espacio euclidiano

El espacio euclidiano fue introducido por los antiguos griegos como una abstracción de nuestro espacio físico. Su gran innovación, plasmada en los Elementos de Euclides , consistió en construir y demostrar toda la geometría a partir de unas pocas propiedades fundamentales, abstraídas del mundo físico y que no pueden demostrarse matemáticamente por falta de herramientas más básicas. Estas propiedades se denominan postulados o axiomas . Esta forma de definir el espacio euclidiano aún se utiliza bajo el nombre de geometría sintética .

En 1637, René Descartes introdujo las coordenadas cartesianas y demostró que estas permiten reducir los problemas geométricos a cálculos algebraicos con números. Esta reducción de la geometría al álgebra supuso un cambio radical de perspectiva, ya que, hasta entonces, los números reales se definían en términos de longitudes y distancias.

La geometría euclidiana no se aplicó a espacios de dimensión superior a tres hasta el siglo XIX. Ludwig Schläfli generalizó la geometría euclidiana a espacios de dimensión n , utilizando métodos tanto sintéticos como algebraicos, y descubrió todos los politopos regulares (análogos de dimensiones superiores de los sólidos platónicos ) que existen en espacios euclidianos de cualquier dimensión. ^{[ 4 ]}

A pesar de la amplia difusión del enfoque de Descartes, conocido como geometría analítica , la definición de espacio euclidiano permaneció inalterada hasta finales del siglo XIX. La introducción de los espacios vectoriales abstractos permitió su uso para definir espacios euclidianos mediante una definición puramente algebraica. Se ha demostrado que esta nueva definición es equivalente a la clásica en términos de axiomas geométricos. Actualmente, esta definición algebraica es la que se utiliza con mayor frecuencia para introducir los espacios euclidianos.

Una forma de concebir el plano euclidiano es como un conjunto de puntos que satisfacen ciertas relaciones, expresables en términos de distancia y ángulos. Por ejemplo, existen dos operaciones fundamentales (denominadas movimientos ) en el plano. Una es la traslación , que consiste en un desplazamiento del plano de manera que cada punto se desplace en la misma dirección y la misma distancia. La otra es la rotación alrededor de un punto fijo en el plano, en la que todos los puntos del plano giran alrededor de ese punto fijo el mismo ángulo. Uno de los principios básicos de la geometría euclidiana es que dos figuras (generalmente consideradas como subconjuntos ) del plano deben considerarse equivalentes ( congruentes ) si una puede transformarse en la otra mediante una secuencia de traslaciones, rotaciones y reflexiones (véase más adelante ).

Para que todo esto sea matemáticamente preciso, la teoría debe definir claramente qué es un espacio euclidiano y las nociones relacionadas de distancia, ángulo, traslación y rotación. Incluso cuando se utiliza en teorías físicas , el espacio euclidiano es una abstracción desvinculada de ubicaciones físicas reales, sistemas de referencia específicos , instrumentos de medición, etc. Una definición puramente matemática del espacio euclidiano también ignora cuestiones de unidades de longitud y otras dimensiones físicas : la distancia en un espacio "matemático" es un número , no algo expresado en pulgadas o metros.

La forma estándar de definir matemáticamente un espacio euclidiano, como se hace en el resto de este artículo, es como un conjunto de puntos sobre los que actúa un espacio vectorial real : el espacio de traslaciones , que está dotado de un producto interno . ^{[ 1 ]} La acción de las traslaciones convierte al espacio en un espacio afín , lo que permite definir líneas, planos, subespacios, dimensión y paralelismo . El producto interno permite definir distancias y ángulos.

El conjunto${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$de n -tuplas de números reales equipadas con el producto escalar es un espacio euclidiano de dimensión n . Recíprocamente, la elección de un punto llamado origen y una base ortonormal del espacio de traslaciones es equivalente a definir un isomorfismo entre un espacio euclidiano de dimensión n y${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$visto como un espacio euclidiano.

De ello se deduce que todo lo que se puede decir sobre un espacio euclidiano también se puede decir sobre${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$Por lo tanto, muchos autores, especialmente a nivel elemental, llaman${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$el espacio euclidiano estándar de dimensión n , ^{[ 5 ]} o simplemente el espacio euclidiano de dimensión n .

