Teorema del índice equivariante

En geometría diferencial , el teorema del índice equivariante , del cual existen varias variantes, calcula la traza (graduada) de un elemento de un grupo de Lie compacto que actúa en un entorno dado en términos de la integral sobre los puntos fijos del elemento. Si el elemento es neutro, entonces el teorema se reduce al teorema del índice usual .

La fórmula clásica, como la fórmula de Atiyah-Bott, es un caso especial del teorema.

Dejar${\displaystyle \pi :E\to M}$Sea E un fibrado de módulos de Clifford . Supongamos que un grupo de Lie compacto G actúa sobre E y M de modo que${\displaystyle \pi }$es equivariante . Sea E una conexión que sea compatible con la acción de G. Finalmente, sea D un operador de Dirac en E asociado a los datos dados. En particular, D conmuta con G y, por lo tanto, el núcleo de D es una representación de dimensión finita de G.

El índice equivariante de E es un carácter virtual dado al tomar la supertraza :

${\displaystyle \operatorname {str} (g\mid \ker D)=\operatorname {tr} (g\mid \ker D^{+})-\operatorname {tr} (g\mid \ker D^{-}).}$

• Teoría K topológica equivariante
• Fórmula Riemann-Roch de Kawasaki

• Berlín, Nicole; Getzler, E.; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operadores, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag