Diámetro de un conjunto

En matemáticas, el diámetro de un conjunto de puntos en un espacio métrico es la mayor distancia entre puntos de dicho conjunto. Como caso particular importante, el diámetro de un espacio métrico es la mayor distancia entre dos puntos cualesquiera del espacio. Esto generaliza el diámetro de un círculo, que es la mayor distancia entre dos puntos de la circunferencia. Este uso del término diámetro también se da en la terminología médica en relación con una lesión o en geología en relación con una roca.

Un conjunto acotado es un conjunto cuyo diámetro es finito. Dentro de un conjunto acotado, todas las distancias son como máximo iguales al diámetro.

El diámetro de un objeto es el límite superior mínimo (denotado "sup") del conjunto de todas las distancias entre pares de puntos en el objeto. Explícitamente, si${\displaystyle S}$es un conjunto de puntos con distancias medidas por una métrica${\displaystyle \rho }$, el diámetro es ^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle \operatorname {diam} (S)=\sup _{x,y\in S}\rho (x,y).}$$

Para cualquier conjunto acotado en el plano euclidiano o en el espacio euclidiano , el diámetro del objeto o conjunto es igual al diámetro de su envoltura convexa . Para cualquier figura convexa en el plano , el diámetro es la mayor distancia que se puede formar entre dos líneas paralelas opuestas tangentes a su límite. ^{[ 4 ]}

En geometría diferencial , el diámetro es un importante invariante riemanniano global . Todo conjunto compacto en una variedad riemanniana , y toda variedad riemanniana compacta en sí misma, tiene un diámetro finito. Por ejemplo, la esfera unitaria de cualquier dimensión, vista como una variedad riemanniana, tiene diámetro${\displaystyle \pi }$Esto difiere de su diámetro como subconjunto del espacio euclidiano (que sería igual a dos) porque, como variedad riemanniana, las distancias se miden a lo largo de geodésicas dentro de la variedad. ^{[ 10 ]}

En una variedad riemanniana cuya curvatura de Ricci tiene una cota inferior constante positiva, el diámetro también está acotado por el teorema de Myers . Según el teorema del diámetro máximo de Cheng , la única variedad con el mayor diámetro para una cota inferior de curvatura dada es una esfera con esa curvatura. El teorema lleva el nombre de Shiu-Yuen Cheng , quien lo publicó en 1975. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

En teoría de grafos , el diámetro de un grafo conexo no dirigido es la distancia máxima entre dos cualesquiera de sus vértices. Es decir, es el diámetro de un conjunto, para el conjunto de vértices del grafo, y para la distancia del camino más corto en el grafo. El diámetro puede considerarse tanto para grafos ponderados como para grafos no ponderados. Los investigadores han estudiado el problema del cálculo del diámetro, tanto en grafos arbitrarios como en clases especiales de grafos.

Entre los casos especiales de diámetro de grafo se incluyen el diámetro de un grupo , definido mediante un grafo de Cayley con el mayor diámetro posible para un grupo dado, y el diámetro del grafo de inversión de triangulaciones de un conjunto de puntos, que es el número mínimo de movimientos locales necesarios para transformar una triangulación en otra para dos triangulaciones elegidas para que estén lo más alejadas posible.