Teorema de Euler (geometría diferencial)

En geometría diferencial , el teorema de Euler es un resultado sobre la curvatura de curvas en una superficie. El teorema establece la existencia de curvaturas principales y direcciones principales asociadas que indican las direcciones en las que la superficie se curva más y menos. El teorema recibe su nombre de Leonhard Euler, quien lo demostró en ( Euler 1760 ) .

Más precisamente, sea M una superficie en el espacio euclidiano tridimensional y p un punto en M. Un plano normal que pasa por p es un plano que pasa por el punto p y contiene el vector normal a M. Por cada vector tangente ( unitario ) a M en p , pasa un plano normal P _X que corta una curva en M. Esa curva tiene una cierta curvatura κ _X cuando se considera como una curva dentro de P _X. Siempre que no todos los κ _X sean iguales, existe algún vector unitario X ₁ para el cual k ₁ = κ _{X 1} es lo más grande posible, y otro vector unitario X ₂ para el cual k ₂ = κ _{X 2} es lo más pequeño posible. El teorema de Euler afirma que X ₁ y X ₂ son perpendiculares y que, además, si X es cualquier vector que forma un ángulo θ con X ₁ , entonces    

Las cantidades k ₁ y k ₂ se denominan curvaturas principales , y X ₁ y X ₂ son las direcciones principales correspondientes . La ecuación ( 1 ) a veces se denomina ecuación de Euler ( Eisenhart 2004 , p. 124 ) . 

• Geometría diferencial de superficies
• Indicatriz de Dupin
• radio de curvatura azimutal de la Tierra

• Eisenhart, Luther P. (2004), Tratado sobre la geometría diferencial de curvas y superficies , Dover, ISBN 0-486-43820-1Texto completo de 1909 (actualmente de dominio público)
• Euler, Leonhard ( 1760), "Recherches sur la courbure des Surfaces" , Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin , 16 (publicado en 1767): 119-143.
• Spivak, Michael (1999), Introducción completa a la geometría diferencial, Volumen II , Publish or Perish Press, ISBN 0-914098-71-3