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Articulo de referencia

Fuga espectral

La transformada de Fourier de una función del tiempo, s ( t ) {\displaystyle s(t)} , es una función de frecuencia de valor complejo, S ( F ) {\displaystyle S(f)} , a menudo deno...

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La transformada de Fourier de una función del tiempo,s(t){\displaystyle s(t)}, es una función de frecuencia de valor complejo,S(F){\displaystyle S(f)}, a menudo denominado espectro de frecuencia . Cualquier operación lineal invariante en el tiempo sobres(t){\displaystyle s(t)}produce un nuevo espectro de la formaH(F)∗S(F){\displaystyle H(f)*S(f)}, que cambia las magnitudes relativas y/o los ángulos ( fase ) de los valores distintos de cero deS(F){\displaystyle S(f)}Cualquier otro tipo de operación crea nuevos componentes de frecuencia que pueden denominarse fugas espectrales en el sentido más amplio. El muestreo , por ejemplo, produce fugas, que llamamos alias del componente espectral original. Para los fines de la transformada de Fourier , el muestreo se modela como un producto entres(t){\displaystyle s(t)}y una función peine de Dirac . El espectro de un producto es la convolución entreS(F){\displaystyle S(f)}y otra función, que inevitablemente crea los nuevos componentes de frecuencia. Pero el término "fuga" generalmente se refiere al efecto de la ventana , que es el producto des(t){\displaystyle s(t)}con otro tipo de función, la función ventana . Las funciones ventana tienen una duración finita, pero eso no es necesario para que se produzcan fugas. Basta con multiplicarlas por una función que varía con el tiempo.

Análisis espectral

La transformada de Fourier de la función cos( ωt ) es cero, excepto en la frecuencia  ± ω . Sin embargo, muchas otras funciones y formas de onda no poseen transformadas analíticas convenientes. Alternativamente, podría interesarle su contenido espectral solo durante un período de tiempo determinado. En ambos casos, la transformada de Fourier (o una transformada similar) puede aplicarse a uno o más intervalos finitos de la forma de onda. En general, la transformada se aplica al producto de la forma de onda y una función de ventana. Cualquier ventana (incluida la rectangular) afecta la estimación espectral calculada mediante este método.

Los efectos se caracterizan más fácilmente por su efecto sobre una función sinusoidal s(t), cuya transformada de Fourier sin ventana es cero para todas las frecuencias excepto una. La frecuencia habitual elegida es 0  Hz, porque la transformada de Fourier con ventana es simplemente la transformada de Fourier de la propia función de ventana (véase §  Ejemplos de funciones de ventana ) :

F{w(t)⋅porque⁡(2π0t)⏟1}=F{w(t)}.{\displaystyle {\mathcal {F}}\{w(t)\cdot \underbrace {\cos(2\pi 0t)} _{1}\}={\mathcal {F}}\{w(t)\}.}

Cuando se aplican tanto el muestreo como el uso de ventanas a s(t), en cualquier orden, la fuga causada por el uso de ventanas es una propagación relativamente localizada de los componentes de frecuencia, con un efecto de desenfoque frecuente, mientras que el aliasing causado por el muestreo es una repetición periódica de todo el espectro desenfocado.

Figura 1: Comparación de dos funciones de ventana en términos de sus efectos sobre sinusoides de igual amplitud con ruido aditivo. La sinusoide en el bin −20 no presenta ondulaciones, mientras que la del bin +20,5 muestra ondulaciones extremas. La ventana rectangular produce las mayores ondulaciones, pero también picos más estrechos y un menor nivel de ruido. Una tercera sinusoide con amplitud de −16 dB sería perceptible en el espectro superior, pero no en el inferior.
Figura 2: El uso de una ventana para una sinusoide provoca fugas espectrales, incluso si la sinusoide tiene un número entero de ciclos dentro de una ventana rectangular. La fuga es evidente en la segunda fila, traza azul. Es la misma cantidad que la traza roja, que representa una frecuencia ligeramente mayor que no tiene un número entero de ciclos. Cuando la sinusoide se muestrea y se le aplica una ventana, su transformada de Fourier de tiempo discreto también presenta el mismo patrón de fuga (filas 3 y 4). Pero cuando la DTFT se muestrea solo de forma dispersa, a un cierto intervalo, es posible (dependiendo del punto de vista) (1) evitar la fuga, o (2) crear la ilusión de que no hay fuga. Para el caso de la DTFT de la sinusoide azul (tercera fila de gráficos, lado derecho), esas muestras son las salidas de la transformada discreta de Fourier (DFT). La DTFT sinusoidal roja (cuarta fila) tiene el mismo intervalo de cruces por cero, pero las muestras de DFT caen entre ellos, y se revela la fuga.

