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Articulo de referencia

El problema de Waring

En teoría de números , el problema de Waring pregunta si cada número natural k tiene un entero positivo s asociado tal que cada número natural sea la suma de como máximo s númer...

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En teoría de números , el problema de Waring pregunta si cada número natural k tiene un entero positivo s asociado tal que cada número natural sea la suma de como máximo s números naturales elevados a la potencia k . Por ejemplo, cada número natural es la suma de como máximo 4 cuadrados, 9 cubos o 19 cuartas potencias. El problema de Waring fue propuesto en 1770 por Edward Waring , de quien recibe su nombre. Su respuesta afirmativa, conocida como el teorema de Hilbert-Waring , fue proporcionada por Hilbert en 1909. [ 1 ] El problema de Waring tiene su propia Clasificación de Materias Matemáticas , 11P05, "Problema de Waring y variantes".

Relación con el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange

Mucho antes de que Waring planteara su problema, Diofanto había preguntado si todo entero positivo podía representarse como la suma de cuatro cuadrados perfectos mayores o iguales que cero. Esta pregunta se conoció posteriormente como la conjetura de Bachet, tras la traducción de Diofanto realizada en 1621 por Claude Gaspard Bachet de Méziriac , y fue resuelta por Joseph-Louis Lagrange en su teorema de los cuatro cuadrados en 1770, el mismo año en que Waring formuló su conjetura. Waring buscó generalizar este problema intentando representar todos los enteros positivos como la suma de cubos, enteros a la cuarta potencia , etc., para demostrar que cualquier entero positivo puede representarse como la suma de otros enteros elevados a un exponente específico, y que siempre existe un número máximo de enteros elevados a un determinado exponente necesario para representar todos los enteros positivos de esta manera.

El número g ( k )

Por cadak{\displaystyle k}, dejargramo(k){\displaystyle g(k)}denota el número mínimos{\displaystyle s}dek{\displaystyle k}potencias de los naturales necesarias para representar todos los enteros positivos. Cada entero positivo es la suma de una primera potencia, él mismo, por lo quegramo(1)=1{\displaystyle g(1)=1}. Algunos cálculos sencillos muestran que 7 requiere 4 cuadrados, 23 requiere 9 cubos, [ 2 ] y 79 requiere 19 cuartas potencias; estos ejemplos muestran quegramo(2)≥4{\displaystyle g(2)\geq 4},gramo(3)≥9{\displaystyle g(3)\geq 9}, ygramo(4)≥19{\displaystyle g(4)\geq 19}Waring conjeturó que estos límites inferiores eran, de hecho, valores exactos. [ 3 ]

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange de 1770 establece que todo número natural es suma de como máximo cuatro cuadrados. Dado que tres cuadrados no son suficientes, este teorema establecegramo(2)=4{\displaystyle g(2)=4}El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange fue conjeturado en la edición de 1621 de la Aritmética de Diofanto , publicada por Bachet ; Fermat afirmó tener una demostración, pero no la publicó. [ 4 ]

A lo largo de los años se establecieron varios límites, utilizando técnicas de demostración cada vez más sofisticadas y complejas. Por ejemplo, Liouville demostró quegramo(4){\displaystyle g(4)}es como máximo 53. Hardy y Littlewood demostraron que todos los números suficientemente grandes son la suma de como máximo 19 cuartas potencias.

Dejarq{\displaystyle q}yr{\displaystyle r}ser definido por la división euclidiana3k=2kq+r,0≤r<2k,{\displaystyle 3^{k}=2^{k}q+r,\quad 0\leq r<2^{k},}o explícitamente porq=⌊(3/2)k⌋{\displaystyle q=\lfloor (3/2)^{k}\rfloor }yr=2k{(3/2)k}{\displaystyle r=2^{k}\{(3/2)^{k}\}}, dónde⌊incógnita⌋{\displaystyle \lfloor x\rfloor }y{incógnita}{\displaystyle \{x\}}denotan respectivamente la parte entera y la parte fraccionaria de un número real.incógnita{\displaystyle x}.

