ángulos de Euler

Los ejes del sistema de referencia original se denotan como x , y , z y los ejes del sistema de referencia rotado como X , Y , Z. La definición geométrica (a veces denominada estática) comienza definiendo la línea de nodos ( N ) como la intersección de los planos xy y XY (también puede definirse como la perpendicular común a los ejes z y Z y luego escribirse como el producto vectorial N = z × Z ). Utilizándola, los tres ángulos de Euler se pueden definir de la siguiente manera:

• α (o φ ) es el ángulo con signo entre el eje x y el eje N (convención x ; también podría definirse entre y y N , llamada convención y ).
• β (o θ ) es el ángulo entre el eje z y el eje Z.
• γ (o ψ ) es el ángulo con signo entre el eje N y el eje X (convención x ).

Los ángulos de Euler entre dos sistemas de referencia se definen solo si ambos sistemas tienen la misma quiralidad .

Las rotaciones intrínsecas son rotaciones elementales que ocurren alrededor de los ejes de un sistema de coordenadas XYZ asociado a un cuerpo en movimiento. Por lo tanto, cambian su orientación después de cada rotación elemental. El sistema XYZ rota, mientras que xyz permanece fijo. Partiendo de XYZ superpuesto a xyz , se puede utilizar una composición de tres rotaciones intrínsecas para alcanzar cualquier orientación objetivo para XYZ .

Los ángulos de Euler se pueden definir mediante rotaciones intrínsecas. El sistema de referencia rotado XYZ puede imaginarse inicialmente alineado con xyz , antes de sufrir las tres rotaciones elementales representadas por los ángulos de Euler. Sus orientaciones sucesivas se pueden denotar de la siguiente manera:

• x - y - z o x ₀ - y ₀ - z ₀ (inicial)
• x ′- y ′- z ′ o x ₁ - y ₁ - z ₁ (después de la primera rotación)
• x ″- y ″- z ″ o x ₂ - y ₂ - z ₂ (después de la segunda rotación)
• X - Y - Z o x ₃ - y ₃ - z ₃ (final)

Para la secuencia de rotaciones mencionada anteriormente, la línea de nodos N se puede definir simplemente como la orientación de X después de la primera rotación elemental. Por lo tanto, N se puede denotar simplemente como x ′ . Además, dado que la tercera rotación elemental ocurre alrededor de Z , no cambia la orientación de Z. Por lo tanto, Z coincide con z ″ . Esto nos permite simplificar la definición de los ángulos de Euler de la siguiente manera:

• α (o φ ) representa una rotación alrededor del eje z ,
• β (o θ ) representa una rotación alrededor del eje x ′ ,
• γ (o ψ ) representa una rotación alrededor del eje z ″ .

Ejemplos: Wigner ^{[ 2 ]} utiliza un orden ZX′Z′ para definir los ángulos de Euler. Hirschfelder et al. ^{[ 3 ]} utilizan un orden ZY′Z′ para definir los ángulos de Euler.

Las rotaciones extrínsecas son rotaciones elementales que ocurren alrededor de los ejes del sistema de coordenadas fijo xyz . El sistema XYZ rota, mientras que xyz permanece fijo. Partiendo de XYZ superpuesto a xyz , se puede utilizar una composición de tres rotaciones extrínsecas para alcanzar cualquier orientación objetivo para XYZ . Los ángulos de Euler o Tait-Bryan ( α , β , γ ) son las amplitudes de estas rotaciones elementales. Por ejemplo, la orientación objetivo se puede alcanzar de la siguiente manera (nótese el orden inverso de aplicación de los ángulos de Euler):

• El sistema XYZ gira alrededor del eje z un ángulo γ . El eje X ahora forma un ángulo γ con respecto al eje x .
• El sistema XYZ vuelve a girar, pero esta vez alrededor del eje x un ángulo β . El eje Z ahora forma un ángulo β con respecto al eje z .
• El sistema XYZ gira una tercera vez, alrededor del eje z nuevamente, por un ángulo α .

