Teorema de rotación de Euler

La demostración original de Euler se realizó utilizando geometría esférica y, por lo tanto, siempre que hable de triángulos, estos deben entenderse como triángulos esféricos .

Análisis previo

Para llegar a una demostración, Euler analiza cómo sería la situación si el teorema fuera cierto. Para ello, supongamos que la línea amarilla de la Figura 1 pasa por el centro de la esfera y es el eje de rotación que buscamos, y que el punto O es uno de los dos puntos de intersección de ese eje con la esfera. Luego, considera un círculo máximo arbitrario que no contiene a O (el círculo azul) y su imagen tras la rotación (el círculo rojo), que es otro círculo máximo que no contiene a O. Denomina A a un punto en su intersección . (Si los círculos coinciden, A puede tomarse como cualquier punto de cualquiera de ellos; de lo contrario, A es uno de los dos puntos de intersección).

Ahora A está en el círculo inicial (el círculo azul), por lo que su imagen estará en el círculo transportado (rojo). Él etiqueta esa imagen como punto a . Como A también está en el círculo transportado (rojo), es la imagen de otro punto que estaba en el círculo inicial (azul) y él etiqueta esa preimagen como α (ver Figura 2 ). Luego considera los dos arcos que unen α y a con A. Estos arcos tienen la misma longitud porque el arco αA se mapea en el arco Aa . Además, como O es un punto fijo, el triángulo αOA se mapea en el triángulo AOa , por lo que estos triángulos son isósceles, y el arco AO biseca el ángulo ∠ αAa .

Notas finales sobre la construcción

Euler también señala que O se puede encontrar intersectando la mediatriz de Aa con la bisectriz del ángulo ∠ αAa , una construcción que podría ser más fácil en la práctica. También propuso la intersección de dos planos:

• el plano de simetría del ángulo ∠ αAa (que pasa por el centro C de la esfera), y
• el plano de simetría del arco Aa (que también pasa por C ).

Proposición . Estos dos planos se intersecan formando un diámetro. Este diámetro es el que estamos buscando.

Demostración . Llamemos O a cualquiera de los extremos (hay dos) de este diámetro sobre la superficie de la esfera. Dado que αA se proyecta sobre Aa y los triángulos tienen los mismos ángulos, se deduce que el triángulo OαA se transporta sobre el triángulo OAa . Por lo tanto, el punto O debe permanecer fijo durante el movimiento.

Corolarios . Esto también demuestra que la rotación de la esfera puede considerarse como dos reflexiones consecutivas respecto a los dos planos descritos anteriormente. Los puntos en un plano de simetría son invariantes bajo reflexión, y por lo tanto, los puntos en su intersección (una línea: el eje de rotación) son invariantes bajo ambas reflexiones y, por consiguiente, bajo la rotación.

Otra forma sencilla de hallar el eje de rotación es considerando el plano en el que se encuentran los puntos α , A y a . El eje de rotación es obviamente ortogonal a este plano y pasa por el centro C de la esfera.

Dado que para un cuerpo rígido cualquier movimiento que deje un eje invariante es una rotación, esto también demuestra que cualquier composición arbitraria de rotaciones es equivalente a una sola rotación alrededor de un nuevo eje.

Para demostrar la ecuación anterior, es necesario recordar algunos hechos de la teoría de matrices.

Una matriz m × m A tiene m vectores propios ortogonales si y solo si A es normal , es decir, si A ^† A = AA ^† . ^{[ b ]} Este resultado es equivalente a afirmar que las matrices normales pueden transformarse en forma diagonal mediante una transformación de similitud unitaria:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {U} =\mathbf {U} \;\operatorname {diag} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m})\quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {A} \mathbf {U} =\operatorname {diag} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m}),}$

y U es unitaria, es decir,

${\displaystyle \mathbf {U} ^{\dagger }=\mathbf {U} ^{-1}.}$

Los autovalores α ₁ , ..., α _m son raíces de la ecuación característica. Si la matriz A resulta ser unitaria (y tenga en cuenta que las matrices unitarias son normales), entonces

${\displaystyle \left(\mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {A} \mathbf {U} \right)^{\dagger }=\operatorname {diag} \left(\alpha _{1}^{*},\ldots ,\alpha _{m}^{*}\right)=\mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} =\operatorname {diag} \left({\frac {1}{\alpha _{1}}},\ldots ,{\frac {1}{\alpha _{m}}}\right)}$

y de ello se deduce que los valores propios de una matriz unitaria se encuentran en el círculo unitario en el plano complejo:

${\displaystyle \alpha _{k}^{*}={\frac {1}{\alpha _{k}}}\quad \Longleftrightarrow \quad \alpha _{k}^{*}\alpha _{k}=\left|\alpha _{k}\right|^{2}=1,\qquad k=1,\ldots ,m.}$

Además, una matriz ortogonal (unitaria real) tiene valores propios en el círculo unitario del plano complejo. Asimismo, dado que su ecuación característica (un polinomio de orden m en λ ) tiene coeficientes reales, se deduce que sus raíces aparecen en pares complejos conjugados; es decir, si α es una raíz, también lo es α ^* . Hay tres raíces, por lo que al menos una de ellas debe ser puramente real (+1 o −1).

Tras recordar estos hechos generales de la teoría de matrices, volvemos a la matriz de rotación R. De su carácter real y ortogonalidad se deduce que podemos encontrar una U tal que:

${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {U} {\begin{pmatrix}e^{i\phi }&0&0\\0&e^{-i\phi }&0\\0&0&\pm 1\\\end{pmatrix}}}$

Si se puede encontrar una matriz U que dé la forma anterior, y hay solo un componente puramente real que es −1, entonces definimos${\displaystyle \mathbf {R} }$que sea una rotación impropia. Consideremos, entonces, solo el caso de matrices R que sean rotaciones propias (el tercer autovalor es simplemente 1). La tercera columna de la matriz U de 3 × 3 será entonces igual al vector invariante n . Escribiendo u ₁ y u ₂ para las dos primeras columnas de U , esta ecuación da

${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {u} _{1}=e^{i\phi }\,\mathbf {u} _{1}\quad {\hbox{and}}\quad \mathbf {R} \mathbf {u} _{2}=e^{-i\phi }\,\mathbf {u} _{2}.}$

Si u ₁ tiene valor propio 1, entonces φ = 0 y u ₂ también tiene valor propio 1, lo que implica que en ese caso R = I. Sin embargo, en general, como ${\displaystyle (\mathbf {R} -e^{i\phi }\mathbf {I} )\mathbf {u} _{1}=0}$implica que también${\displaystyle (\mathbf {R} -e^{-i\phi }\mathbf {I} )\mathbf {u} _{1}^{*}=0}$se sostiene, así que${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=\mathbf {u} _{1}^{*}}$se puede elegir para${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$. Similarmente,${\displaystyle (\mathbf {R} -\mathbf {I} )\mathbf {u} _{3}=0}$puede resultar en un${\displaystyle \mathbf {u} _{3}}$ con entradas reales únicamente, para una matriz de rotación adecuada.${\displaystyle \mathbf {R} }$. Finalmente, la ecuación matricial se transforma mediante una matriz unitaria,

${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {U} {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}=\mathbf {U} \underbrace {{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}} _{=\;\mathbf {I} }{\begin{pmatrix}e^{i\phi }&0&0\\0&e^{-i\phi }&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

lo cual da

${\displaystyle \mathbf {U'} ^{\dagger }\mathbf {R} \mathbf {U'} ={\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\quad {\text{ with }}\quad \mathbf {U'} =\mathbf {U} {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}$

Las columnas de U ′ son ortonormales ya que es una matriz unitaria con entradas de valor real solamente, debido a su definición anterior, que${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$es el conjugado complejo de ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$y eso${\displaystyle \mathbf {u} _{3}}$es un vector con componentes de valor real. La tercera columna sigue siendo${\displaystyle \mathbf {u} _{3}=}$n , las otras dos columnas de U ′ son perpendiculares a n . Ahora podemos ver cómo nuestra definición de rotación impropia se corresponde con la interpretación geométrica: una rotación impropia es una rotación alrededor de un eje (aquí, el eje correspondiente a la tercera coordenada) y una reflexión sobre un plano perpendicular a ese eje. Si nos restringimos solo a matrices con determinante 1, podemos ver que deben ser rotaciones propias. Este resultado implica que cualquier matriz ortogonal R correspondiente a una rotación propia es equivalente a una rotación de un ángulo φ alrededor de un eje n .