Dado que el número2kq−1{\displaystyle 2^{k}q-1}es menor que3k{\displaystyle 3^{k}}, como suma de potencias enteras, solo puede expresarse usando1k{\displaystyle 1^{k}}y2k{\displaystyle 2^{k}}Utilizando aritmética modular , se demuestra que la fórmula produce el menor número de términos.2kq−1=1k+⋯+1k⏟2k−1 veces+2k+⋯+2k⏟q−1 veces,{\displaystyle 2^{k}q-1=\underbrace {1^{k}+\dots +1^{k}} _{2^{k}-1{\text{ veces}}}+\underbrace {2^{k}+\dots +2^{k}} _{q-1{\text{ veces}}},}y de ello se deduce quegramo(k)≥2k+q−2,{\displaystyle g(k)\geq 2^{k}+q-2,}lo cual fue señalado por J.A. Euler alrededor de 1772. [ 20 ] Let4k=3kd+s,0≤s<3k{\displaystyle 4^{k}=3^{k}d+s,\,0\leq s<3^{k}}El trabajo conjunto de los autores citados anteriormente ha dado lugar a la fórmula, [ 21 ] [ 22 ] válida para todosk{\displaystyle k}:gramo(k)={2k+q−2si  q+r≤2k2k+q+d−2si  q+r>2k  y  qd+q+d=2k2k+q+d−3si  q+r>2k  y  qd+q+d>2k.{\displaystyle g(k)={\begin{cases}2^{k}+q-2&{\text{si }}~q+r\leq 2^{k}\\2^{k}+q+d-2&{\text{si }}~q+r>2^{k}~{\text{ y }}~qd+q+d=2^{k}\\2^{k}+q+d-3&{\text{si }}~q+r>2^{k}~{\text{ y }}~qd+q+d>2^{k}.\end{cases}}}Dickson y Pillai demostraron independientemente el primer caso, ya queq+r≤2k−3{\displaystyle q+r\leq 2^{k}-3}y los otros dos casos, [ 23 ] y observaron queq+r≠2k−1{\displaystyle q+r\neq 2^{k}-1}parak>1{\displaystyle k>1}. Rubugunday demostró que q+r≠2k{\displaystyle q+r\neq 2^{k}}a pesar dek{\displaystyle k}, dejando el caso finalq+r=2k−2{\displaystyle q+r=2^{k}-2}abierto. En este escenario, Niven demostró quegramo(k)=2k+q−2{\displaystyle g(k)=2^{k}+q-2}.

Ningún valor dek{\displaystyle k}se sabe para cuál la hipótesisq+r>2k{\displaystyle q+r>2^{k}}En los dos últimos casos se cumple. Mahler [ 24 ] demostró que solo puede haber un número finito de talesk{\displaystyle k}Kubina y Wunderlich [ 25 ] , ampliando el trabajo de Stemmler [ 26 ] , han demostrado que cualquier cosa de este tipok{\displaystyle k}debe satisfacerk>471600000{\displaystyle k>471\,600\,000}Se conjetura que no existen talesk{\displaystyle k}; en ese caso,gramo(k)=2k+q−2{\displaystyle g(k)=2^{k}+q-2}para cada entero positivok{\displaystyle k}.

Los primeros valores degramo(k){\displaystyle g(k)}son

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055, 263619, 526502, 1051899, ... (secuencia A002804 en el OEIS ) .

El número G ( k )

A partir del trabajo de Hardy y Littlewood , [ 27 ] la cantidad relacionada G ( k ) fue estudiada con g ( k ). G ( k ) se define como el menor entero positivo s tal que todo entero suficientemente grande (es decir, todo entero mayor que alguna constante) puede representarse como una suma de como máximo s enteros positivos a la potencia de k . Claramente, G (1) = 1. Dado que los cuadrados son congruentes con 0, 1 o 4 (mod 8) (y también con 0, 1 o 4 (mod 5) [ 28 ] ), ningún entero congruente con 7 (mod 8) puede representarse como una suma de tres cuadrados, lo que implica que G (2) ≥ 4. Dado que G ( k ) ≤ g ( k ) para todo k , esto muestra que G (2) = 4 . Davenport demostró [ 29 ] que G (4) = 16 en 1939, al demostrar que cualquier número suficientemente grande congruente con 1 a 14 mod 16 podía escribirse como una suma de 14 cuartas potencias (Vaughan en 1986 [ 30 ] y 1989 [ 31 ] redujo los 14 bicuadrados sucesivamente a 13 y 12). El valor exacto de G ( k ) es desconocido para cualquier otro k , pero existen límites.

Límites inferiores para G ( k )

El número G ( k ) es mayor o igual que

En ausencia de restricciones de congruencia, un argumento de densidad sugiere que G ( k ) debería ser igual a k + 1 .