En resumen, las tres rotaciones elementales ocurren alrededor de z , x y z . Esta secuencia se suele denotar z - x - z (o 3-1-3). Los conjuntos de ejes de rotación asociados tanto a los ángulos de Euler propios como a los ángulos de Tait-Bryan se nombran comúnmente utilizando esta notación (véanse arriba las seis posibilidades para cada uno).

Ejemplos: Bradley y Cracknell ^{[ 4 ]} y Evarestov ^{[ 5 ]} utilizan rotaciones alrededor de ejes fijos (no primados).

Si cada paso de la rotación actúa sobre el sistema de coordenadas giratorio XYZ, la rotación es intrínseca ( ZX′-Z″ ). La rotación intrínseca también se puede representar como 3-1-3.

Los ángulos se definen comúnmente según la regla de la mano derecha . Es decir, tienen valores positivos cuando representan una rotación en sentido horario vista desde la dirección positiva del eje, y valores negativos cuando la rotación es en sentido antihorario. La convención opuesta (regla de la mano izquierda) se adopta con menos frecuencia.

Acerca de los rangos (usando notación de intervalos ):

• Para α y γ , el rango se define módulo 2π radianes . Por ejemplo, un rango válido podría ser [ −π , π ] .
• para β , el rango cubre π radianes (pero no se puede decir que sea módulo π ). Por ejemplo, podría ser [ 0, π ] o [ − ⁠ π / 2 ⁠ , ⁠ π / 2 ⁠ ] . 

Los ángulos α , β y γ están determinados de forma única, excepto en el caso singular de que los planos xy y XY sean idénticos, es decir, cuando el eje z y el eje Z tienen la misma dirección o direcciones opuestas. De hecho, si el eje z y el eje Z son iguales, β = 0 y solo α + γ está definido de forma única (no los valores individuales). Del mismo modo, si el eje z y el eje Z son opuestos, β = π y solo α − γ está definido de forma única (no los valores individuales). Estas ambigüedades se conocen como bloqueo de cardán en las aplicaciones.

Existen seis posibilidades para elegir los ejes de rotación para obtener ángulos de Euler propios. En todas ellas, el primer y el tercer eje de rotación son iguales. Las seis secuencias posibles son:

1. z ₁ - x ′- z ₂ ″ (rotaciones intrínsecas) o z ₂ - x - z ₁ (rotaciones extrínsecas)
2. x ₁ - y ′- x ₂ ″ (rotaciones intrínsecas) o x ₂ - y - x ₁ (rotaciones extrínsecas)
3. y ₁ - z ′- y ₂ ″ (rotaciones intrínsecas) o y ₂ - z - y ₁ (rotaciones extrínsecas)
4. z ₁ - y ′- z ₂ ″ (rotaciones intrínsecas) o z ₂ - y - z ₁ (rotaciones extrínsecas)
5. x ₁ - z ′- x ₂ ″ (rotaciones intrínsecas) o x ₂ - z - x ₁ (rotaciones extrínsecas)
6. y ₁ - x ′- y ₂ ″ (rotaciones intrínsecas) o y ₂ - x - y ₁ (rotaciones extrínsecas)

La precesión , la nutación y la rotación intrínseca se definen como los movimientos que se obtienen al modificar uno de los ángulos de Euler manteniendo constantes los otros dos. Estos movimientos no se expresan exclusivamente en términos del sistema de referencia externo, ni exclusivamente en términos del sistema de referencia del cuerpo rotado que se mueve, sino de forma combinada. Constituyen un sistema de ejes de rotación mixto : la precesión mueve la línea de nodos alrededor del eje externo z , la nutación rota alrededor de la línea de nodos N , y la rotación intrínseca se produce alrededor de Z , un eje fijo en el cuerpo que se mueve. 

Cabe señalar que si un objeto experimenta un cierto cambio de orientación, esto puede describirse como una combinación de precesión, nutación y rotación interna, pero la cantidad de cada una depende del sistema de coordenadas XYZ que se haya elegido para el objeto.

Como ejemplo, consideremos una peonza . Si definimos el eje Z como el eje de simetría de la peonza, entonces su rotación alrededor de dicho eje corresponde a una rotación intrínseca. También rota alrededor de su eje de pivote, con su centro de masa orbitando alrededor de este; esta rotación se denomina precesión. Finalmente, la peonza puede oscilar hacia arriba y hacia abajo (si no se trata de una peonza simétrica ); el cambio de ángulo de inclinación se denomina nutación. El mismo ejemplo se puede observar en los movimientos de la Tierra.