Supongamos que especificamos un eje de rotación mediante un vector unitario [ x , y , z ] , y supongamos que tenemos una rotación infinitesimal de ángulo Δ θ alrededor de ese vector. Expandiendo la matriz de rotación como una suma infinita, y tomando la aproximación de primer orden, la matriz de rotación Δ R se representa como:

${\displaystyle \Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =\mathbf {I} +\mathbf {A} \,\Delta \theta .}$

Una rotación finita de un ángulo θ alrededor de este eje puede verse como una sucesión de pequeñas rotaciones alrededor del mismo eje. Aproximando Δθ como θ / N , donde N es un número grande, una rotación de θ alrededor del eje puede representarse como:

${\displaystyle R=\left(\mathbf {1} +{\frac {\mathbf {A} \theta }{N}}\right)^{N}\approx e^{\mathbf {A} \theta }.}$

Se puede observar que el teorema de Euler establece esencialmente que todas las rotaciones pueden representarse de esta forma. El producto A θ es el "generador" de la rotación en cuestión, siendo el vector ( x , y , z ) asociado a la matriz A . Esto demuestra que la matriz de rotación y el formato eje-ángulo están relacionados por la función exponencial.

Se puede derivar una expresión simple para el generador G. Se parte de un plano arbitrario (en el espacio euclidiano) definido por un par de vectores unitarios perpendiculares a y b . En este plano se puede elegir un vector arbitrario x con vector perpendicular y . Luego se resuelve para y en términos de x y al sustituir en una expresión para una rotación en un plano se obtiene la matriz de rotación R que incluye el generador G = ba ^T − ab ^T.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &=\mathbf {a} \cos \alpha +\mathbf {b} \sin \alpha \\\mathbf {y} &=-\mathbf {a} \sin \alpha +\mathbf {b} \cos \alpha \\[8pt]\cos \alpha &=\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} \\\sin \alpha &=\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} \\[8px]\mathbf {y} &=-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} =\left(\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} \\[8px]\mathbf {x} '&=\mathbf {x} \cos \beta +\mathbf {y} \sin \beta \\&=\left(\mathbf {I} \cos \beta +\left(\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\right)\sin \beta \right)\mathbf {x} \\[8px]\mathbf {R} &=\mathbf {I} \cos \beta +\left(\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\right)\sin \beta \\&=\mathbf {I} \cos \beta +\mathbf {G} \sin \beta \\[8px]\mathbf {G} &=\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\end{aligned}}}$

Para incluir vectores fuera del plano en la rotación, es necesario modificar la expresión anterior para R incluyendo dos operadores de proyección que particionan el espacio. Esta matriz de rotación modificada se puede reescribir como una función exponencial .

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P_{ab}} &=-\mathbf {G} ^{2}\\\mathbf {R} &=\mathbf {I} -\mathbf {P_{ab}} +\left(\mathbf {I} \cos \beta +\mathbf {G} \sin \beta \right)\mathbf {P_{ab}} =e^{\mathbf {G} \beta }\end{aligned}}}$

El análisis suele ser más sencillo en términos de estos generadores que con la matriz de rotación completa. El análisis en términos de los generadores se conoce como el álgebra de Lie del grupo de rotación.

Del teorema de Euler se deduce que la orientación relativa de cualquier par de sistemas de coordenadas puede especificarse mediante un conjunto de tres números independientes. A veces se añade un cuarto número redundante para simplificar las operaciones con álgebra de cuaterniones. Tres de estos números son los cosenos directores que orientan el vector propio. El cuarto es el ángulo alrededor del vector propio que separa los dos conjuntos de coordenadas. Dicho conjunto de cuatro números se denomina cuaternión .

Si bien el cuaternión descrito anteriormente no involucra números complejos , si se utilizan cuaterniones para describir dos rotaciones sucesivas, deben combinarse utilizando el álgebra de cuaterniones no conmutativa derivada por William Rowan Hamilton mediante el uso de números imaginarios.

El cálculo de rotaciones mediante cuaterniones ha sustituido al uso de cosenos directores en aplicaciones aeroespaciales gracias a la reducción de los cálculos necesarios y a su capacidad para minimizar los errores de redondeo . Asimismo, en gráficos por computadora, resulta valiosa la capacidad de realizar interpolación esférica entre cuaterniones con relativa facilidad.