Teorema del índice de Atiyah-Singer

El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch fue una de las principales motivaciones del teorema del índice, ya que este último es su contraparte en el contexto de las variedades reales. Ahora bien, si existe un mapa${\displaystyle f:X\to Y}$de variedades compactas estables casi complejas, entonces hay un diagrama conmutativo ^{[ 28 ].}

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}&&&\\&K(X)&{\xrightarrow[{}]{{\text{Td}}(X)\cdot {\text{ch}}}}&H(X;\mathbb {Q} )&\\&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&{\Bigg \downarrow }f_{*}\\&K(Y)&{\xrightarrow[{{\text{Td}}(Y)\cdot {\text{ch}}}]{}}&H(Y;\mathbb {Q} )&\\&&&\\\end{array}}}$

si${\displaystyle Y=*}$es un punto, entonces recuperamos la afirmación anterior. Aquí${\displaystyle K(X)}$es el grupo de Grothendieck de haces vectoriales complejos. Este diagrama conmutativo es formalmente muy similar al teorema GRR porque los grupos de cohomología de la derecha se reemplazan por el anillo de Chow de una variedad lisa, y el grupo de Grothendieck de la izquierda viene dado por el grupo de Grothendieck de haces vectoriales algebraicos.

Debido a ( Teleman 1983 ) , ( Teleman 1984 ) :

Para cualquier operador elíptico abstracto ( Atiyah 1970 ) en una variedad topológica cerrada y orientada, el índice analítico es igual al índice topológico.

La demostración de este resultado pasa por consideraciones específicas, incluyendo la extensión de la teoría de Hodge en variedades combinatorias y de Lipschitz ( Teleman 1980 ) , ( Teleman 1983 ) , la extensión del operador de signatura de Atiyah-Singer a variedades de Lipschitz ( Teleman 1983 ) , la K-homología de Kasparov ( Kasparov 1972 ) y el cobordismo topológico ( Kirby y Siebenmann 1977 ) .

Este resultado demuestra que el teorema del índice no es simplemente una afirmación de diferenciabilidad, sino más bien una afirmación topológica.

Debido a ( Donaldson y Sullivan 1989 ) , ( Connes, Sullivan y Teleman 1994 ) :

Para cualquier variedad cuasiconforme existe una construcción local de las clases características de Hirzebruch-Thom.

Esta teoría se basa en un operador de firma S , definido en formas diferenciales de grado medio en variedades cuasiconformes de dimensión par (compárese con ( Donaldson y Sullivan 1989 ) ).

Utilizando el cobordismo topológico y la K-homología, se puede formular un teorema de índice completo sobre variedades cuasiconformes (véase la página 678 de ( Connes, Sullivan y Teleman, 1994 ) ). El trabajo ( Connes, Sullivan y Teleman, 1994 ) «proporciona construcciones locales para clases características basadas en variantes de dimensiones superiores del mapeo de Riemann medible en dimensión dos y la teoría de Yang-Mills en dimensión cuatro».

Estos resultados constituyen avances significativos en la línea del programa de Singer, *Prospects in Mathematics* ( Singer, 1971 ) . Al mismo tiempo, proporcionan una construcción efectiva de las clases racionales de Pontrjagin en variedades topológicas. El artículo ( Teleman, 1985 ) establece un vínculo entre la construcción original de Thom de las clases racionales de Pontrjagin ( Thom, 1956 ) y la teoría de índices.

Es importante mencionar que la fórmula del índice es una afirmación topológica. Las teorías de obstrucción de Milnor, Kervaire, Kirby, Siebenmann, Sullivan y Donaldson demuestran que solo una minoría de variedades topológicas poseen estructuras diferenciables, y estas no son necesariamente únicas. El resultado de Sullivan sobre estructuras de Lipschitz y cuasiconformes ( Sullivan 1979 ) muestra que cualquier variedad topológica de dimensión distinta de 4 posee una estructura de este tipo que es única (salvo isotopía cercana a la identidad).

Las estructuras cuasiconformes ( Connes, Sullivan y Teleman 1994 ) y, más generalmente, las estructuras L ^p , p > n ( n +1)/2, introducidas por M. Hilsum ( Hilsum 1999 ) , son las estructuras analíticas más débiles en variedades topológicas de dimensión n para las que se sabe que se cumple el teorema del índice.