Aunque los tres movimientos pueden representarse mediante matrices de rotación, solo la precesión puede expresarse en general como una matriz en la base del espacio sin dependencias de los otros ángulos.

Estos movimientos también se comportan como un cardán. Dado un conjunto de marcos, cada uno capaz de moverse con respecto al anterior según un único ángulo, como un cardán, existirá un marco fijo externo, un marco final y dos marcos intermedios. Los dos marcos intermedios funcionan como dos anillos de cardán que permiten que el último marco alcance cualquier orientación en el espacio.

Las definiciones y notaciones utilizadas para los ángulos de Tait-Bryan son similares a las descritas anteriormente para los ángulos de Euler propios ( definición geométrica , definición de rotación intrínseca , definición de rotación extrínseca ). La única diferencia es que los ángulos de Tait-Bryan representan rotaciones alrededor de tres ejes distintos (por ejemplo, x - y - z o x - y ′- z ″ ), mientras que los ángulos de Euler propios utilizan el mismo eje para la primera y la tercera rotación elemental (por ejemplo, z - x - z o z - x ′- z ″ ).

Esto implica una definición diferente para la línea de nodos en la construcción geométrica. En el caso de los ángulos de Euler propios, se definía como la intersección entre dos planos cartesianos homólogos (paralelos cuando los ángulos de Euler son cero; por ejemplo, xy y XY ). En el caso de los ángulos de Tait-Bryan, se define como la intersección de dos planos no homólogos (perpendiculares cuando los ángulos de Euler son cero; por ejemplo, xy y YZ ).

Las tres rotaciones elementales pueden ocurrir alrededor de los ejes del sistema de coordenadas original, que permanece inmóvil ( rotaciones extrínsecas ), o alrededor de los ejes del sistema de coordenadas giratorio, que cambia su orientación después de cada rotación elemental ( rotaciones intrínsecas ).

Existen seis posibilidades para elegir los ejes de rotación de los ángulos de Tait-Bryan. Las seis secuencias posibles son:

• x - y ′- z ″ (rotaciones intrínsecas) o z - y - x (rotaciones extrínsecas)
• y - z ′- x ″ (rotaciones intrínsecas) o x - z - y (rotaciones extrínsecas)
• z - x ′- y ″ (rotaciones intrínsecas) o y - x - z (rotaciones extrínsecas)
• x - z ′- y ″ (rotaciones intrínsecas) o y - z - x (rotaciones extrínsecas)
• z - y ′- x ″ (rotaciones intrínsecas) o x - y - z (rotaciones extrínsecas): las rotaciones intrínsecas se conocen como: guiñada, cabeceo y balanceo
• y - x ′- z ″ (rotaciones intrínsecas) o z - x - y (rotaciones extrínsecas)

La convención de Tait-Bryan se utiliza ampliamente en ingeniería con diversos fines. En la práctica, existen varias convenciones para la selección de ejes, tanto fijos como móviles, y estas convenciones determinan los signos de los ángulos. Por lo tanto, es fundamental estudiar cuidadosamente los signos en cada caso.

El rango para los ángulos ψ y φ abarca 2π radianes. Para θ, el rango abarca π radianes.

Estos ángulos se suelen tomar como uno en el sistema de referencia externo ( rumbo , rumbo ), uno en el sistema de referencia móvil intrínseco ( bancada ) y uno en un sistema de referencia intermedio, que representa una elevación o inclinación con respecto al plano horizontal, que es equivalente a la línea de nodos para este propósito.

En el caso de una aeronave, se pueden obtener con tres rotaciones alrededor de sus ejes principales si se realizan en el orden correcto y partiendo de un sistema de referencia coincidente con el sistema de referencia principal.

• Una guiñada obtendrá el rumbo,
• un lanzamiento producirá la elevación y
• Un giro determina el ángulo de inclinación.

Por lo tanto, en la industria aeroespacial a veces se les denomina guiñada, cabeceo y alabeo . Cabe destacar que esto no funcionará si las rotaciones se aplican en otro orden o si los ejes del avión parten de una posición distinta al sistema de referencia.