Una razón para introducir una definición tan abstracta de espacios euclidianos y para trabajar con${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$en lugar de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Una de las razones es que a menudo es preferible trabajar sin coordenadas ni origen (es decir, sin elegir una base ni un origen preferidos). Otra razón es que en el mundo físico no existe un origen estándar ni una base estándar.

AEl espacio vectorial euclidiano es un espacio de producto internode dimensión finitasobre losnúmeros reales. ^{[ 6 ]}

Un espacio euclidiano es un espacio afín sobre los números reales tal que el espacio vectorial asociado es un espacio vectorial euclidiano. Los espacios euclidianos a veces se denominan espacios afines euclidianos para distinguirlos de los espacios vectoriales euclidianos. ^{[ 6 ]}

Si E es un espacio euclidiano, su espacio vectorial asociado (espacio vectorial euclidiano) se suele denotar${\displaystyle {\overrightarrow {E}}.}$La dimensión de un espacio euclidiano es la dimensión de su espacio vectorial asociado.

Los elementos de E se llaman puntos y se suelen denotar con letras mayúsculas. Los elementos de${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$Se les llama vectores euclidianos o vectores libres . También se les denomina traslaciones , aunque, propiamente hablando, una traslación es la transformación geométrica resultante de la acción de un vector euclidiano sobre el espacio euclidiano.

La acción de una traslación v sobre un punto P proporciona un punto que se denota como P + v . Esta acción satisface

$${\displaystyle P+(v+w)=(P+v)+w.}$$

Nota: El segundo signo + en el lado izquierdo representa una suma vectorial; los demás signos + indican la acción de un vector sobre un punto. Esta notación no es ambigua, ya que, para distinguir entre los dos significados de + , basta con observar la naturaleza de su argumento izquierdo.

El hecho de que la acción sea libre y transitiva significa que, para cada par de puntos ( P , Q ) , existe exactamente un vector de desplazamiento v tal que P + v = Q. Este vector v se denota como Q − P o${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}{\vphantom {\frac {)}{}}}.}$

Como se explicó anteriormente, algunas de las propiedades básicas de los espacios euclidianos se derivan de la estructura del espacio afín. Estas se describen en la sección «  Estructura afín» y sus subsecciones. Las propiedades derivadas del producto interno se explican en la sección «  Estructura métrica» y sus subsecciones.

Sea E un espacio euclidiano y${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$su espacio vectorial asociado.

Un subespacio euclidiano plano o un subespacio afín de E es un subconjunto F de E tal que

$${\displaystyle {\overrightarrow {F}}={\Bigl \{}{\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} P\in F,Q\in F{\Bigr \}}{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

ya que el espacio vectorial asociado de F es un subespacio lineal (subespacio vectorial) de${\displaystyle {\overrightarrow {E}}.}$Un subespacio euclidiano F es un espacio euclidiano con${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$como el espacio vectorial asociado. Este subespacio lineal${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$También se le llama la dirección de F.

Si P es un punto de F entonces

$${\displaystyle F={\Bigl \{}P+v\mathrel {\Big |} v\in {\overrightarrow {F}}{\Bigr \}}.}$$

Por el contrario, si P es un punto de E y${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$es un subespacio lineal de${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$entonces

$${\displaystyle P+{\overrightarrow {V}}={\Bigl \{}P+v\mathrel {\Big |} v\in {\overrightarrow {V}}{\Bigr \}}}$$

es un subespacio euclidiano de dirección${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$. (El espacio vectorial asociado a este subespacio es${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$.)

Un espacio vectorial euclidiano${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$(es decir, un espacio euclidiano que es igual a${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$) tiene dos tipos de subespacios: sus subespacios euclidianos y sus subespacios lineales. Los subespacios lineales son subespacios euclidianos y un subespacio euclidiano es un subespacio lineal si y solo si contiene el vector cero.

En un espacio euclidiano, una línea es un subespacio euclidiano de dimensión uno. Dado que un espacio vectorial de dimensión uno está generado por cualquier vector distinto de cero, una línea es un conjunto de la forma

$${\displaystyle {\Bigl \{}P+\lambda {\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} \lambda \in \mathbb {R} {\Bigr \}},{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

donde P y Q son dos puntos distintos del espacio euclidiano como parte de la línea.