Elección de la función de ventana

La aplicación de una ventana a una forma de onda simple como cos( ωt ) provoca que su transformada de Fourier desarrolle valores distintos de cero (comúnmente llamados fugas espectrales) en frecuencias distintas de ω . La fuga tiende a ser peor (mayor) cerca de ω y menor en las frecuencias más alejadas de ω . 

Si la forma de onda bajo análisis comprende dos sinusoides de frecuencias diferentes, la fuga puede interferir con nuestra capacidad para distinguirlas espectralmente. Los posibles tipos de interferencia a menudo se dividen en dos clases opuestas de la siguiente manera: Si las frecuencias de los componentes son diferentes y un componente es más débil, entonces la fuga del componente más fuerte puede ocultar la presencia del más débil. Pero si las frecuencias son demasiado similares, la fuga puede hacer que no se puedan resolver incluso cuando las sinusoides tienen la misma intensidad. Las ventanas que son efectivas contra el primer tipo de interferencia, es decir, donde los componentes tienen frecuencias y amplitudes diferentes, se llaman de alto rango dinámico . Por el contrario, las ventanas que pueden distinguir componentes con frecuencias y amplitudes similares se llaman de alta resolución .

La ventana rectangular es un ejemplo de ventana de alta resolución pero bajo rango dinámico , lo que significa que es buena para distinguir componentes de amplitud similar incluso cuando las frecuencias son cercanas, pero deficiente para distinguir componentes de amplitud diferente incluso cuando las frecuencias son muy distantes. Las ventanas de alta resolución y bajo rango dinámico, como la rectangular, también poseen alta sensibilidad , es decir, la capacidad de revelar señales sinusoidales relativamente débiles en presencia de ruido aleatorio aditivo. Esto se debe a que el ruido produce una respuesta más intensa con ventanas de alto rango dinámico que con ventanas de alta resolución.

En el otro extremo de la gama de tipos de ventanas se encuentran las ventanas con alto rango dinámico pero baja resolución y sensibilidad. Las ventanas de alto rango dinámico se justifican con mayor frecuencia en aplicaciones de banda ancha , donde se espera que el espectro analizado contenga muchos componentes diferentes de diversas amplitudes.

Entre los extremos se encuentran las ventanas intermedias, como las de Hann y Hamming . Se utilizan habitualmente en aplicaciones de banda estrecha , como el espectro de un canal telefónico.

En resumen, el análisis espectral implica una compensación entre la resolución de componentes de fuerza comparables con frecuencias similares ( alta resolución/sensibilidad ) y la resolución de componentes de fuerza dispares con frecuencias diferentes ( alto rango dinámico ). Esta compensación se produce al elegir la función de ventana. [ 1 ] : p.90

