campo ordenado euclidiano

En matemáticas , un cuerpo euclidiano es un cuerpo ordenado K para el cual cada elemento no negativo es un cuadrado: es decir, x ≥ 0 en K implica que x = y ² para algún y en K.

Los números construibles forman un cuerpo euclidiano. Es el cuerpo euclidiano más pequeño, ya que todo cuerpo euclidiano lo contiene como un subcuerpo ordenado. En otras palabras, los números construibles forman la clausura euclidiana de los números racionales .

• Todo cuerpo euclidiano es un cuerpo pitagórico ordenado , pero lo contrario no es cierto. ^{[ 1 ]}
• Si E / F es una extensión finita y E es euclidiana, entonces F también lo es . Este "teorema descendente" es una consecuencia del teorema de Diller-Dress . ^{[ 2 ]}

• Los números reales construibles , aquellas longitudes (con signo) que pueden construirse a partir de un segmento racional mediante construcciones con regla y compás , forman un campo euclidiano. ^{[ 3 ]}

Todo cuerpo cerrado real es un cuerpo euclidiano. Los siguientes ejemplos también son cuerpos cerrados reales.

• Las cifras reales${\displaystyle \mathbb {R} }$con las operaciones y el ordenamiento habituales forman un campo euclidiano.
• El campo de los números algebraicos reales${\displaystyle \mathbb {R} \cap \mathbb {\overline {Q}} }$es un campo euclidiano.
• El campo de los números hiperreales es un campo euclidiano.

• Los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$con las operaciones y ordenaciones habituales no forman un campo euclidiano. Por ejemplo, 2 no es un cuadrado en${\displaystyle \mathbb {Q} }$ya que la raíz cuadrada de 2 es irracional . ^{[ 4 ]} Por el resultado descendente anterior, ningún cuerpo numérico algebraico puede ser euclidiano. ^{[ 2 ]}
• Los números complejos${\displaystyle \mathbb {C} }$no forman un cuerpo euclidiano ya que no se les puede dar la estructura de un cuerpo ordenado.

La clausura euclidiana de un cuerpo ordenado K es una extensión de K en la clausura cuadrática de K que es máxima con respecto a ser un cuerpo ordenado con un orden que extiende el de K. [ 5 ^{] También es} el subcuerpo más pequeño de la clausura algebraica de K que es un cuerpo euclidiano y es una extensión ordenada de K.

• Efrat, Ido (2006). Valoraciones, ordenamientos y la teoría K de Milnor . Mathematical Surveys and Monographs. Vol.  124. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-4041-X. Zbl 1103.12002 . 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol.  67. Sociedad Matemática Americana. ISBN 0-8218-1095-2. SEÑOR 2104929 . Zbl 1068.11023 .  
• Martin, George E. (1998). Construcciones geométricas . Textos de matemáticas para estudiantes de pregrado . Springer-Verlag . ISBN 0-387-98276-0. Zbl 0890.51015 . 

• Campo euclidiano en PlanetMath .