• El teorema de Atiyah-Singer se aplica a los operadores pseudodiferenciales elípticos de forma muy similar a como se aplica a los operadores diferenciales elípticos. De hecho, por razones técnicas, la mayoría de las primeras demostraciones se realizaron con operadores pseudodiferenciales en lugar de diferenciales: su mayor flexibilidad facilitó algunos pasos de las demostraciones.
• En lugar de trabajar con un operador elíptico entre dos haces vectoriales, a veces resulta más conveniente trabajar con un complejo elíptico.$${\displaystyle 0\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow \dotsm \rightarrow E_{m}\rightarrow 0}$$de haces vectoriales. La diferencia es que los símbolos ahora forman una secuencia exacta (fuera de la sección cero). En el caso de que haya solo dos haces no nulos en el complejo, esto implica que el símbolo es un isomorfismo fuera de la sección cero, por lo que un complejo elíptico con 2 términos es esencialmente lo mismo que un operador elíptico entre dos haces vectoriales. A la inversa, el teorema del índice para un complejo elíptico se puede reducir fácilmente al caso de un operador elíptico: los dos haces vectoriales están dados por las sumas de los términos pares o impares del complejo, y el operador elíptico es la suma de los operadores del complejo elíptico y sus adjuntos, restringida a la suma de los haces pares.
• Si se permite que la variedad tenga frontera, entonces se deben imponer algunas restricciones al dominio del operador elíptico para asegurar un índice finito. Estas condiciones pueden ser locales (como exigir que las secciones en el dominio se anulen en la frontera) o condiciones globales más complejas (como requerir que las secciones en el dominio resuelvan alguna ecuación diferencial). El caso local fue desarrollado por Atiyah y Bott, pero demostraron que muchos operadores interesantes (por ejemplo, el operador signatura ) no admiten condiciones de frontera locales. Para manejar estos operadores, Atiyah , Patodi y Singer introdujeron condiciones de frontera globales equivalentes a adjuntar un cilindro a la variedad a lo largo de la frontera y luego restringir el dominio a aquellas secciones que son de cuadrado integrable a lo largo del cilindro. Este punto de vista se adopta en la demostración de Melrose (1993) del teorema del índice de Atiyah-Patodi-Singer .
• En lugar de un único operador elíptico, se puede considerar una familia de operadores elípticos parametrizados por un espacio Y. En este caso, el índice es un elemento de la K-teoría de Y , en lugar de un número entero. Si los operadores de la familia son reales, entonces el índice pertenece a la K-teoría real de Y. Esto aporta información adicional, ya que la aplicación de la K-teoría real de Y a la K-teoría compleja no siempre es inyectiva.
• Si existe una acción de grupo de un grupo G sobre la variedad compacta X que conmuta con el operador elíptico, entonces se reemplaza la teoría K ordinaria por la teoría K equivariante . Además, se obtienen generalizaciones del teorema del punto fijo de Lefschetz , con términos provenientes de subvariedades de punto fijo del grupo G. Véase también: teorema del índice equivariante .
• Atiyah (1976) demostró cómo extender el teorema del índice a algunas variedades no compactas, sobre las cuales actúa un grupo discreto con cociente compacto. El núcleo del operador elíptico es, en general, de dimensión infinita en este caso, pero es posible obtener un índice finito utilizando la dimensión de un módulo sobre un álgebra de von Neumann ; este índice es ^, en general, de valor real en lugar de entero. Esta versión se denomina teorema del índice L2 y fue utilizada por Atiyah y Schmid (1977) para rederive propiedades de las representaciones de series discretas de grupos de Lie semisimples .
• El teorema del índice de Callias es un teorema del índice para un operador de Dirac en un espacio impar no compacto. El índice de Atiyah-Singer solo está definido en espacios compactos y se anula cuando su dimensión es impar. En 1978, Constantine Callias , a sugerencia de su director de tesis doctoral Roman Jackiw , utilizó la anomalía axial para derivar este teorema del índice en espacios equipados con una matriz hermitiana llamada campo de Higgs . ^{[ 29 ]} El índice del operador de Dirac es un invariante topológico que mide el enrollamiento del campo de Higgs en una esfera en el infinito. Si U es la matriz identidad en la dirección del campo de Higgs, entonces el índice es proporcional a la integral de U ( dU ) ^{n −1} sobre la ( n −1)-esfera en el infinito. Si n es par, siempre es cero.
  • La interpretación topológica de este invariante y su relación con el índice de Hörmander propuesto por Boris Fedosov , generalizado por Lars Hörmander , fue publicada por Raoul Bott y Robert Thomas Seeley . ^{[ 30 ]}