Los ángulos de Tait-Bryan, siguiendo la convención z - y ′- x ″ (rotaciones intrínsecas), también se conocen como ángulos náuticos , porque se pueden usar para describir la orientación de un barco o aeronave, o ángulos de Cardan , en honor al matemático y físico italiano Gerolamo Cardano , quien describió por primera vez en detalle la suspensión de Cardan y la junta de Cardan .

Suponiendo un sistema de coordenadas con vectores unitarios ( X , Y , Z ) dados por sus coordenadas como en el diagrama principal, se puede observar que:

${\displaystyle \cos(\beta)=Z_{3}.}$

Y, dado que

${\displaystyle \sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x,}$

para 0 < x < π tenemos

${\displaystyle \sin(\beta )={\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}.}$

Como Z ₂ es la doble proyección de un vector unitario,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos(\alpha )\cdot \sin(\beta )=-Z_{2},\\&\cos(\alpha )={\frac {-Z_{2}}{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}}.\end{aligned}}}$

Existe una construcción similar para Y3 , proyectándola primero sobre el eje y ″ (el eje y resultante después _de las dos primeras rotaciones) y luego proyectando la proyección sobre el eje z inicial . Como el ángulo entre el eje Y y el eje y ″ es γ , y el ángulo entre el eje y ″ y el eje z es π / 2 − β , y dado que cos( π / 2 − β ) = sin( β ) , esto conduce a:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin(\beta )\cdot \cos(\gamma )=Y_{3},\\&\cos(\gamma )={\frac {Y_{3}}{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}},\end{aligned}}}$

y finalmente, utilizando la función coseno inverso ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arccos \left({\frac {-Z_{2}}{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}}\right),\\\beta &=\arccos \left(Z_{3}\right),\\\gamma &=\arccos \left({\frac {Y_{3}}{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}}\right).\end{aligned}}}$

Suponiendo un sistema de coordenadas con vectores unitarios ( X , Y , Z ) dados por sus coordenadas como en este nuevo diagrama (nótese que el ángulo θ es negativo), se puede observar que:

${\displaystyle \sin(\theta )=-X_{3}}$

Como antes,

${\displaystyle \cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x,}$

para − ⁠ π / 2 ⁠ < x < ⁠ π / 2 ⁠ tenemos

${\displaystyle \cos(\theta )={\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.}$

de forma análoga a la anterior:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\psi )&={\frac {X_{2}}{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}},\\\sin(\phi )&={\frac {Y_{3}}{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}}.\end{aligned}}}$

Buscando expresiones similares a las anteriores:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=\arcsin \left({\frac {X_{2}}{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}}\right),\\\theta &=\arcsin(-X_{3}),\\\phi &=\arcsin \left({\frac {Y_{3}}{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}}\right).\end{aligned}}}$

Nótese que las funciones seno y coseno inversos producen dos valores posibles para el argumento. En esta descripción geométrica, solo una de las soluciones es válida. Cuando los ángulos de Euler se definen como una secuencia de rotaciones, todas las soluciones pueden ser válidas, pero solo una estará dentro de los rangos angulares. Esto se debe a que la secuencia de rotaciones para alcanzar el sistema de referencia objetivo no es única si los rangos no se han definido previamente. ^{[ 6 ]}

Para fines computacionales, puede ser útil representar los ángulos usando atan2 ( y , x ) . Por ejemplo, en el caso de ángulos de Euler propios:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\operatorname {atan2} (Z_{1},-Z_{2}),\\\gamma &=\operatorname {atan2} (X_{3},Y_{3}).\end{aligned}}}$

