Resolver las ecuaciones geodésicas

La resolución de las ecuaciones geodésicas es un procedimiento utilizado en matemáticas , particularmente en geometría riemanniana , y en física , especialmente en relatividad general , que permite obtener geodésicas . Físicamente, estas representan las trayectorias de partículas (generalmente ideales) sin aceleración propia , cuyo movimiento satisface las ecuaciones geodésicas. Dado que las partículas no están sujetas a aceleración propia, las geodésicas generalmente representan la trayectoria más recta entre dos puntos en un espaciotiempo curvo .

En una variedad riemanniana n- dimensional${\displaystyle M}$, la ecuación geodésica escrita en una carta de coordenadas con coordenadas${\displaystyle x^{a}}$es:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{a}}{ds^{2}}}+{\Gamma ^{a}}_{bc}{\frac {dx^{b}}{ds}}{\frac {dx^{c}}{ds}}=0}$

donde las coordenadas x ^a ( s ) se consideran como las coordenadas de una curva γ( s ) en${\displaystyle M}$y${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}}$son los símbolos de Christoffel de segunda especie. Los símbolos de Christoffel son funciones de la métrica y están dados por:

${\displaystyle {\Gamma ^{a}}_{bc}={\frac {1}{2}}g^{ad}\left(g_{cd,b}+g_{bd,c}-g_{bc,d}\right)}$

donde la coma indica una derivada parcial con respecto a las coordenadas:

${\displaystyle g_{ab,c}={\frac {\partial {g_{ab}}}{\partial {x^{c}}}}}$

Como el colector tiene dimensión${\displaystyle n}$, las ecuaciones geodésicas son un sistema de${\displaystyle n}$ecuaciones diferenciales ordinarias para la${\displaystyle n}$variables de coordenadas. Así, junto con las condiciones iniciales , el sistema puede resolverse según el teorema de Picard-Lindelöf . También se puede utilizar un enfoque lagrangiano para el problema: definiendo

${\displaystyle L={\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}}}}$

y aplicando la ecuación de Euler-Lagrange .

Dado que las leyes de la física pueden escribirse en cualquier sistema de coordenadas , resulta conveniente elegir uno que simplifique las ecuaciones geodésicas. Matemáticamente, esto significa que se elige un sistema de coordenadas en el que las ecuaciones geodésicas tengan una forma particularmente manejable. Por ejemplo, consideremos una variedad con simetría rotacional: una elección natural sería un sistema de coordenadas que coincida con la simetría de la variedad, y como resultado, la(s) ecuación(es) geodésica(s) se simplificarán enormemente. Esto es una consecuencia directa del teorema de Noether , por ejemplo, cualquier superficie de revolución corresponde a la conservación del momento angular.

Cuando las ecuaciones geodésicas se pueden separar en términos que contienen solo una variable indiferenciada y términos que contienen solo su derivada , los primeros se pueden consolidar en un potencial efectivo que depende únicamente de la posición. En este caso, se aplican muchos de los métodos heurísticos para analizar diagramas de energía , en particular la localización de puntos de inflexión.

Resolver las ecuaciones geodésicas implica obtener una solución exacta, posiblemente incluso la solución general . La mayoría de los ataques emplean secretamente el grupo de simetría puntual del sistema de ecuaciones geodésicas. Esto suele proporcionar un resultado que ofrece implícitamente una familia de soluciones, pero en muchos casos sí proporciona la solución general de forma explícita.

En la relatividad general, para obtener geodésicas de tipo temporal , a menudo lo más sencillo es partir de la métrica del espaciotiempo , después de dividir por${\displaystyle ds^{2}}$para obtener el formulario

${\displaystyle -1=g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}$

donde el punto representa la diferenciación con respecto a${\displaystyle s}$Dado que las geodésicas de tipo temporal son máximas , se puede aplicar directamente la ecuación de Euler-Lagrange y, por lo tanto, obtener un conjunto de ecuaciones equivalentes a las ecuaciones geodésicas. Este método tiene la ventaja de evitar el tedioso cálculo de los símbolos de Christoffel .

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