mapa equiárea

En geometría diferencial , una transformación equiareal , a veces llamada transformación autálica , es una transformación suave de una superficie a otra que conserva las áreas de las figuras.

Si M y N son dos superficies riemannianas (o pseudoriemannianas ), entonces una aplicación equiárea f de M a N puede caracterizarse por cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

• El área de superficie de f ( U ) es igual al área de U para cada conjunto abierto U en M .
• El retroceso del elemento de área μ _N en N es igual a μ _M , el elemento de área en M .
• En cada punto p de M , y vectores tangentes v y w a M en p ,

$${\displaystyle {\bigl |}df_{p}(v)\wedge df_{p}(w){\bigr |}=|v\wedge w|\,}$$

dónde${\textstyle \wedge }$denota el producto euclidiano de vectores y df denota el avance a lo largo de f .

Toda isometría euclidiana del plano euclidiano es equiárea, pero lo contrario no es cierto. De hecho, el mapeo de cizallamiento y el mapeo de compresión son contraejemplos de lo contrario.

El mapeo de corte transforma un rectángulo en un paralelogramo de la misma área. Escrito en forma matricial, un mapeo de corte a lo largo del eje x es

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+vy\\y\end{pmatrix}}.}$

El mapeo de compresión alarga y contrae los lados de un rectángulo de forma recíproca, de modo que se conserva el área. Escrito en forma matricial, con λ > 1, el mapeo de compresión se lee:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&1/\lambda \end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda x\\y/\lambda .\end{pmatrix}}}$

Una transformación lineal${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$multiplica áreas por el valor absoluto de su determinante | ad – bc | .

La eliminación gaussiana muestra que toda transformación lineal equiárea ( rotaciones incluidas) se puede obtener componiendo como máximo dos cortes a lo largo de los ejes, una compresión y (si el determinante es negativo) una reflexión .

En el contexto de los mapas geográficos , una proyección cartográfica se denomina de igual área , equivalente , autálica , equiareal o que conserva el área , si las áreas se conservan hasta un factor constante; al incrustar el mapa objetivo, generalmente considerado un subconjunto de R ² , de la manera obvia en R ³ , el requisito anterior se debilita entonces a:

${\displaystyle |df_{p}(v)\times df_{p}(w)|=\kappa |v\times w|}$

para algún κ > 0 que no depende de${\displaystyle v}$y${\displaystyle w}$Para ver ejemplos de dichas proyecciones, consulte la proyección cartográfica de áreas iguales .

• Matriz jacobiana y determinante

• Pressley, Andrew (2001), Geometría diferencial elemental , Springer Undergraduate Mathematics Series, Londres: Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-152-8, MR 1800436