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Articulo de referencia

Distribución de Erlang

k \\in \\{1,2,3,\\ldots\\}, [[shape parameter|shape]] \\lambda \\in (0,\\infty), rate alt.: \\beta = 1/\\lambda, [[scale parameter|scale]]"},"support":{"wt":" x \\in [0, \\infty...

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La distribución de Erlang es una familia de dos parámetros de distribuciones de probabilidad continuas con soporteincógnita∈[0,∞){\displaystyle x\in [0,\infty )}Los dos parámetros son:

  • un número entero positivok,{\displaystyle k,}la "forma" y
  • un número real positivoλ,{\displaystyle \lambda ,}la "tasa". La "escala",β,{\displaystyle \beta ,}En ocasiones, se utiliza en su lugar el recíproco de la tasa.

La distribución de Erlang es la distribución de una suma dek{\displaystyle k}variables exponenciales independientes con media1/λ{\displaystyle 1/\lambda }cada uno. Equivalentemente, es la distribución del tiempo hasta el k -ésimo evento de un proceso de Poisson con una tasa deλ{\displaystyle \lambda }Las distribuciones de Erlang y Poisson son complementarias, ya que mientras que la distribución de Poisson cuenta los eventos que ocurren en un tiempo fijo, la distribución de Erlang cuenta el tiempo hasta que ocurre un número fijo de eventos. Cuandok=1{\displaystyle k=1}La distribución se simplifica a la distribución exponencial . La distribución de Erlang es un caso especial de la distribución gamma en la que la forma de la distribución está discretizada.

La distribución de Erlang fue desarrollada por AK Erlang para analizar la cantidad de llamadas telefónicas que podrían realizarse simultáneamente a los operadores de las centrales telefónicas. Este trabajo sobre ingeniería de tráfico telefónico se ha ampliado para considerar los tiempos de espera en sistemas de colas en general. La distribución también se utiliza en el campo de los procesos estocásticos .

Caracterización

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Erlang es

F(incógnita;k,λ)=λkincógnitak−1mi−λincógnita(k−1)¡para incógnita,λ≥0,{\displaystyle f(x;k,\lambda )={\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad {\mbox{para }}x,\lambda \geq 0,}

El parámetro k se llama parámetro de forma, y ​​el parámetroλ{\displaystyle \lambda }Se denomina parámetro de velocidad.

Una parametrización alternativa, pero equivalente, utiliza el parámetro de escala.β{\displaystyle \beta }, que es el recíproco del parámetro de velocidad (es decir,β=1/λ{\displaystyle \beta =1/\lambda }):

F(incógnita;k,β)=incógnitak−1mi−incógnitaββk(k−1)¡para incógnita,β≥0.{\displaystyle f(x;k,\beta )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\beta }}}}{\beta ^{k}(k-1)!}}\quad {\mbox{para }}x,\beta \geq 0.}

Cuando el parámetro de escalaβ{\displaystyle \beta }Si es igual a 2, la distribución se simplifica a la distribución chi-cuadrado con 2k grados de libertad. Por lo tanto, puede considerarse una distribución chi-cuadrado generalizada para un número par de grados de libertad.

Función de distribución acumulativa (FDA)

La función de distribución acumulativa de la distribución de Erlang es

F(incógnita;k,λ)=PAG(k,λincógnita)=γ(k,λincógnita)Γ(k)=γ(k,λincógnita)(k−1)¡,{\displaystyle F(x;k,\lambda )=P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{\Gamma (k)}}={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}},}

dóndeγ{\displaystyle \gamma }es la función gamma incompleta inferior yPAG{\displaystyle P}es la función gamma regularizada inferior . La CDF también puede expresarse como

F(incógnita;k,λ)=1−∑norte=0k−11norte¡mi−λincógnita(λincógnita)norte.{\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}.}

Erlang -k

La distribución de Erlang- k (donde k es un número entero positivo)mik(λ){\displaystyle E_{k}(\lambda)}se define estableciendo k en la PDF de la distribución de Erlang. [ 1 ] Por ejemplo, la distribución de Erlang-2 esmi2(λ)=λ2incógnitami−λincógnitapara incógnita,λ≥0{\displaystyle E_{2}(\lambda )={\lambda ^{2}x}e^{-\lambda x}\quad {\mbox{para }}x,\lambda \geq 0}, que es lo mismo queF(incógnita;2,λ){\displaystyle f(x;2,\lambda )}.

