización . Resolver un problema de optimización no se suele denominar "resolución de ecuaciones", ya que, por lo general, los métodos de resolución parten de una solución particular para encontrar una mejor y repiten el proceso hasta encontrar finalmente la mejor solución.

Descripción general

Una forma general de una ecuación es

F(incógnita1,…,incógnitanorte)=do,{\displaystyle f\left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)=c,}

donde f es una función , x 1 , ..., x n son las incógnitas y c es una constante. Sus soluciones son los elementos de la imagen inversa ( fibra ).

F−1(do)={(a1,…,anorte)∈D∣F(a1,…,anorte)=do},{\displaystyle f^{-1}(c)={\bigl \{}(a_{1},\dots ,a_{n})\in D\mid f\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)=c{\bigr \}},}

donde D es el dominio de la función f . El conjunto de soluciones puede ser el conjunto vacío (no hay soluciones), un conjunto unitario (hay exactamente una solución), finito o infinito (hay infinitas soluciones).

Por ejemplo, una ecuación como

3incógnita+2y=21z,{\displaystyle 3x+2y=21z,}

con incógnitas x , y y z , se puede poner en la forma anterior restando 21z de ambos lados de la ecuación, para obtener

3incógnita+2y−21z=0{\displaystyle 3x+2y-21z=0}

En este caso particular no hay una sola solución, sino un conjunto infinito de soluciones, que se pueden escribir utilizando la notación de construcción de conjuntos como

{(incógnita,y,z)∣3incógnita+2y−21z=0}.{\displaystyle {\bigl \{}(x,y,z)\mid 3x+2y-21z=0{\bigr \}}.}

Una solución particular es x = 0, y = 0, z = 0. Otras dos soluciones son x = 3, y = 6, z = 1 y x = 8, y = 9, z = 2. Existe un único plano en el espacio tridimensional que pasa por los tres puntos con estas coordenadas , y este plano es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas son soluciones de la ecuación.

Conjuntos de soluciones

El conjunto solución de la ecuación ⁠ x 2 / 4 ⁠ + y 2 = 1 forma una elipse cuando se interpreta como un conjunto de pares de coordenadas cartesianas .

El conjunto solución de un sistema de ecuaciones o desigualdades es el conjunto de todas sus soluciones. Una solución es una tupla de valores, uno por cada incógnita , que satisface todas las ecuaciones o desigualdades. Si el conjunto solución está vacío, entonces no existen valores de las incógnitas que satisfagan simultáneamente todas las ecuaciones y desigualdades.

Como ejemplo sencillo, consideremos la ecuación

incógnita2=2.{\displaystyle x^{2}=2.}

Esta ecuación puede considerarse una ecuación diofántica , es decir, una ecuación para la cual solo se buscan soluciones enteras . En este caso, el conjunto solución es el conjunto vacío , ya que 2 no es el cuadrado de un número entero. Sin embargo, si se buscan soluciones reales , existen dos soluciones: √2 y –√2 ; en otras palabras, el conjunto solución es { √2 , –√2 } .

Cuando una ecuación contiene varias incógnitas, y cuando se tienen varias ecuaciones con más incógnitas que ecuaciones, el conjunto de soluciones suele ser infinito. En este caso, las soluciones no pueden enumerarse. Para representarlas, suele ser útil una parametrización , que consiste en expresar las soluciones en términos de algunas de las incógnitas o variables auxiliares. Esto siempre es posible cuando todas las ecuaciones son lineales .

Estos conjuntos infinitos de soluciones pueden interpretarse naturalmente como figuras geométricas como líneas , curvas (véase la imagen), planos y, más generalmente, variedades algebraicas o multivariantes . En particular, la geometría algebraica puede considerarse como el estudio de los conjuntos de soluciones de ecuaciones algebraicas .

Métodos de solución

Los métodos para resolver ecuaciones generalmente dependen del tipo de ecuación, tanto de las expresiones que contiene como de los valores que pueden tomar las incógnitas. Existe una gran variedad de tipos de ecuaciones, al igual que de métodos para resolverlas. A continuación, se mencionan solo algunos tipos específicos.