De ello se deduce que existe exactamente una línea que pasa por (contiene) dos puntos distintos. Esto implica que dos líneas distintas se intersecan en un único punto como máximo.

Una representación más simétrica de la línea que pasa por P y Q es

$${\displaystyle {\Bigl \{}O+(1-\lambda ){\overrightarrow {OP}}+\lambda {\overrightarrow {OQ}}\mathrel {\Big |} \lambda \in \mathbb {R} {\Bigr \}},{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

donde O es un punto arbitrario (no necesariamente sobre la línea).

En un espacio vectorial euclidiano, el vector cero se suele elegir para O ; esto permite simplificar la fórmula anterior en

$${\displaystyle {\bigl \{}(1-\lambda )P+\lambda Q\mathrel {\big |} \lambda \in \mathbb {R} {\bigr \}}.}$$

Una convención estándar permite utilizar esta fórmula en cualquier espacio euclidiano, véase Espacio afín §  Combinaciones afines y baricentro .

El segmento de línea , o simplemente segmento , que une los puntos P y Q es el subconjunto de puntos tales que 0 ≤ 𝜆 ≤ 1 en las fórmulas anteriores. Se denota PQ o QP ; es decir

$${\displaystyle PQ=QP={\Bigl \{}P+\lambda {\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} 0\leq \lambda \leq 1{\Bigr \}}.{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

Dos subespacios S y T de la misma dimensión en un espacio euclidiano son paralelos si tienen la misma dirección (es decir, el mismo espacio vectorial asociado). ^{[ a ]} ​​Equivalentemente, son paralelos si existe un vector de traslación v que mapea uno al otro:

$${\displaystyle T=S+v.}$$

Dado un punto P y un subespacio S , existe exactamente un subespacio que contiene a P y es paralelo a S , que es${\displaystyle P+{\overrightarrow {S}}.}$En el caso en que S sea una línea (subespacio de dimensión uno), esta propiedad es el axioma de Playfair .

De ello se deduce que, en un plano euclidiano, dos líneas o bien se encuentran en un punto o son paralelas.

El concepto de subespacios paralelos se ha extendido a subespacios de diferentes dimensiones: dos subespacios son paralelos si la dirección de uno de ellos está contenida en la dirección del otro.

La distancia (más precisamente la distancia euclidiana ) entre dos puntos de un espacio euclidiano es la norma del vector de traslación que mapea un punto al otro; es decir,

$${\displaystyle d(P,Q)={\Bigl \|}{\overrightarrow {PQ}}{\Bigr \|}.{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

La longitud de un segmento PQ es la distancia d ( P , Q ) entre sus puntos extremos P y Q . A menudo se denota${\displaystyle |PQ|}$.

La distancia es una métrica , ya que es definida positiva, simétrica y satisface la desigualdad triangular.

$${\displaystyle d(P,Q)\leq d(P,R)+d(R,Q).}$$

Además, la igualdad se cumple si y solo si un punto R pertenece al segmento PQ . Esta desigualdad significa que la longitud de cualquier lado de un triángulo es menor que la suma de las longitudes de los demás lados. Este es el origen del término desigualdad triangular .

Con la distancia euclidiana, todo espacio euclidiano es un espacio métrico completo .

Dos vectores no nulos u y v de${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$(el espacio vectorial asociado de un espacio euclidiano E ) son perpendiculares u ortogonales si su producto interno es cero:

$${\displaystyle u\cdot v=0}$$

Dos subespacios lineales de${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$Dos subespacios lineales son ortogonales si cada vector no nulo del primero es perpendicular a cada vector no nulo del segundo. Esto implica que la intersección de los subespacios lineales se reduce al vector nulo.

Dos líneas, y más generalmente dos subespacios euclidianos (una línea puede considerarse como un subespacio euclidiano), son ortogonales si sus direcciones (los espacios vectoriales asociados a los subespacios euclidianos) son ortogonales. Dos líneas ortogonales que se intersecan se denominan perpendiculares .

Dos segmentos AB y AC que comparten un punto final común A son perpendiculares o forman un ángulo recto si los vectores${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}{\vphantom {\frac {)}{}}}}$y${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}{\vphantom {\frac {)}{}}}}$son ortogonales.

