Historia de la geometría

La geometría (del griego antiguo γεωμετρία ; geo- " tierra", -metron "medición") surgió como el campo del conocimiento que se ocupa de las relaciones espaciales. La geometría fue uno de los dos campos de las matemáticas premodernas , siendo el otro el estudio de los números ( aritmética ).

La geometría clásica se centraba en las construcciones con regla y compás . Euclides revolucionó la geometría al introducir el rigor matemático y el método axiomático que aún se utiliza hoy en día. Su libro, Los Elementos, es considerado por muchos el libro de texto más influyente de todos los tiempos y fue conocido por todas las personas cultas de Occidente hasta mediados del siglo XX. ^{[ 1 ]}

En la actualidad, los conceptos geométricos se han generalizado hasta alcanzar un alto grado de abstracción y complejidad, y se han sometido a los métodos del cálculo y el álgebra abstracta, de modo que muchas ramas modernas de esta disciplina apenas se reconocen como descendientes de la geometría primitiva. (Véase Áreas de las matemáticas y Geometría algebraica ).

Los primeros registros de la geometría se remontan a pueblos primitivos, como los del antiguo valle del Indo (véase matemáticas de Harappa ) y la antigua Babilonia (véase matemáticas babilónicas ), alrededor del año 3000  a. C. La geometría primitiva era un conjunto de principios descubiertos empíricamente sobre longitudes, ángulos, áreas y volúmenes, desarrollados para satisfacer necesidades prácticas en topografía , construcción , astronomía y diversos oficios. Entre estos principios se encontraban algunos sorprendentemente sofisticados, y a un matemático moderno le resultaría difícil deducirlos sin el uso del cálculo y el álgebra. Por ejemplo, tanto los egipcios como los babilonios conocían versiones del teorema de Pitágoras unos 1500 años antes que Pitágoras, y los Sulba Sutras indios, alrededor del año 800  a. C., contenían las primeras formulaciones del teorema; los egipcios tenían una fórmula correcta para el volumen de un tronco de pirámide cuadrada.

Geometría védica de la India

El período védico indio tenía una tradición geométrica, expresada principalmente en la construcción de elaborados altares. Los primeros textos indios (primer milenio a. C.) sobre este tema incluyen el Satapatha Brahmana y los Śulba Sūtras . ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

Los Sutras de Śulba han sido descritos como "la expresión verbal más antigua que se conserva del teorema de Pitágoras en el mundo, aunque ya era conocido por los antiguos babilonios". ^{[ 8 ]} Hacen uso de ternas pitagóricas , ^{[ 9 ] [ 10 ]} que son casos particulares de ecuaciones diofánticas . ^{[ 11 ]}

Según el matemático SG Dani, la tablilla cuneiforme babilónica Plimpton 322 escrita alrededor del 1850 a. C. ^{[ 12 ]} "contiene quince ternas pitagóricas con entradas bastante largas, incluyendo (13500, 12709, 18541), que es una terna primitiva, ^{[ 13 ]} lo que indica, en particular, que había una comprensión sofisticada sobre el tema" en Mesopotamia en el 1850  a. C. ^{[ 14 ]} "Dado que estas tablillas son anteriores al período de los Sulbasutras por varios siglos, teniendo en cuenta la aparición contextual de algunas de las ternas, es razonable esperar que hubiera una comprensión similar en la India." ^{[ 14 ]} Dani continúa diciendo: ^{[ 15 ]}

Dado que el objetivo principal de los Sulvasutras era describir la construcción de altares y los principios geométricos que los sustentaban, es posible que el tema de las ternas pitagóricas, aun si se hubiera comprendido bien, no apareciera en ellos . La presencia de las ternas en los Sulvasutras es comparable a las matemáticas que se pueden encontrar en un libro introductorio de arquitectura u otra área aplicada similar, y no se correspondería directamente con el conocimiento general sobre el tema en aquella época. Dado que, lamentablemente, no se han encontrado otras fuentes contemporáneas, es posible que nunca se pueda resolver esta cuestión de manera satisfactoria.