En general, dada una clase de ecuaciones, puede que no exista un método sistemático conocido ( algoritmo ) que garantice su eficacia. Esto puede deberse a la falta de conocimientos matemáticos; algunos problemas solo se resolvieron tras siglos de esfuerzo. Pero esto también refleja que, en general, tal método no puede existir: se sabe que algunos problemas son irresolubles mediante un algoritmo, como el décimo problema de Hilbert , cuya irresolubilidad se demostró en 1970.

Para varias clases de ecuaciones, se han encontrado algoritmos para resolverlas, algunos de los cuales se han implementado e incorporado a sistemas de álgebra computacional , pero a menudo no requieren tecnología más sofisticada que lápiz y papel. En otros casos, se conocen métodos heurísticos que suelen ser eficaces, pero que no garantizan el éxito.

Fuerza bruta, ensayo y error, intuición inspirada.

Si el conjunto de soluciones de una ecuación está restringido a un conjunto finito (como ocurre con las ecuaciones en aritmética modular , por ejemplo) o puede limitarse a un número finito de posibilidades (como sucede con algunas ecuaciones diofánticas ), el conjunto de soluciones puede hallarse por fuerza bruta , es decir, probando cada uno de los valores posibles ( soluciones candidatas ). Sin embargo, puede darse el caso de que el número de posibilidades a considerar, aunque finito, sea tan grande que una búsqueda exhaustiva no sea factible en la práctica; de hecho, este es un requisito para los métodos de cifrado robustos .

Como ocurre con cualquier tipo de resolución de problemas , el método de ensayo y error a veces puede dar con una solución, sobre todo cuando la forma de la ecuación, o su similitud con otra ecuación de solución conocida, puede llevar a una suposición inspirada. Si, al comprobarla, una suposición resulta ser una solución, analizar el motivo del fallo puede conducir a una suposición modificada.

Álgebra elemental

Ecuaciones que involucran funciones lineales o racionales simples de una única incógnita de valor real, digamos x , como por ejemplo:

8incógnita+7=4incógnita+35o4incógnita+93incógnita+4=2,{\displaystyle 8x+7=4x+35\quad {\text{o}}\quad {\frac {4x+9}{3x+4}}=2\,,}

se puede resolver utilizando los métodos del álgebra elemental .

Sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales más pequeños pueden resolverse de igual manera mediante métodos de álgebra elemental. Para resolver sistemas más grandes, se utilizan algoritmos basados ​​en álgebra lineal . Véase Eliminación gaussiana y solución numérica de sistemas lineales .

Ecuaciones polinómicas

Las ecuaciones polinómicas de grado hasta cuatro se pueden resolver exactamente mediante métodos algebraicos, de los cuales la fórmula cuadrática es el ejemplo más sencillo. Las ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior requieren, en general, métodos numéricos (véase más abajo) o funciones especiales como Bring radicals , aunque algunos casos específicos pueden resolverse algebraicamente, por ejemplo

4incógnita5−incógnita3−3=0{\displaystyle 4x^{5}-x^{3}-3=0}

(utilizando el teorema de la raíz racional ), y

incógnita6−5incógnita3+6=0,{\displaystyle x^{6}-5x^{3}+6=0\,,}

(utilizando la sustitución x = z 1 ⁄ 3 , que simplifica esto a una ecuación cuadrática en z ).

Ecuaciones diofánticas

En las ecuaciones diofánticas, se requiere que las soluciones sean números enteros . En algunos casos, se puede utilizar un método de fuerza bruta, como se mencionó anteriormente. En otros casos, en particular si la ecuación tiene una sola incógnita, es posible resolverla para incógnitas con valores racionales (véase el teorema de la raíz racional ) y luego encontrar soluciones a la ecuación diofántica restringiendo el conjunto de soluciones a soluciones con valores enteros. Por ejemplo, la ecuación polinómica

2incógnita5−5incógnita4−incógnita3−7incógnita2+2incógnita+3=0{\displaystyle 2x^{5}-5x^{4}-x^{3}-7x^{2}+2x+3=0\,}

tiene como soluciones racionales x = − ⁠ 1 / 2 ⁠ y x = 3 , y por lo tanto, vista como una ecuación diofántica, tiene la única solución x = 3 .

En general, sin embargo, las ecuaciones diofánticas se encuentran entre las ecuaciones más difíciles de resolver.