Si AB y AC forman un ángulo recto, uno tiene

$${\displaystyle |BC|^{2}=|AB|^{2}+|AC|^{2}.}$$

Este es el teorema de Pitágoras . Su demostración es sencilla en este contexto, ya que, expresándolo en términos del producto interno, se tiene, utilizando la bilinealidad y la simetría del producto interno:

$${\displaystyle {\begin{aligned}|BC|^{2}&={\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {BC}}{\vphantom {\frac {(}{}}}\\[2mu]&={\Bigl (}{\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}{\Bigr )}\cdot {\Bigl (}{\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}{\Bigr )}\\[4mu]&={\overrightarrow {BA}}\cdot {\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AC}}-2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\\[6mu]&={\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\\[6mu]&=|AB|^{2}+|AC|^{2}.\end{aligned}}}$$

Aquí,${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=0{\vphantom {\frac {(}{}}}}$Se utiliza porque estos dos vectores son ortogonales.

El ángulo (no orientado) θ entre dos vectores distintos de cero x e y en${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$es

$${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {x\cdot y}{|x|\,|y|}}\right)}$$

donde arccos es el valor principal de la función arcocoseno . Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz , el argumento del arcocoseno está en el intervalo [ −1, 1 ] . Por lo tanto , θ es real y 0 ≤ θ ≤ π (o 0 ≤ θ ≤ 180 si los ángulos se miden en grados).

Los ángulos no son útiles en una línea euclidiana, ya que solo pueden ser 0 o π .

En un plano euclidiano orientado , se puede definir el ángulo orientado de dos vectores. El ángulo orientado de dos vectores x e y es entonces el opuesto del ángulo orientado de y y x . En este caso, el ángulo de dos vectores puede tener cualquier valor módulo un múltiplo entero de 2π . En particular, un ángulo reflejo π < θ < 2π es igual al ángulo negativo −π < θ − 2π < 0 .

El ángulo de dos vectores no cambia si se multiplican por números positivos. Más precisamente, si x e y son dos vectores, y λ y μ son números reales, entonces

$${\displaystyle \operatorname {angle} (\lambda x,\mu y)={\begin{cases}\operatorname {angle} (x,y)\qquad \qquad {\text{si }}\lambda {\text{ y }}\mu {\text{ tienen el mismo signo}}\\\pi -\operatorname {angle} (x,y)\qquad {\text{en otro caso}}.\end{cases}}}$$

Si A , B y C son tres puntos en un espacio euclidiano, el ángulo de los segmentos AB y AC es el ángulo de los vectores.${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}{\vphantom {\frac {(}{}}}}$y${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}.{\vphantom {\frac {(}{}}}}$Como la multiplicación de vectores por números positivos no altera el ángulo, se puede definir el ángulo entre dos semirrectas con punto inicial A : es el ángulo formado por los segmentos AB y AC , donde B y C son puntos arbitrarios, uno en cada semirrecta. Aunque se usa con menos frecuencia, de forma similar se puede definir el ángulo entre segmentos o semirrectas que no comparten un punto inicial.

El ángulo entre dos líneas se define de la siguiente manera. Si θ es el ángulo entre dos segmentos, uno en cada línea, el ángulo entre otros dos segmentos cualesquiera, uno en cada línea, es θ o π − θ . Uno de estos ángulos está en el intervalo [ 0, π /2 ] y el otro en [ π /2, π ] . El ángulo no orientado de las dos líneas es el que está en el intervalo [ 0, π /2 ] . En un plano euclidiano orientado, el ángulo orientado de dos líneas pertenece al intervalo [ − π /2, π /2 ] .

Todo espacio vectorial euclidiano tiene una base ortonormal (de hecho, infinitas en dimensión superior a uno, y dos en dimensión uno), que es una base${\displaystyle (e_{1},\dots,e_{n})}$de vectores unitarios (${\displaystyle \|e_{i}\|=1}$) que son ortogonales por pares (${\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=0}$para i ≠ j ). Más precisamente, dada cualquier base${\displaystyle (b_{1},\dots ,b_{n}),}$El proceso de Gram-Schmidt calcula una base ortonormal tal que, para cada i , los intervalos lineales de${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{i})}$y${\displaystyle (b_{1},\dots ,b_{i})}$son iguales. ^{[ 7 ]}

Dado un espacio euclidiano E , un marco cartesiano es un conjunto de datos que consiste en una base ortonormal de${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$y un punto E , llamado origen y a menudo denotado O. Un sistema de coordenadas cartesianas.${\displaystyle (O,e_{1},\dots,e_{n})}$permite definir coordenadas cartesianas tanto para E como para${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$de la siguiente manera.