Supongamos que${\displaystyle M}$es una variedad orientada compacta de dimensión${\displaystyle n=2r}$Si tomamos${\displaystyle \Lambda ^{\text{even}}}$ser la suma de las potencias exteriores pares del haz cotangente, y${\displaystyle \Lambda ^{\text{odd}}}$ser la suma de las potencias impares, definir${\displaystyle D=d+d^{*}}$, considerado como un mapa de${\displaystyle \Lambda ^{\text{even}}}$a${\displaystyle \Lambda ^{\text{odd}}}$. Entonces el índice analítico de${\displaystyle D}$es la característica de Euler${\displaystyle \chi (M)}$de la cohomología de Hodge de${\displaystyle M}$y el índice topológico es la integral de la clase de Euler sobre la variedad. La fórmula del índice para este operador produce el teorema de Chern-Gauss-Bonnet .

El cálculo concreto se realiza de la siguiente manera: según una variación del principio de división , si${\displaystyle E}$es un haz vectorial real de dimensión${\displaystyle n=2r}$, para probar afirmaciones que involucran clases características, podemos suponer que existen haces de líneas complejos${\displaystyle l_{1},\,\ldots ,\,l_{r}}$de tal manera que${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} =l_{1}\oplus {\overline {l_{1}}}\oplus \dotsm l_{r}\oplus {\overline {l_{r}}}}$Por lo tanto, podemos considerar las raíces de Chern.${\displaystyle x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}(l_{i})}$,${\displaystyle x_{r+i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}{\mathord {\left({\overline {l_{i}}}\right)}}=-x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )}$,${\displaystyle i=1,\,\ldots ,\,r}$.

Utilizando las raíces de Chern como se indicó anteriormente y las propiedades estándar de la clase de Euler, tenemos que${\textstyle e(TM)=\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )}$. En cuanto al personaje Chern y la clase Todd, ^{[ 31 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{\text{even}}-\Lambda ^{\text{odd}}\right)}}&=1-\operatorname {ch} (T^{*}M\otimes \mathbb {C} )+\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathbb {C} \right)}}-\ldots +(-1)^{n}\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{n}T^{*}M\otimes \mathbb {C} \right)}}\\&=1-\sum _{i}^{n}e^{-x_{i}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\sum _{i<j}e^{-x_{i}}e^{-x_{j}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\ldots +(-1)^{n}e^{-x_{1}}\dotsm e^{-x_{n}}(TM\otimes \mathbb {C} )\\&=\prod _{i}^{n}\left(1-e^{-x_{i}}\right)(TM\otimes \mathbb {C} )\\[3pt]\operatorname {Td} (TM\otimes \mathbb {C} )&=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )\end{aligned}}}$

Aplicando el teorema del índice,

${\displaystyle \chi (M)=(-1)^{r}\int _{M}{\frac {\prod _{i}^{n}\left(1-e^{-x_{i}}\right)}{\prod _{i}^{r}x_{i}}}\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )=(-1)^{r}\int _{M}(-1)^{r}\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )=\int _{M}e(TM)}$

que es la versión "topológica" del teorema de Chern-Gauss-Bonnet (la geométrica se obtiene aplicando el homomorfismo de Chern-Weil ).

Sea X una variedad compleja de dimensión (compleja) n con un fibrado vectorial holomorfo V. Sean los fibrados vectoriales E y F sumas de los fibrados de formas diferenciales con coeficientes en V de tipo (0, i ) con i par o impar, y sea el operador diferencial D la suma.

${\displaystyle {\overline {\partial }}+{\overline {\partial }}^{*}}$

restringido a E.