Mediana

Se conoce una expansión asintótica para la mediana de una distribución de Erlang, [ 2 ] para la cual se pueden calcular coeficientes y se conocen límites. [ 3 ] [ 4 ] Una aproximación eskλ(1−13k+0,2),{\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}\left(1-{\dfrac {1}{3k+0.2}}\right),}es decir, por debajo de la mediakλ.{\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}.}[ 5 ]

Generación de variables aleatorias con distribución Erlang

Las variables aleatorias con distribución de Erlang se pueden generar a partir de números aleatorios con distribución uniforme (U∈[0,1]{\displaystyle U\in [0,1]}) utilizando la siguiente fórmula: [ 6 ]

mi(k,λ)=−1λln⁡∏i=1kUi=−1λ∑i=1kln⁡Ui{\displaystyle E(k,\lambda )=-{\frac {1}{\lambda }}\ln \prod _{i=1}^{k}U_{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\sum _{i=1}^{k}\ln U_{i}}

Aplicaciones

Tiempos de espera

Los eventos que ocurren de forma independiente con una tasa promedio determinada se modelan mediante un proceso de Poisson . Los tiempos de espera entre k ocurrencias del evento siguen una distribución de Erlang. (La cuestión relacionada del número de eventos en un intervalo de tiempo dado se describe mediante la distribución de Poisson ).

La distribución de Erlang, que mide el tiempo entre llamadas entrantes, puede utilizarse junto con la duración esperada de dichas llamadas para obtener información sobre la carga de tráfico medida en erlangs. Esto permite determinar la probabilidad de pérdida o retraso de paquetes, según diferentes supuestos sobre si las llamadas bloqueadas se cancelan (fórmula de Erlang B) o se ponen en cola hasta su atención (fórmula de Erlang C). Las fórmulas de Erlang B y C se siguen utilizando a diario para el modelado de tráfico en aplicaciones como el diseño de centros de llamadas .

Otras aplicaciones

La distribución por edades de la incidencia de cáncer suele seguir la distribución de Erlang, mientras que los parámetros de forma y escala predicen, respectivamente, el número de eventos impulsores y el intervalo de tiempo entre ellos. [ 7 ] [ 8 ] De forma más general, se ha sugerido que la distribución de Erlang es una buena aproximación de la distribución del tiempo del ciclo celular, como resultado de modelos multietapa. [ 9 ] [ 10 ]

La kinesina es una máquina molecular con dos "pies" que "camina" a lo largo de un filamento. El tiempo de espera entre cada paso se distribuye exponencialmente. Cuando se une proteína fluorescente verde a uno de los pies de la kinesina, el punto verde se mueve visiblemente con una distribución de Erlang de k = 2. [ 11 ]

También se ha utilizado en marketing para describir los tiempos entre compras. [ 12 ]

Propiedades

  • Siincógnita∼Erlang⁡(k,λ){\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}entoncesa⋅incógnita∼Erlang⁡(k,λa){\displaystyle a\cdot X\sim \operatorname {Erlang} \left(k,{\frac {\lambda }{a}}\right)}cona∈R{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
  • Siincógnita∼Erlang⁡(k1,λ){\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k_{1},\lambda )}yY∼Erlang⁡(k2,λ){\displaystyle Y\sim \operatorname {Erlang} (k_{2},\lambda )}entoncesincógnita+Y∼Erlang⁡(k1+k2,λ){\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Erlang} (k_{1}+k_{2},\lambda )}siincógnita,Y{\displaystyle X,Y}son independientes
  • La distribución de Erlang es la distribución de la suma de k variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas , cada una con una distribución exponencial . La tasa a largo plazo a la que ocurren los eventos es el recíproco de la esperanza deincógnita,{\displaystyle X,}eso es,λ/k.{\displaystyle \lambda /k.}La tasa (de eventos específicos por edad) de la distribución de Erlang es, parak>1,{\displaystyle k>1,}monótono enincógnita,{\displaystyle x,}aumentando desde 0 enincógnita=0,{\displaystyle x=0,}aλ{\displaystyle \lambda }comoincógnita{\displaystyle x}tiende al infinito. [ 13 ]
    • Es decir: siincógnitai∼Exponencial⁡(λ),{\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Exponential} (\lambda ),}entonces∑i=1kincógnitai∼Erlang⁡(k,λ){\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{X_{i}}\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}
  • Debido a la función factorial en el denominador de la PDF y la CDF , la distribución de Erlang solo se define cuando el parámetro k es un entero positivo. De hecho, esta distribución a veces se llama distribución de Erlang- k (por ejemplo, una distribución de Erlang-2 es una distribución de Erlang conk=2{\displaystyle k=2}La distribución gamma generaliza la distribución de Erlang al permitir que k sea cualquier número real positivo, utilizando la función gamma en lugar de la función factorial.
    • Es decir: si k es un número entero yincógnita∼Gama⁡(k,λ),{\displaystyle X\sim \operatorname {Gamma} (k,\lambda ),}entoncesincógnita∼Erlang⁡(k,λ){\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}
  • SiU∼Exponencial⁡(λ){\displaystyle U\sim \operatorname {Exponential} (\lambda )}yV∼Erlang⁡(norte,λ){\displaystyle V\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}entoncesUV+1∼Pareto⁡(1,norte){\displaystyle {\frac {U}{V}}+1\sim \operatorname {Pareto} (1,n)}
  • La distribución de Erlang es un caso especial de la distribución de Pearson de tipo III.
  • La distribución de Erlang está relacionada con la distribución chi-cuadrado . Siincógnita∼Erlang⁡(k,λ),{\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda ),}entonces2λincógnita∼χ2k2.{\displaystyle 2\lambda X\sim \chi _{2k}^{2}.}
  • La distribución de Erlang está relacionada con la distribución de Poisson mediante el proceso de Poisson : SiSnorte=∑i=1norteincógnitai{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}de tal manera queincógnitai∼Exponencial⁡(λ),{\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Exponential} (\lambda ),}entoncesSnorte∼Erlang⁡(norte,λ){\displaystyle S_{n}\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}yPr⁡(norte(incógnita)≤norte−1)=Pr⁡(Snorte>incógnita)=1−Fincógnita(incógnita;norte,λ)=∑k=0norte−11k¡mi−λincógnita(λincógnita)k.{\displaystyle \operatorname {Pr} (N(x)\leq n-1)=\operatorname {Pr} (S_{n}>x)=1-F_{X}(x;n,\lambda )=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{k!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{k}.}Tomando las diferenciasnorte{\displaystyle n}proporciona la distribución de Poisson.