Las coordenadas cartesianas de un vector v de${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$son los coeficientes de v en la base ortonormal${\displaystyle e_{1},\dots,e_{n}.}$Por ejemplo, las coordenadas cartesianas de un vector${\displaystyle v}$sobre una base ortonormal${\ Displaystyle (e_ {1}, e_ {2}, e_ {3})}$(que puede ser nombrado como${\displaystyle (x,y,z)}$como convención) en un espacio euclidiano tridimensional es${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})}$si${\displaystyle v=\alpha _ {1}e_ {1}+\alpha _ {2}e_ {2}+\alpha _ {3}e_ {3}}$Como la base es ortonormal, el coeficiente i -ésimo${\displaystyle \alpha _{i}}$es igual al producto escalar${\displaystyle v\cdot e_{i}.}$

Las coordenadas cartesianas de un punto P de E son las coordenadas cartesianas del vector${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}.{\vphantom {\frac {(}{}}}}$

Dado que un espacio euclidiano es un espacio afín , se puede considerar un marco afín sobre él, que es equivalente a un marco euclidiano, con la salvedad de que la base no tiene por qué ser ortonormal. Esto define las coordenadas afines , a veces llamadas coordenadas sesgadas para enfatizar que los vectores de la base no son ortogonales entre sí.

Una base afín de un espacio euclidiano de dimensión n es un conjunto de n + 1 puntos que no están contenidos en un hiperplano. Una base afín define coordenadas baricéntricas para cada punto.

Muchos otros sistemas de coordenadas pueden definirse en un espacio euclidiano E de dimensión n , de la siguiente manera. Sea f un homeomorfismo (o, más a menudo, un difeomorfismo ) de un subconjunto abierto denso de E a un subconjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$Las coordenadas de un punto x de E son las componentes de f ( x ) . El sistema de coordenadas polares (dimensión 2) y los sistemas de coordenadas esféricas y cilíndricas (dimensión 3) se definen de esta manera.

Para puntos que se encuentran fuera del dominio de f , las coordenadas a veces pueden definirse como el límite de las coordenadas de puntos vecinos, pero estas coordenadas pueden no estar definidas de forma única y pueden no ser continuas en la vecindad del punto. Por ejemplo, en el sistema de coordenadas esféricas, la longitud no está definida en el polo y, en el antimeridiano , la longitud pasa de forma discontinua desde –180° hasta +180°.

Esta forma de definir coordenadas se extiende fácilmente a otras estructuras matemáticas, y en particular a las variedades .

Si E es un espacio euclidiano, su espacio vectorial asociado${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$puede considerarse como un espacio euclidiano. Cada punto O ∈ E define una isometría de espacios euclidianos.

$${\displaystyle P\mapsto {\overrightarrow {OP}},{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

que mapea O al vector cero y tiene la identidad como mapeo lineal asociado. La isometría inversa es el mapeo

$${\displaystyle v\mapsto O+v.}$$

Un marco euclidiano${\displaystyle (O,e_{1},\dots,e_{n})}$permite definir el mapa

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&\to \mathbb {R} ^{n}\\P&\mapsto {\Bigl (}e_{1}\cdot {\overrightarrow {OP}},\dots ,e_{n}\cdot {\overrightarrow {OP}}{\Bigr )},{\vphantom {\frac {(}{}}}\end{aligned}}}$$

que es una isometría de espacios euclidianos. La isometría inversa es

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {R} ^{n}&\to E\\(x_{1}\dots ,x_{n})&\mapsto \left(O+x_{1}e_{1}+\dots +x_{n}e_{n}\right).\end{aligned}}}$$

Esto significa que, salvo isomorfismo, existe exactamente un espacio euclidiano de una dimensión dada.

Esto justifica que muchos autores hablen de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$como el espacio euclidiano de dimensión n .

Una isometría de un espacio euclidiano sobre sí mismo se llama isometría euclidiana , transformación euclidiana o transformación rígida . Las transformaciones rígidas de un espacio euclidiano forman un grupo (bajo composición ), llamado grupo euclidiano y a menudo denotado E( n ) .