En el manuscrito de Bakhshali , hay un puñado de problemas geométricos (incluidos problemas sobre volúmenes de sólidos irregulares). El manuscrito de Bakhshali también «emplea un sistema de valor posicional decimal con un punto para el cero». ^{[ 19 ]} El Aryabhatiya (499) de Aryabhata incluye el cálculo de áreas y volúmenes.

Brahmagupta escribió su obra astronómica Brāhma Sphuṭa Siddhānta en 628. El capítulo 12, que contiene 66 versos en sánscrito , se dividió en dos secciones: "operaciones básicas" (que incluyen raíces cúbicas, fracciones, razón y proporción, e intercambio) y "matemáticas prácticas" (que incluyen mezclas, series matemáticas, figuras planas, apilamiento de ladrillos, aserrado de madera y apilamiento de grano). ^{[ 20 ]} En esta última sección, enunció su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico : ^{[ 20 ]}

Teorema de Brahmagupta: Si un cuadrilátero cíclico tiene diagonales perpendiculares entre sí, entonces la línea perpendicular trazada desde el punto de intersección de las diagonales a cualquier lado del cuadrilátero siempre biseca el lado opuesto.

El capítulo 12 también incluía una fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (una generalización de la fórmula de Herón ), así como una descripción completa de los triángulos racionales ( es decir, triángulos con lados racionales y áreas racionales).

Fórmula de Brahmagupta: El área, A , de un cuadrilátero cíclico con lados de longitudes a , b , c , d , respectivamente, viene dada por

${\displaystyle A={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)}}}$

donde s , el semiperímetro , viene dado por:${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

Teorema de Brahmagupta sobre triángulos racionales: Un triángulo con lados racionales${\displaystyle a,b,c}$y el área racional tiene la forma:

${\displaystyle a={\frac {u^{2}}{v}}+v,\ \ b={\frac {u^{2}}{w}}+w,\ \ c={\frac {u^{2}}{v}}+{\frac {u^{2}}{w}}-(v+w)}$

para algunos números racionales${\displaystyle u,v,}$y${\displaystyle w}$. ^{[ 21 ]}

Parameshvara Nambudiri fue el primer matemático en dar una fórmula para el radio del círculo circunscrito a un cuadrilátero cíclico. ^{[ 22 ]} La expresión se atribuye a veces a Lhuilier [1782], 350 años después. Siendo los lados del cuadrilátero cíclico a, b, c y d , el radio R del círculo circunscrito es:

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+cd)}}}.}$

La primera obra definitiva (o al menos la más antigua que se conserva) sobre geometría en China fue el Mo Jing , el canon mohista del filósofo Mozi (470-390 a. C.). Fue compilado años después de su muerte por sus seguidores alrededor del año 330 a. C. ^{[ 23 ]} Si bien el Mo Jing es el libro más antiguo que se conserva sobre geometría en China, existe la posibilidad de que existiera material escrito aún más antiguo. Sin embargo, debido a la infame Quema de Libros, una maniobra política del gobernante de la dinastía Qin, Qin Shihuang (r. 221-210 a. C.), multitud de obras escritas anteriores a su época fueron destruidas. Además, el Mo Jing presenta conceptos geométricos en matemáticas que quizás sean demasiado avanzados como para no haber contado con una base geométrica o matemática previa sobre la cual trabajar.