Señales de tiempo discreto

Cuando la forma de onda de entrada se muestrea en el tiempo, en lugar de ser continua, el análisis generalmente se realiza aplicando una función de ventana y luego una transformada discreta de Fourier (DFT). Pero la DFT solo proporciona un muestreo disperso del espectro real de la transformada discreta de Fourier en el tiempo (DTFT). La figura 2, fila 3 muestra una DTFT para una sinusoide con ventana rectangular. La frecuencia real de la sinusoide se indica como "13" en el eje horizontal. Todo lo demás es fuga, exagerada por el uso de una presentación logarítmica. La unidad de frecuencia es "bins de DFT"; es decir, los valores enteros en el eje de frecuencia corresponden a las frecuencias muestreadas por la DFT. [ 2 ] : p.56 ec.(16) Así que la figura representa un caso en el que la frecuencia real de la sinusoide coincide con una muestra de DFT, y el valor máximo del espectro se mide con precisión mediante esa muestra. En la fila 4, se desvía 1/2 del valor máximo , y el error de medición resultante se denomina pérdida por ondulación ( inspirada en la forma del pico). Para una frecuencia conocida, como una nota musical o una señal de prueba sinusoidal, la coincidencia de la frecuencia con un bin de la DFT se puede preconfigurar eligiendo una frecuencia de muestreo y una longitud de ventana que dé como resultado un número entero de ciclos dentro de la ventana.

Figura 3: Esta figura compara las pérdidas de procesamiento de tres funciones de ventana para entradas sinusoidales, con pérdida de ondulación mínima y máxima.

Ancho de banda de ruido

Los conceptos de resolución y rango dinámico tienden a ser algo subjetivos, dependiendo de lo que el usuario realmente esté tratando de hacer. Pero también tienden a estar altamente correlacionados con la fuga total, que es cuantificable. Generalmente se expresa como un ancho de banda equivalente, B. Se puede pensar como una redistribución de la DTFT en una forma rectangular con una altura igual al máximo espectral y un ancho B. [ A ] [ 3 ] Cuanto mayor sea la fuga, mayor será el ancho de banda. A veces se le llama ancho de banda equivalente de ruido o ancho de banda de ruido equivalente , porque es proporcional a la potencia promedio que será registrada por cada bin de DFT cuando la señal de entrada contiene un componente de ruido aleatorio (o es simplemente ruido aleatorio). Un gráfico del espectro de potencia , promediado en el tiempo, generalmente revela un piso de ruido plano , causado por este efecto. La altura del piso de ruido es proporcional a B. Por lo tanto, dos funciones de ventana diferentes pueden producir diferentes pisos de ruido, como se ve en las figuras 1 y 3.

Ganancias y pérdidas de procesamiento

En el procesamiento de señales , se eligen operaciones para mejorar algún aspecto de la calidad de una señal aprovechando las diferencias entre la señal y las influencias que la corrompen. Cuando la señal es una sinusoide corrompida por ruido aleatorio aditivo, el análisis espectral distribuye los componentes de señal y ruido de manera diferente, lo que a menudo facilita la detección de la señal o la medición de ciertas características, como la amplitud y la frecuencia. En efecto, la relación señal-ruido (SNR) mejora al distribuir el ruido de manera uniforme, mientras que la mayor parte de la energía de la sinusoide se concentra alrededor de una frecuencia. La ganancia de procesamiento es un término que se usa a menudo para describir una mejora de la SNR. La ganancia de procesamiento del análisis espectral depende de la función de ventana, tanto de su ancho de banda de ruido (B) como de su posible pérdida por ondulación. Estos efectos se compensan parcialmente, ya que las ventanas con menor ondulación presentan naturalmente la mayor fuga.

La Figura 3 muestra los efectos de tres funciones de ventana diferentes sobre el mismo conjunto de datos , que comprende dos sinusoides de igual amplitud en ruido aditivo. Las frecuencias de las sinusoides se eligen de forma que una no presente ondulación y la otra la presente al máximo. Ambas sinusoides sufren una menor pérdida de relación señal/ruido (SNR) con la ventana de Hann que con la ventana de Blackman-Harris . En general (como se mencionó anteriormente), esto supone un inconveniente para el uso de ventanas de alto rango dinámico en aplicaciones de bajo rango dinámico.

Figura 4: Dos formas diferentes de generar una secuencia de ventana gaussiana de 8 puntos ( σ  =  0,4) para aplicaciones de análisis espectral. MATLAB las denomina "simétrica" ​​y "periódica". Esta última también se conoce históricamente como DFT-par .
Figura 5: Características de fuga espectral de las funciones de la Figura 4.