Las transformaciones euclidianas más simples son las traslaciones.

$${\displaystyle P\to P+v.}$$

Están en correspondencia biyectiva con los vectores. Por esta razón, el espacio de traslaciones se denomina espacio vectorial asociado a un espacio euclidiano. Las traslaciones forman un subgrupo normal del grupo euclidiano.

Una isometría euclidiana f de un espacio euclidiano E define una isometría lineal.${\displaystyle {\overrightarrow {f}}}$del espacio vectorial asociado (por isometría lineal se entiende una isometría que también es una aplicación lineal ) de la siguiente manera: denotando por Q − P el vector${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}},{\vphantom {\frac {(}{}}}}$Si O es un punto arbitrario de E , se tiene

$${\displaystyle {\overrightarrow {f}}{\Bigl (}{\overrightarrow {OP}}{\Bigr )}=f(P)-f(O).{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

Es sencillo demostrar que se trata de una aplicación lineal que no depende de la elección de O.

El mapa${\displaystyle f\to {\overrightarrow {f}}}$es un homomorfismo de grupos del grupo euclidiano al grupo de isometrías lineales, llamado grupo ortogonal . El núcleo de este homomorfismo es el grupo de traslaciones, lo que demuestra que es un subgrupo normal del grupo euclidiano.

Las isometrías que fijan un punto P dado forman el subgrupo estabilizador del grupo euclidiano con respecto a P. La restricción a este estabilizador del homomorfismo de grupos anterior es un isomorfismo. Por lo tanto, las isometrías que fijan un punto dado forman un grupo isomorfo al grupo ortogonal.

Sea P un punto, f una isometría y t la traslación que transforma P en f ( P ) . La isometría${\displaystyle g=t^{-1}\circ f}$fija P. Entonces${\displaystyle f=t\circ g,}$y el grupo euclidiano es el producto semidirecto del grupo de traslación y el grupo ortogonal.

El grupo ortogonal especial es el subgrupo normal del grupo ortogonal que preserva la quiralidad . Es un subgrupo de índice dos del grupo ortogonal. Su imagen inversa por el homomorfismo de grupos${\displaystyle f\to {\overrightarrow {f}}}$es un subgrupo normal de índice dos del grupo euclidiano, que se denomina grupo euclidiano especial o grupo de desplazamientos . Sus elementos se denominan movimientos rígidos o desplazamientos .

Los movimientos rígidos incluyen la identidad , las traslaciones, las rotaciones (los movimientos rígidos que fijan al menos un punto) y también los movimientos helicoidales .

Ejemplos típicos de transformaciones rígidas que no son movimientos rígidos son las reflexiones , que son transformaciones rígidas que fijan un hiperplano y no son la identidad. También son las transformaciones que consisten en cambiar el signo de una coordenada sobre un sistema de referencia euclidiano.

Dado que el grupo euclidiano especial es un subgrupo de índice dos del grupo euclidiano, para una reflexión r , toda transformación rígida que no sea un movimiento rígido es el producto de r y un movimiento rígido. Una reflexión con deslizamiento es un ejemplo de una transformación rígida que no es ni un movimiento rígido ni una reflexión.

Todos los grupos que se han considerado en esta sección son grupos de Lie y grupos algebraicos .

Un espacio euclidiano es un espacio afín dotado de una métrica . Los espacios afines tienen muchos otros usos en matemáticas. En particular, al estar definidos sobre cualquier cuerpo , permiten realizar geometría en otros contextos.

Cuando se consideran cuestiones no lineales, suele ser útil considerar los espacios afines sobre los números complejos como una extensión de los espacios euclidianos. Por ejemplo, un círculo y una recta siempre tienen dos puntos de intersección (posiblemente no distintos) en el espacio afín complejo. Por lo tanto, la mayor parte de la geometría algebraica se construye en espacios afines complejos y espacios afines sobre cuerpos algebraicamente cerrados . Las figuras que se estudian en geometría algebraica en estos espacios afines se denominan, por consiguiente, variedades algebraicas afines .