El Mo Jing describió varios aspectos de muchos campos asociados con la ciencia física, y proporcionó una pequeña cantidad de información sobre matemáticas también. Proporcionó una definición "atómica" del punto geométrico, afirmando que una línea se divide en partes, y la parte que no tiene partes restantes (es decir, que no se puede dividir en partes más pequeñas) y que por lo tanto forma el extremo de una línea es un punto. ^{[ 23 ]} Al igual que la primera y la tercera definiciones de Euclides y el "comienzo de una línea" de Platón, el Mo Jing afirmó que "un punto puede estar al final (de una línea) o al principio como una presentación de la cabeza en el parto. (En cuanto a su invisibilidad) no hay nada similar". ^{[ 24 ]} De manera similar a los atomistas de Demócrito , el Mo Jing afirmó que un punto es la unidad más pequeña y no se puede cortar por la mitad, ya que "nada" no se puede dividir por la mitad. ^{[ 24 ]} Afirmaba que dos líneas de igual longitud siempre terminarían en el mismo lugar, ^{[ 24 ]} a la vez que proporcionaba definiciones para la comparación de longitudes y para paralelas , ^{[ 25 ]} junto con principios de espacio y espacio acotado. ^{[ 26 ]} También describía el hecho de que los planos sin la cualidad de espesor no pueden apilarse ya que no pueden tocarse entre sí. ^{[ 27 ]} El libro proporcionaba definiciones de circunferencia, diámetro y radio, junto con la definición de volumen. ^{[ 28 ]}

El período de la dinastía Han (202 a. C.  – 220 d. C.) en China presenció un nuevo florecimiento de las matemáticas. Uno de los textos matemáticos chinos más antiguos que presenta progresiones geométricas fue el Suàn shù shū del 186 a. C., durante la era Han Occidental. El matemático, inventor y astrónomo Zhang Heng (78–139 d. C.) utilizó fórmulas geométricas para resolver problemas matemáticos. Aunque se dieron estimaciones aproximadas para pi ( π ) en el Zhou Li (compilado en el siglo II a. C.), ^{[ 29 ]} fue Zhang Heng quien realizó el primer esfuerzo concertado para crear una fórmula más precisa para pi. Zhang Heng aproximó pi como 730/232 (o aproximadamente 3,1466), aunque utilizó otra fórmula de pi para encontrar un volumen esférico, usando la raíz cuadrada de 10 (o aproximadamente 3,162) en su lugar. Zu Chongzhi (429–500 d _. C.) mejoró la precisión de la aproximación de pi a entre 3,1415926 y 3,1415927, siendo ^355/113 (密率, Milü, aproximación detallada) y 22/7 ⁽约率, Yuelü, aproximación burda) las otras aproximaciones notables. ^{[ 30 ]} En comparación con trabajos posteriores, la fórmula para pi dada por el matemático francés Franciscus Vieta (1540–1603) quedó _a medio camino entre las aproximaciones de Zu.

Thābit ibn Qurra , utilizando lo que él denominó el método de reducción y composición, proporcionó dos demostraciones generales diferentes del teorema de Pitágoras para todos los triángulos , antes de las cuales solo existían demostraciones del teorema para los casos especiales de un triángulo rectángulo especial . ^{[ 36 ]}

Un artículo de 2007 en la revista Science sugirió que las teselas girih poseían propiedades consistentes con teselaciones cuasicristalinas fractales autosimilares como las teselaciones de Penrose . ^{[ 37 ] [ 38 ]}

La transmisión de los clásicos griegos a la Europa medieval a través de la literatura árabe de los siglos IX al X, la « Edad de Oro islámica », comenzó en el siglo X y culminó con las traducciones latinas del siglo XII . Enrique Aristipo (m. 1162) trajo a Sicilia una copia del Almagesto de Ptolomeo como regalo del emperador al rey Guillermo I (r. 1154-1166 ) . Un estudiante anónimo de Salerno viajó a Sicilia y tradujo el Almagesto , así como varias obras de Euclides, del griego al latín. ^{[ 39 ]} Aunque los sicilianos generalmente traducían directamente del griego, cuando no disponían de textos griegos, traducían del árabe. Eugenio de Palermo (m. 1202) tradujo la Óptica de Ptolomeo al latín, aprovechando su conocimiento de los tres idiomas para esta tarea. ^{[ 40 ]} Se volvieron a aprender los rigurosos métodos deductivos de geometría que se encuentran en los Elementos de Geometría de Euclides , y continuó el desarrollo de la geometría en los estilos tanto de Euclides ( geometría euclidiana ) como de Khayyam ( geometría algebraica ), lo que dio como resultado una abundancia de nuevos teoremas y conceptos, muchos de ellos muy profundos y elegantes.