Simetría

Las fórmulas proporcionadas en §  Ejemplos de funciones de ventana producen secuencias discretas, como si se hubiera "muestreado" una función de ventana continua. (Véase un ejemplo en Ventana de Kaiser ). Las secuencias de ventana para el análisis espectral son simétricas o con una muestra menos de simétricas (llamadas periódicas , [ 4 ] [ 5 ] DFT-pares o DFT-simétricas [ 2 ] : p. 52 ). Por ejemplo, una verdadera secuencia simétrica, con su máximo en un único punto central, se genera mediante la función de MATLABhann(9,'symmetric') . Al eliminar la última muestra se obtiene una secuencia idéntica a hann(8,'periodic'). De manera similar, la secuencia hann(8,'symmetric')tiene dos puntos centrales iguales. [ 6 ]

Algunas funciones tienen uno o dos extremos con valor cero, lo cual resulta innecesario en la mayoría de las aplicaciones. Eliminar un extremo con valor cero no afecta su DTFT (fuga espectral). Sin embargo, la función diseñada para N  +  1 o N  +  2 muestras, previendo la eliminación de uno o ambos extremos, suele tener un lóbulo principal ligeramente más estrecho , lóbulos laterales ligeramente más altos y un ancho de banda de ruido ligeramente menor. [ 7 ]

Simetría DFT

El predecesor de la DFT es la transformada de Fourier finita , y las funciones de ventana eran "siempre un número impar de puntos y exhiben simetría par alrededor del origen". [ 2 ] : p.52 En ese caso, la DTFT es completamente de valor real. Cuando la misma secuencia se desplaza a una ventana de datos de la DFT ,[0≤norte≤norte],{\displaystyle [0\leq n\leq N],}La DTFT se vuelve de valor complejo excepto en frecuencias espaciadas a intervalos regulares de1/norte.{\displaystyle 1/N.}[ a ] ​​Una DFT de lanorte+1{\displaystyle N+1}La secuencia de longitud muestrea la DTFT a intervalos de1/(norte+1).{\displaystyle 1/(N+1).} Entonces, una cosa típica que se hace es simplemente truncar la secuencia (efectivamentew[norte]=0{\displaystyle w[N]=0}), y calcular unnorte{\displaystyle N}-longitud DFT. [ 2 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ b ] La secuencia truncada a veces se denomina DFT-par o periódica , porque es par-simétrica y periódica alrededor denorte=0{\displaystyle n=0}cuando se repite a intervalos denorte.{\displaystyle N.}

Huelga decir que las DTFT de la secuencia truncada y la secuencia simétrica no son exactamente equivalentes. [ 13 ] [ B ] Una solución exacta, descrita en DTFT §  L=N+1 , consiste en hacer lo siguiente:norte{\displaystyle N}-DFT de longitud en un ciclo de lanorte{\displaystyle N}-suma periódica de lanorte+1{\displaystyle N+1}secuencia de longitud. Eso equivale simplemente a añadir w[norte]{\displaystyle w[N]}a w[0].{\displaystyle w[0].}La secuencia sigue siendo par en términos de DFT, y las muestras siguen siendo de valor real.

Tenga en cuenta que los gráficos espectrales como los de §  Ejemplos de funciones de ventana se producen muestreando la DTFT en intervalos mucho más pequeños que1/norte{\displaystyle 1/N}y mostrando únicamente el componente de magnitud de los números complejos.

Circunvolución

El atractivo de las ventanas simétricas de DFT se explica por la popularidad del algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT) para la implementación de la DFT, ya que la truncación de una secuencia de longitud impar resulta en una secuencia de longitud par. Sus coeficientes de DFT de valor real también son una ventaja en ciertas aplicaciones esotéricas [ C ] donde el enventanado se logra mediante la convolución entre los coeficientes de DFT y una DFT sin enventanar de los datos. [ 14 ] [ 2 ] : p.62 [ 1 ] : p.85 En esas aplicaciones, se prefieren las ventanas simétricas de DFT (de longitud par o impar) de la familia de suma de coseno , porque la mayoría de sus coeficientes de DFT son de valor cero, lo que hace que la convolución sea muy eficiente. [ D ] [ 1 ] : p.85

Algunas métricas de ventana

Comparación de la fuga espectral de varias funciones de ventana.