Cualquier orientación se puede lograr componiendo tres rotaciones elementales, partiendo de una orientación estándar conocida. De forma equivalente, cualquier matriz de rotación R se puede descomponer como un producto de tres matrices de rotación elementales. Por ejemplo: $${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}$$ es una matriz de rotación que puede usarse para representar una composición de rotaciones extrínsecas alrededor de los ejes z , y , x (en ese orden), o una composición de rotaciones intrínsecas alrededor de los ejes x - y ′ - z ″ (en ese orden). Sin embargo, tanto la definición de las matrices de rotación elementales X , Y , Z , como su orden de multiplicación dependen de las elecciones que haga el usuario respecto a la definición de las matrices de rotación y los ángulos de Euler (véase, por ejemplo, Ambigüedades en la definición de matrices de rotación ). Desafortunadamente, los usuarios adoptan diferentes conjuntos de convenciones en distintos contextos. La siguiente tabla se construyó de acuerdo con este conjunto de convenciones:

1. Cada matriz está diseñada para funcionar mediante la premultiplicación de vectores columna.${\textstyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$(Véase Ambigüedades en la definición de matrices de rotación )
2. Cada matriz está diseñada para representar una rotación activa (las matrices que la componen y la compuesta deben actuar sobre las coordenadas de los vectores definidos en el sistema de referencia fijo inicial y dar como resultado las coordenadas de un vector rotado definido en el mismo sistema de referencia).
3. Cada matriz está destinada a representar, principalmente, una composición de rotaciones intrínsecas (alrededor de los ejes del marco de referencia giratorio) y, secundariamente, la composición de tres rotaciones extrínsecas (que corresponde a la evaluación constructiva de la matriz R mediante la multiplicación de tres matrices verdaderamente elementales, en orden inverso).
4. Se adoptan sistemas de referencia diestros y se utiliza la regla de la mano derecha para determinar el signo de los ángulos α , β , γ .

Para simplificar, la siguiente tabla de productos matriciales utiliza la siguiente nomenclatura:

1. X , Y , Z son las matrices que representan las rotaciones elementales alrededor de los ejes x , y , z del marco fijo (por ejemplo, X _α representa una rotación alrededor de x por un ángulo α ).
2. s y c representan el seno y el coseno (por ejemplo, s _α representa el seno de α ).

Estos resultados tabulares están disponibles en numerosos libros de texto. ^{[ 7 ]} Para cada columna, la última fila constituye la convención más utilizada.

Para modificar las fórmulas de las rotaciones pasivas (o hallar la rotación activa inversa), se transponen las matrices (de esta forma, cada matriz transforma las coordenadas iniciales de un vector que permanece fijo a las coordenadas del mismo vector medidas en el sistema de referencia rotado; mismo eje de rotación, mismos ángulos, pero ahora es el sistema de coordenadas el que rota, en lugar del vector). ( La textura cristalográfica suele utilizar rotaciones pasivas).

La siguiente tabla contiene fórmulas para los ángulos α , β , γ a partir de elementos de una matriz de ^rotación R. [ ^{8 ]}

Otras propiedades de los ángulos de Euler y de las rotaciones en general se pueden encontrar en el álgebra geométrica , una abstracción de nivel superior, en la que los cuaterniones son una subálgebra par. La herramienta principal en el álgebra geométrica es el rotor.

${\displaystyle \mathbf {R} =\left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-Iu\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]}$

donde θ es el ángulo de rotación , u es el eje de rotación (vector unitario) e I es el pseudoescalar (trivector en ℝ ³ ).

Es posible definir parámetros análogos a los ángulos de Euler en dimensiones superiores a tres. ^{[ 10 ] [ 11 ]} En cuatro dimensiones y superiores, el concepto de "rotación alrededor de un eje" pierde sentido y se convierte en "rotación en un plano". El número de ángulos de Euler necesarios para representar el grupo SO ( n ) es n ( n − 1) / 2 , igual al número de planos que contienen dos ejes de coordenadas distintos en el espacio euclidiano n -dimensional. (En otras palabras, se elige entre n dimensiones para el primer eje, se elige entre las n − 1 dimensiones restantes para el segundo eje y luego se divide por dos, ya que no importa cuál de esos dos se haya seleccionado primero).

En SO(4), una matriz de rotación se define mediante dos cuaterniones unitarios y, por lo tanto, tiene seis grados de libertad, tres de cada cuaternión.