En el arte renacentista de los siglos XIV y XV se produjeron avances en el tratamiento de la perspectiva que superaron los logros de la Antigüedad. En la arquitectura renacentista del Quattrocento se exploraron conceptos de orden arquitectónico y se formularon reglas. Un ejemplo destacado es la Basílica de San Lorenzo en Florencia , obra de Filippo Brunelleschi (1377-1446). ^{[ 41 ]}

Hacia 1413, Filippo Brunelleschi demostró el método geométrico de la perspectiva, utilizado hoy por los artistas, pintando los contornos de varios edificios florentinos sobre un espejo. Poco después, casi todos los artistas de Florencia e Italia emplearon la perspectiva geométrica en sus pinturas, ^{[ 42 ]} destacando Masolino da Panicale y Donatello . Melozzo da Forlì fue el primero en utilizar la técnica del escorzo ascendente (en Roma, Loreto , Forlì y otros lugares), y fue célebre por ello. La perspectiva no solo era una forma de mostrar profundidad, sino también un nuevo método de composición pictórica. Las pinturas comenzaron a mostrar una única escena unificada, en lugar de una combinación de varias.

Como lo demuestra la rápida proliferación de pinturas con perspectiva precisa en Florencia, Brunelleschi probablemente comprendió (con la ayuda de su amigo el matemático Toscanelli ), ^{[ 43 ]} pero no publicó, las matemáticas que subyacen a la perspectiva. Décadas más tarde, su amigo Leon Battista Alberti escribió De pictura (1435/1436), un tratado sobre los métodos adecuados para mostrar la distancia en la pintura basados ​​en la geometría euclidiana. Alberti también se formó en la ciencia de la óptica a través de la escuela de Padua y bajo la influencia de Biagio Pelacani da Parma, quien estudió la Óptica de Alhazen .

Piero della Francesca desarrolló la obra de Della Pittura en su De Prospectiva Pingendi en la década de 1470. Alberti se había limitado a representar figuras en el plano del suelo y a establecer una base general para la perspectiva. Della Francesca la amplió, abarcando explícitamente los sólidos en cualquier área del plano pictórico. Della Francesca también inició la práctica, ahora común, de utilizar ilustraciones para explicar los conceptos matemáticos, lo que facilitó la comprensión de su tratado en comparación con el de Alberti. Además, Della Francesca fue el primero en dibujar con precisión los sólidos platónicos tal como aparecerían en perspectiva.

La perspectiva siguió siendo, durante un tiempo, dominio exclusivo de Florencia. Jan van Eyck , entre otros, no logró crear una estructura coherente para las líneas convergentes en sus pinturas, como en El retrato de los Arnolfini en Londres , porque desconocía el avance teórico que se estaba produciendo entonces en Italia. Sin embargo, consiguió efectos muy sutiles mediante la manipulación de la escala en sus interiores. Gradualmente, y en parte gracias al movimiento de las academias de arte, las técnicas italianas se incorporaron a la formación de artistas en toda Europa y, posteriormente, en otras partes del mundo. La culminación de estas tradiciones renacentistas encuentra su síntesis definitiva en la investigación del arquitecto, geómetra y óptico Girard Desargues sobre la perspectiva, la óptica y la geometría proyectiva.

El Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci (c. 1490) ^{[ 44 ]} representa a un hombre en dos posiciones superpuestas con los brazos y las piernas separados e inscrito en un círculo y un cuadrado. El dibujo se basa en las correlaciones de las proporciones humanas ideales con la geometría descrita por el antiguo arquitecto romano Vitruvio en el Libro III de su tratado De Architectura .

• Flatland , un libro de "A. Square" sobre el espacio bidimensional y tridimensional , para comprender el concepto de cuatro dimensiones.
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• Geometría triangular moderna

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• La geometría en el siglo XIX en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford
• Las matemáticas árabes: ¿una brillantez olvidada?