Al seleccionar una función de ventana adecuada para una aplicación, este gráfico comparativo puede resultar útil. El eje de frecuencias tiene unidades de "bins" de FFT cuando se aplica una ventana de longitud N a los datos y se calcula una transformada de longitud N. Por ejemplo, el valor en el "bin" de frecuencia 1/2 es la respuesta que se mediría en los bins k y k  + 1  a una señal sinusoidal de frecuencia k  + 1 / 2 . Es relativo a la respuesta máxima posible, que se produce cuando la frecuencia de la señal es un número entero de bins. El valor en la frecuencia 1/2 se denomina pérdida máxima de ondulación de la ventana, que es una métrica utilizada para comparar ventanas. La ventana rectangular es notablemente peor que las demás en términos de esta métrica. 

Otras métricas que se pueden observar son el ancho del lóbulo principal y el nivel máximo de los lóbulos laterales, que determinan respectivamente la capacidad de distinguir señales de intensidad similar y señales de intensidad diferente. La ventana rectangular (por ejemplo) es la mejor opción para el primer caso y la peor para el segundo. Lo que no se aprecia en los gráficos es que la ventana rectangular tiene el mejor ancho de banda de ruido, lo que la convierte en una buena candidata para detectar señales sinusoidales de bajo nivel en un entorno de ruido blanco . Existen técnicas de interpolación, como el relleno con ceros y el desplazamiento de frecuencia, para mitigar la posible pérdida por ondulación.

Véase también

Notas

  1. ↑ Matemáticamente, el ancho de banda equivalente al ruido de la función de transferencia H es el ancho de banda de un filtro rectangular ideal con la misma ganancia máxima que H que dejaría pasar la misma potencia con entrada de ruido blanco . En unidades de frecuencia f (por ejemplo, hercios ), viene dado por :
    Bruido=1|H(F)|máximo2∫0∞|H(F)|2dF.{\displaystyle B_{\text{ruido}}={\frac {1}{|H(f)|_{\max }^{2}}}\int _{0}^{\infty }|H(f)|^{2}df.}
  2. ↑ Un ejemplo del efecto de la truncación en la fuga espectral es la figura Ventanas gaussianas . El gráfico etiquetado como DTFT periodic8 es la DTFT de la ventana truncada etiquetada como periodic DFT-even (ambas en azul). El gráfico verde etiquetado como DTFT symmetric9 corresponde a la misma ventana con su simetría restaurada. Las muestras de DTFT, etiquetadas como DFT8 periodic summation , son un ejemplo del uso de la suma periódica para muestrearla en las mismas frecuencias que el gráfico azul.
  3. ↑ A veces se necesitan tanto una DFT con ventana como una sin ventana (con ventana rectangular).
  4. ↑ Por ejemplo, vea las figuras Ventana de Hann par DFT y Ventana de Hann par DFT de longitud impar , que muestran que lanorte{\displaystyle N}-DFT de longitud de la secuencia generada por hann(norte{\displaystyle N}La muestra 'periódica' tiene solo tres valores distintos de cero. Todas las demás muestras coinciden con los cruces por cero de la DTFT.

Citas de página

  1. ↑ Harris 1978 , p. 52, donde Δω≜2πΔF.{\displaystyle \Delta \omega \triangleq 2\pi \Delta f.}
  2. ↑ Nuttall 1981 , pág. 85 (15a).

