colector esencial

En geometría , una variedad esencial es un tipo especial de variedad cerrada. Esta noción fue introducida explícitamente por primera vez por Mikhail Gromov . ^{[ 1 ]}

Una variedad cerrada M se denomina esencial si su clase fundamental [ M ] define un elemento no nulo en la homología de su grupo fundamental π , o más precisamente en la homología del espacio de Eilenberg-MacLane correspondiente K ( π ,  1), a través del homomorfismo natural.

${\displaystyle H_{n}(M)\to H_{n}(K(\pi ,1)),}$

donde n es la dimensión de M. Aquí la clase fundamental se toma en homología con coeficientes enteros si la variedad es orientable, y en coeficientes módulo 2, en caso contrario.

• Todas las superficies cerradas (es decir, las variedades bidimensionales) son esenciales con la excepción de la 2-esfera S ² .
• El espacio proyectivo real RP ⁿ es esencial ya que la inclusión

  ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{\infty }}$

es inyectivo en homología, donde

${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }=K(\mathbb {Z} _{2},1)}$

es el espacio de Eilenberg-MacLane del grupo cíclico finito de orden 2.

• Todas las variedades asféricas compactas son esenciales (ya que ser asférica significa que la variedad en sí misma ya es un K ( π ,  1)).
  • En particular, todas las variedades hiperbólicas compactas son esenciales.
• Todos los espacios para lentes son esenciales.

• La suma conectada de variedades esenciales es esencial.
• Cualquier variedad que admita una aplicación de grado distinto de cero a una variedad esencial es, a su vez, esencial.

• Desigualdad sistólica de Gromov para variedades esenciales
• Geometría sistólica