Teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien

En geometría , el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien , ^{[ 1 ]} llamado así por William Wallace , Farkas Bolyai y P. Gerwien , es un teorema relacionado con la disección de polígonos . Responde a la pregunta de si un polígono puede formarse a partir de otro dividiéndolo en un número finito de piezas y recomponiéndolas mediante traslaciones y rotaciones . El teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien establece que esto puede hacerse si y solo si dos polígonos tienen la misma área .

Wallace ya había demostrado el mismo resultado en 1807.

Según otras fuentes, Bolyai y Gerwien demostraron el teorema de forma independiente en 1833 y 1835, respectivamente.

Existen varias formas de formular este teorema. La versión más común utiliza el concepto de "equidescomponibilidad" de polígonos: dos polígonos son equidescomponibles si pueden dividirse en un número finito de triángulos que solo difieren por alguna isometría (de hecho, solo por una combinación de traslación y rotación). En este caso, el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien establece que dos polígonos son equidescomponibles si y solo si tienen la misma área.

Otra formulación se basa en la congruencia de tijera : dos polígonos son congruentes de tijera si pueden descomponerse en un número finito de polígonos que son congruentes entre sí . La congruencia de tijera es una relación de equivalencia . En este caso, el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien establece que las clases de equivalencia de esta relación contienen precisamente aquellos polígonos que tienen la misma área.

El teorema se puede comprender en unos pocos pasos. Primero, todo polígono se puede dividir en triángulos. Existen varios métodos para ello. Para polígonos convexos, se puede cortar cada vértice por separado, mientras que para polígonos cóncavos se requiere más cuidado. Un método general que también funciona para polígonos no simples consiste en elegir una línea que no sea paralela a ninguno de los lados del polígono y trazar una línea paralela a esta que pase por cada uno de los vértices. Esto dividirá el polígono en triángulos y trapecios , que a su vez se pueden convertir en triángulos.

En segundo lugar, cada uno de estos triángulos puede transformarse en un triángulo rectángulo y, posteriormente, en un rectángulo con un lado de longitud 1. Alternativamente, un triángulo puede transformarse en un rectángulo convirtiéndolo primero en un paralelogramo y luego transformando este en un rectángulo. Al hacer esto con cada triángulo, el polígono puede descomponerse en un rectángulo con ancho unitario y una altura igual a su área.

Dado que esto se puede aplicar a cualquier par de polígonos, una subdivisión común del rectángulo intermedio demuestra el teorema. Es decir, al dividir el rectángulo común (de tamaño 1 por su área) según ambos polígonos, se obtendrá un rectángulo intermedio entre ellos.

En primer lugar, esta demostración requiere un polígono intermedio. En la formulación del teorema mediante la congruencia de tijera, el uso de este polígono intermedio puede reformularse aprovechando que las congruencias de tijera son transitivas. Dado que tanto el primer polígono como el segundo son congruentes de tijera con el intermedio, también lo son entre sí.

La demostración de este teorema es constructiva y no requiere el axioma de elección , aunque otros problemas de disección (por ejemplo, el problema de la cuadratura del círculo de Tarski ) sí lo necesitan. En este caso, la descomposición y el reensamblaje pueden realizarse físicamente: en teoría, las piezas pueden cortarse con tijeras de papel y reensamblarse a mano.

No obstante, el número de piezas necesarias para componer un polígono a partir de otro utilizando este procedimiento generalmente supera con creces el número mínimo de polígonos necesarios. ^{[ 2 ]}

Consideremos dos polígonos equidescomponibles P y Q. El número mínimo n de piezas necesarias para componer un polígono Q a partir de otro polígono P se denota por σ( P , Q ).

Dependiendo de los polígonos, es posible estimar límites superiores e inferiores para σ( P , Q ). Por ejemplo, Alfred Tarski demostró que si P es convexo y los diámetros de P y Q están dados respectivamente por d( P ) y d( Q ), entonces ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \sigma (P,Q)\geq {\frac {d(P)}{d(Q)}}.}$

Si P _x es un rectángulo de lados a · x y a · (1/ x ) y Q es un cuadrado de lado a , entonces P _x y Q son equidescomponibles para todo x > 0. Una cota superior para σ( P _x , Q ) viene dada por ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \sigma (P_{x},Q)\leq 2+\left\lceil {\sqrt {x^{2}-1}}\right\rceil ,\quad {\text{para }}x\geq 1.}$

Dado que σ( P _x , Q ) = σ( P _{(1/ x )} , Q ), también tenemos que

${\displaystyle \sigma \left(P_{\frac {1}{x}},Q\right)\leq 2+\left\lceil {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right\rceil ,\quad {\text{para }}x\leq 1.}$

La afirmación análoga sobre poliedros en tres dimensiones, conocida como el tercer problema de Hilbert , es falsa, como demostró Max Dehn en 1900. El problema también se ha considerado en algunas geometrías no euclidianas . En geometría hiperbólica y esférica bidimensional , el teorema se cumple. Sin embargo, el problema sigue abierto para estas geometrías en tres dimensiones.

• Teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien
• Congruencia de tijeras : una demostración interactiva del teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien.
• Vídeo que muestra un boceto de la prueba.
• Un ejemplo del teorema de Bolyai-Gerwien por Sándor Kabai, Ferenc Holló Szabó y Lajos Szilassi , el proyecto de demostraciones Wolfram .
• Presentación sobre el tercer problema de Hilbert en el College of Staten Island de la CUNY - Abhijit Champanerkar.
• Disección óptima de un cuadrado unitario en un rectángulo