Esta derivación del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es más natural si usamos el teorema del índice para complejos elípticos en lugar de operadores elípticos. Podemos tomar el complejo como

${\displaystyle 0\rightarrow V\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,1}T^{*}(X)\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,2}T^{*}(X)\rightarrow \dotsm }$

con el diferencial dado por${\displaystyle {\overline {\partial }}}$. Entonces, el i- ésimo grupo de cohomología es simplemente el grupo de cohomología coherente H ⁱ ( X , V ), por lo que el índice analítico de este complejo es la característica de Euler holomorfa de V :

${\displaystyle \operatorname {index} (D)=\sum _{p}(-1)^{p}\dim H^{p}(X,V)=\chi (X,V)}$

Dado que estamos trabajando con haces complejos, el cálculo del índice topológico es más sencillo. Utilizando raíces de Chern y realizando cálculos similares a los del ejemplo anterior, la clase de Euler viene dada por${\textstyle e(TX)=\prod _{i}^{n}x_{i}(TX)}$y

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} \left(\sum _{j}^{n}(-1)^{j}V\otimes \Lambda ^{j}{\overline {T^{*}X}}\right)&=\operatorname {ch} (V)\prod _{j}^{n}\left(1-e^{x_{j}}\right)(TX)\\\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )=\operatorname {Td} (TX)\operatorname {Td} \left({\overline {TX}}\right)&=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}\prod _{j}^{n}{\frac {-x_{j}}{1-e^{x_{j}}}}(TX)\end{aligned}}}$

Aplicando el teorema del índice, obtenemos el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch :

${\displaystyle \chi (X,V)=\int _{X}\operatorname {ch} (V)\operatorname {Td} (TX)}$

De hecho , obtenemos una generalización de ello a todas las variedades complejas: la demostración de Hirzebruch solo funcionó para variedades complejas proyectivas X.

El teorema de la signatura de Hirzebruch establece que la signatura de una variedad orientada compacta X de dimensión 4k viene dada por el género L de la variedad. Esto se deduce del teorema del índice de Atiyah-Singer aplicado al siguiente operador de signatura .

Los haces E y F están dados por los autoespacios +1 y −1 del operador sobre el haz de formas diferenciales de X , que actúa sobre k- formas como${\displaystyle i^{k(k-1)}}$veces el operador estrella de Hodge . El operador D es el laplaciano de Hodge.

${\displaystyle D\equiv \Delta \mathrel {:=} \left(\mathbf {d} +\mathbf {d^{*}} \right)^{2}}$

restringido a E , donde d es la derivada exterior de Cartan y d * es su adjunta.

El índice analítico de D es la signatura de la variedad X , y su índice topológico es el género L de X , por lo que son iguales.

El género  es un número racional definido para cualquier variedad, pero en general no es un entero. Borel y Hirzebruch demostraron que es un entero para variedades de espín, y un entero par si, además, la dimensión es 4 mod 8. Esto se puede deducir del teorema del índice, que implica que el género  para variedades de espín es el índice de un operador de Dirac. El factor adicional de 2 en dimensiones 4 mod 8 proviene del hecho de que, en este caso, el núcleo y el conúcleo del operador de Dirac tienen una estructura cuaterniónica, por lo que, como espacios vectoriales complejos, tienen dimensiones pares, y por lo tanto el índice es par.

En dimensión 4, este resultado implica el teorema de Rochlin de que la signatura de una variedad de espín de 4 dimensiones es divisible por 16: esto se deduce porque en dimensión 4 el género  es menos un octavo de la signatura.

Los operadores pseudodiferenciales se pueden explicar fácilmente en el caso de operadores de coeficientes constantes en el espacio euclidiano. En este caso, los operadores diferenciales de coeficientes constantes son simplemente las transformadas de Fourier de la multiplicación por polinomios, y los operadores pseudodiferenciales de coeficientes constantes son simplemente las transformadas de Fourier de la multiplicación por funciones más generales.

Muchas demostraciones del teorema del índice utilizan operadores pseudodiferenciales en lugar de operadores diferenciales. Esto se debe a que, para muchos propósitos, no existen suficientes operadores diferenciales. Por ejemplo, la pseudoinversa de un operador diferencial elíptico de orden positivo no es un operador diferencial, sino un operador pseudodiferencial. Además, existe una correspondencia directa entre los datos que representan los elementos de K(B( X ), S ( X )) (funciones de acoplamiento) y los símbolos de los operadores pseudodiferenciales elípticos.

Los operadores pseudodiferenciales tienen un orden que puede ser cualquier número real o incluso −∞, y poseen símbolos (que ya no son polinomios en el espacio cotangente). Los operadores diferenciales elípticos son aquellos cuyos símbolos son invertibles para vectores cotangentes suficientemente grandes. La mayoría de las versiones del teorema del índice pueden extenderse de operadores diferenciales elípticos a operadores pseudodiferenciales elípticos.