Véase también

Notas

  1. ↑ "h1.pdf" (PDF) .
  2. ↑ Choi, KP (1994). "Sobre las medianas de las distribuciones gamma y una ecuación de Ramanujan". Actas de la Sociedad Matemática Americana . 121 (1): 245– 251. doi : 10.1090/S0002-9939-1994-1195477-8 . JSTOR 2160389 . 
  3. ↑ Adell, JA; Jodrá, P. (2010). "Sobre una ecuación de Ramanujan relacionada con la mediana de la distribución gamma" . Transactions of the American Mathematical Society . 360 (7): 3631. doi : 10.1090/S0002-9947-07-04411-X .
  4. ↑ Jodrá, P. (2012). "Cálculo de la expansión asintótica de la mediana de la distribución de Erlang" . Modelado y análisis matemático . 17 (2): 281– 292. doi : 10.3846/13926292.2012.664571 .
  5. ^ Banneheka, BMSG; Ekanayake, GEMUPD (2009). "Un nuevo estimador puntual para la mediana de la distribución gamma". Viyodaya J Ciencia . 14 : 95-103 .
  6. ↑ Resa. "Distribuciones estadísticas - Distribución de Erlang - Generador de números aleatorios" . www.xycoon.com . Consultado el 4 de abril de 2018 .
  7. ↑ Belikov, Aleksey V. (22 de septiembre de 2017). "El número de eventos carcinogénicos clave se puede predecir a partir de la incidencia de cáncer" . Scientific Reports . 7 (1): 12170. Bibcode : 2017NatSR...712170B . doi : 10.1038/ s41598-017-12448-7 . PMC 5610194. PMID 28939880 .  
  8. ↑ Belikov, Aleksey V.; Vyatkin, Alexey; Leonov, Sergey V. (2021-08-06). "La distribución de Erlang se aproxima a la distribución por edad de la incidencia de cánceres en la infancia y la adultez temprana" . PeerJ . 9 e11976 . doi : 10.7717/peerj.11976 . ISSN 2167-8359 . PMC 8351573. PMID 34434669 .   
  9. ↑ Yates, Christian A. (21 de abril de 2017). "Una representación multietapa de la proliferación celular como un proceso de Markov" . Boletín de Biología Matemática . 79 (1): 2905– 2928. doi : 10.1007/s11538-017-0356-4 . PMC 5709504. PMID 29030804 .  
  10. ↑ Gavagnin, Enrico (21 de noviembre de 2019). "La velocidad de invasión de los modelos de migración celular con distribuciones realistas del tiempo del ciclo celular". Journal of Theoretical Biology . 481 : 91–99 . arXiv : 1806.03140 . Bibcode : 2019JThBi.481...91G . doi : 10.1016/j.jtbi.2018.09.010 . PMID 30219568 . 
  11. ↑ Yildiz, Ahmet ; Forkey, Joseph N.; McKinney, Sean A.; Ha, Taekjip ; Goldman, Yale E.; Selvin, Paul R. (2003-06-27). "Myosin V Walks Hand-Over-Hand: Single Fluorophore Imaging with 1.5-nm Localization" . Science . 300 (5628): 2061– 2065. Bibcode : 2003Sci...300.2061Y . doi : 10.1126/science.1084398 . ISSN 0036-8075 . PMID 12791999 .  
  12. ↑ Chatfield, C.; Goodhardt, GJ (diciembre de 1973). "Un modelo de compra del consumidor con tiempos entre compras de Erlang". Journal of the American Statistical Association . 68 (344): 828– 835. doi : 10.1080/01621459.1973.10481432 .
  13. ↑ Cox, DR (1967) Teoría de la renovación , p20, Methuen.

Referencias

  • Ian Angus , "Introducción a Erlang B y Erlang C" , Telemanagement n.º 187 (documento PDF: incluye términos, fórmulas y una breve biografía).
  • Stuart Harris: "Cálculos en Erlang frente a simulación"
  • Distribución de Erlang
  • Dimensionamiento de recursos mediante Erlang-B y Erlang-C