Funciones inversas

En el caso simple de una función de una variable, digamos h ( x ) , podemos resolver una ecuación de la forma h ( x ) = c para alguna constante c considerando lo que se conoce como la función inversa de h .

Dada una función h  : A → B , la función inversa, denotada h −1 y definida como h −1  : B → A , es una función tal que

h−1(h(incógnita))=h(h−1(incógnita))=incógnita.{\displaystyle h^{-1}{\bigl (}h(x){\bigr )}=h{\bigl (}h^{-1}(x){\bigr )}=x\,.}

Ahora, si aplicamos la función inversa a ambos lados de h ( x ) = c , donde c es un valor constante en B , obtenemos

h−1(h(incógnita))=h−1(do)incógnita=h−1(do){\displaystyle {\begin{aligned}h^{-1}{\bigl (}h(x){\bigr )}&=h^{-1}(c)\\x&=h^{-1}(c)\\\end{aligned}}}

Hemos encontrado la solución a la ecuación. Sin embargo, dependiendo de la función, la inversa puede ser difícil de definir, o puede no ser una función en todo el conjunto B (solo en un subconjunto), y tener muchos valores en algún punto.

Si basta con una sola solución, en lugar del conjunto completo de soluciones, en realidad es suficiente con que solo se utilice la identidad funcional.

h(h−1(incógnita))=incógnita{\displaystyle h\left(h^{-1}(x)\right)=x}

se cumple. Por ejemplo, la proyección π 1  : R 2 → R definida por π 1 ( x , y ) = x no tiene postinversa, pero tiene una preinversa π −1 1 definida por π −1 1 ( x ) = ( x , 0) . De hecho, la ecuación π 1 ( x , y ) = c se resuelve mediante

(incógnita,y)=π1−1(do)=(do,0).{\displaystyle (x,y)=\pi _{1}^{-1}(c)=(c,0).}

Ejemplos de funciones inversas incluyen la raíz enésima (inversa de x n ); el logaritmo (inverso de a x ); las funciones trigonométricas inversas ; y la función W de Lambert (inversa de xe x ).

Factorización

Si la expresión del lado izquierdo de una ecuación P = 0 se puede factorizar como P = QR , el conjunto de soluciones de la solución original consiste en la unión de los conjuntos de soluciones de las dos ecuaciones Q = 0 y R = 0. Por ejemplo, la ecuación

broncearse⁡incógnita+cuna⁡incógnita=2{\displaystyle \tan x+\cot x=2}

se puede reescribir, usando la identidad tan x cot x = 1 como

broncearse2⁡incógnita−2broncearse⁡incógnita+1broncearse⁡incógnita=0,{\displaystyle {\frac {\tan ^{2}x-2\tan x+1}{\tan x}}=0,}

que se puede factorizar en

(broncearse⁡incógnita−1)2broncearse⁡incógnita=0.{\displaystyle {\frac {\left(\tan x-1\right)^{2}}{\tan x}}=0.}

Las soluciones son, por lo tanto, las soluciones de la ecuación tan x = 1 , y son, por lo tanto, el conjunto

incógnita=π4+kπ,k=0,±1,±2,….{\displaystyle x={\tfrac {\pi }{4}}+k\pi ,\quad k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots .}

Métodos numéricos

Con ecuaciones más complejas en números reales o complejos , los métodos sencillos para resolverlas pueden resultar ineficaces. A menudo, se pueden utilizar algoritmos de búsqueda de raíces, como el método de Newton-Raphson, para hallar una solución numérica a una ecuación, lo cual, en algunas aplicaciones, puede ser suficiente para resolver ciertos problemas. También existen métodos numéricos para sistemas de ecuaciones lineales .

Ecuaciones matriciales

Las ecuaciones que involucran matrices y vectores de números reales a menudo se pueden resolver utilizando métodos del álgebra lineal .

Ecuaciones diferenciales

Existe un amplio conjunto de métodos para resolver diversos tipos de ecuaciones diferenciales , tanto numérica como analíticamente . Una clase particular de problemas que puede considerarse incluida aquí es la integración , y los métodos analíticos para resolver este tipo de problemas se denominan ahora integración simbólica . Las soluciones de las ecuaciones diferenciales pueden ser implícitas o explícitas . [ 1 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Dennis G. Zill (15 de marzo de 2012). Un primer curso de ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado . Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.