Los espacios afines sobre los números racionales y, más generalmente, sobre los cuerpos numéricos algebraicos, establecen un vínculo entre la geometría (algebraica) y la teoría de números . Por ejemplo, el último teorema de Fermat se puede enunciar de la siguiente manera: «una curva de Fermat de grado superior a dos no tiene ningún punto en el plano afín sobre los racionales».

La geometría en espacios afines sobre cuerpos finitos también ha sido ampliamente estudiada. Por ejemplo, las curvas elípticas sobre cuerpos finitos se utilizan ampliamente en criptografía .

Originalmente, los espacios proyectivos se introdujeron añadiendo " puntos en el infinito " a los espacios euclidianos y, más generalmente, a los espacios afines, para que se cumpliera la afirmación de que "dos rectas coplanares se intersecan en un único punto". Los espacios proyectivos comparten con los espacios euclidianos y afines la propiedad de ser isótropos ; es decir, no existe ninguna propiedad del espacio que permita distinguir entre dos puntos o dos rectas. Por lo tanto, se suele utilizar una definición más isótropa, que consiste en definir un espacio proyectivo como el conjunto de las rectas vectoriales en un espacio vectorial de dimensión uno más.

En cuanto a los espacios afines, los espacios proyectivos se definen sobre cualquier cuerpo y son espacios fundamentales de la geometría algebraica .

La geometría no euclidiana se refiere generalmente a espacios geométricos donde el postulado de las paralelas es falso. Incluye la geometría elíptica , donde la suma de los ángulos de un triángulo es mayor de 180°, y la geometría hiperbólica , donde esta suma es menor de 180°. Su introducción en la segunda mitad del siglo XIX, y la demostración de que su teoría es consistente (si la geometría euclidiana no es contradictoria), es una de las paradojas que originaron la crisis fundacional de las matemáticas a principios del siglo XX y motivaron la sistematización de las teorías axiomáticas en matemáticas.

Una variedad es un espacio que, en la vecindad de cada punto, se asemeja a un espacio euclidiano. En términos técnicos, una variedad es un espacio topológico , tal que cada punto tiene una vecindad homeomorfa a un subconjunto abierto de un espacio euclidiano. Las variedades se pueden clasificar, según el grado creciente de esta "semejanza", en variedades topológicas , variedades diferenciables , variedades diferenciables y variedades analíticas . Sin embargo, ninguno de estos tipos de "semejanza" respeta las distancias y los ángulos, ni siquiera de forma aproximada.

En una variedad diferenciable, se pueden definir distancias y ángulos mediante una métrica euclidiana que varía suavemente en los espacios tangentes de los puntos de la variedad (estos espacios tangentes son, por lo tanto, espacios vectoriales euclidianos). Esto da como resultado una variedad riemanniana . Generalmente, en una variedad riemanniana no existen líneas rectas , sino que las geodésicas , que representan los caminos más cortos entre dos puntos, las reemplazan . Esto permite definir distancias, medidas a lo largo de geodésicas, y ángulos entre geodésicas, que corresponden al ángulo de sus tangentes en el espacio tangente en su intersección. Así, las variedades riemannianas se comportan localmente como un espacio euclidiano curvado.

Los espacios euclidianos son, por definición, variedades riemannianas. Un ejemplo que ilustra esto bien es la superficie de una esfera . En este caso, las geodésicas son arcos de círculo máximo , denominados ortodromos en el contexto de la navegación . De forma más general, los espacios de geometrías no euclidianas pueden representarse como variedades riemannianas.

Un producto interno de un espacio vectorial real es una forma bilineal definida positiva , y por lo tanto se caracteriza por una forma cuadrática definida positiva . Un espacio pseudoeuclidiano es un espacio afín con un espacio vectorial real asociado equipado con una forma cuadrática no degenerada (que puede ser indefinida ).

Un ejemplo fundamental de dicho espacio es el espacio de Minkowski , que es el espacio-tiempo de la relatividad especial de Einstein . Es un espacio de cuatro dimensiones, donde la métrica se define mediante la forma cuadrática.

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2},}$$

donde la última coordenada ( t ) es temporal y las otras tres ( x , y , z ) son espaciales.

Para tener en cuenta la gravedad , la relatividad general utiliza una variedad pseudoriemanniana cuyos espacios tangentes son los espacios de Minkowski . La curvatura de esta variedad en un punto es función del valor del campo gravitatorio en dicho punto.