Referencias

  1. 1 2 3 Nuttall, Albert H. (febrero de 1981). "Algunas ventanas con un comportamiento de lóbulos laterales muy bueno" . IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 29 (1): 84– 91. Bibcode : 1981ITASS..29...84N . doi : 10.1109/TASSP.1981.1163506 .Amplía el artículo de Harris, abarcando todas las funciones de ventana conocidas en ese momento, junto con comparaciones métricas clave.
  2. 1 2 3 4 5 Harris, Fredric J. (enero de 1978). "Sobre el uso de ventanas para el análisis armónico con la transformada discreta de Fourier" (PDF) . Actas del IEEE . 66 (1): 51– 83. Bibcode : 1978IEEEP..66...51H . CiteSeerX 10.1.1.649.9880 . doi : 10.1109/PROC.1978.10837 . S2CID 426548 .  El artículo fundamental de Harris de 1978 sobre las ventanas de la FFT, que especificaba muchas ventanas e introducía métricas clave utilizadas para compararlas.
  3. ↑ Carlson, A. Bruce (1986). Sistemas de comunicación: Introducción a las señales y el ruido en la comunicación eléctrica . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-009960-9.
  4. ^ "Ventana Hann (Hanning) - MATLAB hann" . www.mathworks.com . Consultado el 12 de febrero de 2020 .
  5. ↑ "Función Ventana" . www.mathworks.com . Consultado el 14 de abril de 2019 .
  6. ↑ Robertson, Neil (18 de diciembre de 2018). "Evaluar funciones de ventana para la transformada discreta de Fourier" . DSPRelated.com . The Related Media Group . Consultado el 9 de agosto de 2020 .Revisado el 22 de febrero de 2020.
  7. ↑ "Matlab para la ventana de Hann" . ccrma.stanford.edu . Consultado el 1 de septiembre de 2020 .
  8. ↑ Heinzel, G.; Rüdiger, A.; Schilling, R. (2002). Estimación del espectro y la densidad espectral mediante la transformada discreta de Fourier (DFT), que incluye una lista completa de funciones de ventana y algunas nuevas ventanas de cima plana (Informe técnico). Instituto Max Planck (MPI) de Física de la Gravitación / Interferometría Láser y Astronomía de Ondas Gravitacionales. 395068.0 . Recuperado el 10 de febrero de 2013 .También disponible en https://pure.mpg.de/rest/items/item_152164_1/component/file_152163/content
  9. ↑ Lyons, Richard (1 de junio de 1998). "Las funciones de ventana mejoran los resultados de la FFT" . EDN . Sunnyvale, CA: TRW . Recuperado el 8 de agosto de 2020 .
  10. ↑ Fulton, Trevor (4 de marzo de 2008). "Caja de herramientas de transformación numérica DP" . herschel.esac.esa.int . Procesamiento de datos de Herschel . Recuperado el 8 de agosto de 2020 .
  11. ↑ Poularikas, AD (1999). "7.3.1". En Poularikas, Alexander D. (ed.). Manual de fórmulas y tablas para el procesamiento de señales (PDF) . Boca Raton: CRC Press LLC. ISBN 0849385792Consultado el 8 de agosto de 2020. Las ventanas son secuencias pares (respecto al origen) con un número impar de puntos. El punto más a la derecha de la ventana se descarta.
  12. ↑ Puckette, Miller (30 de diciembre de 2006). "Análisis de Fourier de señales no periódicas" . msp.ucsd.edu . UC San Diego . Consultado el 9 de agosto de 2020 .
  13. ↑ Rohling, H.; Schuermann, J. (marzo de 1983). "Funciones de ventana de tiempo discreto con nivel de lóbulo lateral arbitrariamente bajo" . Procesamiento de señales . 5 (2). Forschungsinstitut Ulm, Sedanstr, Alemania: AEG-Telefunken: 127– 138. Bibcode : 1983SigPr...5..127R . doi : 10.1016/0165-1684(83)90019-1 . Recuperado el 8 de agosto de 2020. Se puede demostrar que la técnica de muestreo par DFT propuesta por Harris no es la más adecuada.
  14. ↑ Patente estadounidense 6898235 , Carlin, Joe; Collins, Terry y Hays, Peter et al., "Dispositivo de interceptación de comunicaciones de banda ancha y localización de direcciones mediante hipercanalización", publicada el 10 de diciembre de 1999, emitida el 24 de mayo de 2005 , también disponible en https://patentimages.storage.googleapis.com/4d/39/2a/cec2ae6f33c1e7/US6898235.pdf