Límites superiores para G ( k )

G (3) es al menos 4 (ya que los cubos son congruentes con 0, 1 o −1 mod 9); para números menores que 1,3 × 109 ,1 290 740 es el último que requiere 6 cubos, y la cantidad de números entre N y 2 N que requieren 5 cubos disminuye con el aumento de N a una velocidad suficiente para que la gente crea que G (3) = 4 ; [ 32 ] el número más grande que se sabe ahora que no es una suma de 4 cubos es7 373 170 279 850 , [ 33 ] y los autores dan argumentos razonables allí de que este puede ser el más grande posible. El límite superior G (3) ≤ 7 se debe a Linnik en 1943. [ 34 ] (Todos los enteros no negativos requieren como máximo 9 cubos, y se conjetura que los enteros más grandes que requieren 9, 8, 7, 6 y 5 cubos son 239, 454, 8042,1 290 740 y7 373 170 279 850 , respectivamente.)

13 792 es el número más grande que requiere 17 cuartas potencias (Deshouillers, Hennecart y Landreau demostraron en 2000 [ 35 ] que cada número entre13 793 y 10 245 requerían como máximo 16, y Kawada, Wooley y Deshouillers extendieron [ 36 ] el resultado de Davenport de 1939 para demostrar que todo número superior a 10 220 requería como máximo 16). Los números de la forma 31·16 n siempre requieren 16 cuartas potencias.

68 578 904 422 es el último número conocido que requiere 9 quintas potencias ( Secuencia de enteros S001057, Tony D. Noe, 4 de julio de 2017),617 597 724 es el último número menor que 1,3 × 109 que requiere 10 quintas potencias, y51 033 617 es el último número menor que 1,3 × 109 que requiere 11.

Los límites superiores de la derecha para 5 ≤ k ≤ 20 se deben a Vaughan y Wooley . [ 37 ]

Utilizando su método mejorado de Hardy-Ramanujan-Littlewood , I.  M. Vinogradov publicó numerosos refinamientos que condujeron a

GRAMO(k)≤k(3registro⁡k+11){\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11)}

en 1947 [ 38 ] y, finalmente,

GRAMO(k)≤k(2registro⁡k+2registro⁡registro⁡k+doregistro⁡registro⁡registro⁡k){\displaystyle G(k)\leq k(2\log k+2\log \log k+C\log \log \log k)}

para una constante C no especificada y un valor de k suficientemente grande en 1959. [ 39 ]

Aplicando su forma p -ádica del método de Hardy-Ramanujan-Littlewood-Vinogradov para estimar sumas trigonométricas, en las que la suma se toma sobre números con pequeños divisores primos, Anatolii Alexeevitch Karatsuba obtuvo [ 40 ] en 1985 una nueva estimación, parak≥400{\displaystyle k\geq 400}:

GRAMO(k)≤k(2registro⁡k+2registro⁡registro⁡k+12).{\displaystyle G(k)\leq k(2\log k+2\log \log k+12).}

Vaughan obtuvo mejoras adicionales en 1989. [ 31 ]

Wooley luego estableció que para alguna constante C , [ 41 ]

GRAMO(k)≤k(registro⁡k+registro⁡registro⁡k+do).{\displaystyle G(k)\leq k(\log k+\log \log k+C).}

El artículo de revisión de Vaughan y Wooley de 2002 fue exhaustivo en su momento. [ 37 ]

Véase también

Notas

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  2. ↑ Recuerda que nos restringimos a números naturales positivos . Con números enteros generales, no es difícil escribir 23 como la suma de 4 cubos, por ejemplo23+23+23+(−1)3{\displaystyle 2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}}o293+173+83+(−31)3{\displaystyle 29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}}.
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  11. ↑ Conway tenía previsto publicar este resultado como parte de su tesis doctoral. Sin embargo, Chen publicó el mismo resultado ese mismo año, lo que llevó a Conway a desistir de la publicación y, en su lugar, cambiar el tema de su tesis. Véase Jorge Nuno Silva (septiembre de 2005). «Desayuno con John Horton Conway» (PDF) . Boletín de la EMS . 57 : 32–34 ."John Horton Conway (26 de diciembre de 1937 – 11 de abril de 2020)" (PDF) . MacTutor . 2022. Consultado el 13 de febrero de 2026 .
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  23. ↑ Para la condición secundaria, Pillai dar+s≥3k{\displaystyle r+s\geq 3^{k}}yr+s<3k{\displaystyle r+s<3^{k}}en lugar de Dicksonqd+q+d=2k{\displaystyle qd+q+d=2^{k}}yqd+q+d>2k{\displaystyle qd+q+d>2^{k}}, que son equivalentes enq+r>2k{\displaystyle q+r>2^{k}}.
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Referencias

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