La demostración inicial se basó en la del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch (1954) e involucró la teoría del cobordismo y operadores pseudodiferenciales .

La idea de esta primera demostración es, a grandes rasgos, la siguiente. Consideremos el anillo generado por pares ( X , V ), donde V es un fibrado vectorial suave sobre la variedad orientada compacta y suave X , con relaciones tales que la suma y el producto del anillo sobre estos generadores vienen dados por la unión y el producto disjuntos de variedades (con las operaciones obvias sobre los fibrados vectoriales), y cualquier frontera de una variedad con fibrado vectorial es 0. Esto es similar al anillo de cobordismo de variedades orientadas, excepto que las variedades también tienen un fibrado vectorial. Los índices topológico y analítico se reinterpretan como funciones de este anillo a los enteros. Entonces se comprueba que estas dos funciones son, de hecho, homomorfismos de anillos. Para demostrar que son iguales, solo es necesario comprobar que son iguales en un conjunto de generadores de este anillo. La teoría del cobordismo de Thom proporciona un conjunto de generadores; por ejemplo, espacios vectoriales complejos con el fibrado trivial junto con ciertos fibrados sobre esferas de dimensión par. Así pues, el teorema del índice puede demostrarse comprobándolo en estos casos particularmente sencillos.

La primera demostración publicada por Atiyah y Singer utilizó la teoría K en lugar del cobordismo. Si i es cualquier inclusión de variedades compactas de X a Y , definieron una operación de "empuje hacia adelante" i _! sobre operadores elípticos de X a operadores elípticos de Y que preserva el índice. Al tomar Y como una esfera en la que X se incrusta, esto reduce el teorema del índice al caso de esferas. Si Y es una esfera y X es un punto incrustado en Y , entonces cualquier operador elíptico en Y es la imagen bajo i _! de algún operador elíptico en el punto. Esto reduce el teorema del índice al caso de un punto, donde es trivial.

Atiyah, Bott y Patodi ( 1973 ) dieron una nueva demostración del teorema del índice utilizando la ecuación del calor , véase, por ejemplo, Berline , Getzler y Vergne (1992) . La demostración también se publicó en ( Melrose 1993 ) y ( Gilkey 1994 ) . 

Si D es un operador diferencial con adjunto D* , entonces D*D y DD* son operadores autoadjuntos cuyos autovalores no nulos tienen las mismas multiplicidades. Sin embargo, sus autoespacios nulos pueden tener multiplicidades diferentes, ya que estas multiplicidades son las dimensiones de los núcleos de D y D* . Por lo tanto, el índice de D viene dado por

${\displaystyle \operatorname {index} (D)=\dim \operatorname {Ker} (D)-\dim \operatorname {Ker} (D^{*})=\dim \operatorname {Ker} (D^{*}D)-\dim \operatorname {Ker} (DD^{*})=\operatorname {Tr} \left(e^{-tD^{*}D}\right)-\operatorname {Tr} \left(e^{-tDD^{*}}\right)}$

para cualquier t positivo . El lado derecho viene dado por la traza de la diferencia de los núcleos de dos operadores de calor. Estos tienen un desarrollo asintótico para t positivo pequeño , que puede usarse para evaluar el límite cuando t tiende a 0, lo que proporciona una demostración del teorema del índice de Atiyah-Singer. Los desarrollos asintóticos para t pequeño parecen muy complicados, pero la teoría de invariantes muestra que hay grandes cancelaciones entre los términos, lo que permite encontrar explícitamente los términos principales. Estas cancelaciones se explicaron posteriormente utilizando la supersimetría.

• Mazzeo, Rafe. "El teorema del índice Atiyah-Singer: qué es y por qué debería importarte" (PDF) . Archivado del original el 24 de junio de 2006. Consultado el 3 de enero de 2006 .{{cite web}}: CS1 maint: bot: estado de la URL original desconocido ( enlace ) Presentación en PDF.
• Voitsekhovskii, MI; Shubin, MA (2001) [1994], "Fórmulas de índice" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
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• RR Seeley y otros (1999) Recuerdos de los primeros días de la teoría de índices y operadores pseudodiferenciales : una transcripción parcial de una conversación informal después de la cena durante un simposio celebrado en Roskilde, Dinamarca, en septiembre de 1998.