Su principal ventaja sobre otras descripciones de orientación es que se pueden medir directamente desde un cardán montado en un vehículo. Como los giroscopios mantienen constante su eje de rotación, los ángulos medidos en el sistema de referencia del giroscopio son equivalentes a los ángulos medidos en el sistema de referencia del laboratorio. Por lo tanto, los giroscopios se utilizan para conocer la orientación real de las naves espaciales en movimiento, y los ángulos de Euler se pueden medir directamente. El ángulo de rotación intrínseco no se puede leer desde un solo cardán, por lo que debe haber más de uno en una nave espacial. Normalmente hay al menos tres para mayor redundancia. También existe una relación con el conocido problema del bloqueo del cardán en ingeniería mecánica . ^{[ 12 ]}

Al estudiar cuerpos rígidos en general, se denominan coordenadas espaciales al sistema xyz y coordenadas del cuerpo al sistema XYZ . Las coordenadas espaciales se consideran estáticas, mientras que las coordenadas del cuerpo se consideran integradas en el cuerpo en movimiento. Los cálculos que involucran aceleración , aceleración angular , velocidad angular , momento angular y energía cinética suelen ser más sencillos en coordenadas del cuerpo, ya que el tensor de inercia no varía con el tiempo. Si además se diagonaliza el tensor de inercia del cuerpo rígido (con nueve componentes, seis de las cuales son independientes), se obtiene un sistema de coordenadas (denominado ejes principales) en el que el tensor de inercia tiene solo tres componentes.

La velocidad angular de un cuerpo rígido se puede expresar de forma sencilla utilizando los ángulos de Euler en el sistema de referencia móvil. Además, las ecuaciones de Euler para cuerpos rígidos son más simples porque el tensor de inercia es constante en dicho sistema.

En ciencia de materiales, la textura cristalográfica (u orientación preferencial) se puede describir mediante ángulos de Euler. En el análisis de textura, los ángulos de Euler proporcionan una representación matemática de la orientación de los cristalitos individuales dentro de un material policristalino, lo que permite la descripción cuantitativa del material macroscópico. ^{[ 14 ]} La definición más común de los ángulos se debe a Bunge y corresponde a la convención ZXZ . Sin embargo, su aplicación generalmente implica transformaciones de ejes de cantidades tensoriales, es decir, rotaciones pasivas. Por lo tanto, la matriz que corresponde a los ángulos de Euler de Bunge es la transpuesta de la que se muestra en la tabla anterior. ^{[ 15 ]}

Los ángulos de Euler, normalmente en la convención de Tait-Bryan, también se utilizan en robótica para hablar de los grados de libertad de una muñeca . Asimismo, se emplean de forma similar en el control electrónico de estabilidad y para apuntar una cámara en el modelado 3D .

Los sistemas de control de tiro de los cañones requieren correcciones en los ángulos de las órdenes de tiro (rumbo y elevación) para compensar la inclinación de la cubierta (cabeceo y balanceo). En los sistemas tradicionales, un giroscopio estabilizador con un eje de giro vertical corrige la inclinación de la cubierta y estabiliza las miras ópticas y la antena de radar. Sin embargo, los cañones apuntan en una dirección distinta a la línea de visión hacia el objetivo, para anticipar el movimiento del objetivo y la caída del proyectil debido a la gravedad, entre otros factores. Los montajes de los cañones se balancean y cabecean con el plano de la cubierta, pero también requieren estabilización. Las órdenes de tiro incluyen ángulos calculados a partir de los datos del giroscopio vertical, y dichos cálculos implican ángulos de Euler.

Los ángulos de Euler también se utilizan ampliamente en la mecánica cuántica del momento angular. En mecánica cuántica, las descripciones explícitas de las representaciones de SO(3) son cruciales para los cálculos, y casi todo el trabajo se ha realizado utilizando ángulos de Euler. En los inicios de la mecánica cuántica, cuando físicos y químicos reaccionaron con fuerte rechazo hacia los métodos abstractos de la teoría de grupos (conocido como la Gruppenpest ), el uso de ángulos de Euler fue fundamental para el trabajo teórico básico.

Muchos dispositivos informáticos móviles contienen acelerómetros que pueden determinar los ángulos de Euler de estos dispositivos con respecto a la atracción gravitatoria de la Tierra. Estos se utilizan en aplicaciones como juegos, simulaciones de niveles de burbuja y caleidoscopios .