carga crítica de Euler

El siguiente modelo se aplica a columnas simplemente apoyadas en cada extremo (${\displaystyle K=1}$).

En primer lugar, cabe destacar que no existen reacciones en los extremos articulados, por lo que tampoco hay fuerza cortante en ninguna sección transversal de la columna. La ausencia de reacciones se debe a la simetría (las reacciones deben tener la misma dirección) y al equilibrio de momentos (las reacciones deben tener direcciones opuestas).

Utilizando el diagrama de cuerpo libre del lado derecho de la figura 3, y realizando una suma de momentos respecto al punto x : $${\displaystyle \Sigma M=0\Rightarrow M(x)+Pw=0}$$ donde w es la deflexión lateral.

Según la teoría de vigas de Euler-Bernoulli , la deflexión de una viga está relacionada con su momento flector mediante: $${\displaystyle M=-EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}.}$$

entonces: $${\displaystyle EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+Pw=0}$$

Dejar${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}}$, entonces: $${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+\lambda ^{2}w=0}$$

Obtenemos una ecuación diferencial ordinaria clásica homogénea de segundo orden .

La solución general de esta ecuación es:${\displaystyle w(x)=A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x)}$, dónde${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son constantes que se determinarán mediante las condiciones de contorno , que son:

• Extremo izquierdo fijado:${\displaystyle w(0)=0\rightarrow A=0}$
• Extremo derecho fijado:${\displaystyle w(\ell )=0\rightarrow B\sin(\lambda \ell )=0}$

Si${\displaystyle B=0}$, no existe momento flector y obtenemos la solución trivial de${\displaystyle w(x)=0}$.

Sin embargo, de la otra solución${\displaystyle \sin(\lambda \ell )=0}$obtenemos${\displaystyle \lambda _ {n}\ell =n\pi}$, para${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$

Junto con${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}}$Como se definió anteriormente, las distintas cargas críticas son: $${\displaystyle P_{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}EI}{\ell ^{2}}}\;,\quad {\text{ para }}n=0,1,2,\ldots }$$ y dependiendo del valor de${\displaystyle n}$, se producen diferentes modos de pandeo ^{[ 5 ]} como se muestra en la figura 4. La carga y el modo para n=0 es el modo sin pandeo.

En teoría, es posible cualquier modo de pandeo, pero en el caso de una carga aplicada lentamente, es probable que solo se produzca la primera forma modal.

Por lo tanto, la carga crítica de Euler para una columna articulada es: $${\displaystyle P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{\ell ^{2}}}}$$ y la forma obtenida de la columna pandeada en el primer modo es: $${\displaystyle w(x)=B\sin \left({\pi \over \ell }x\right).}$$

La ecuación diferencial del eje de una viga ^{[ 6 ]} es: $${\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+{\frac {P}{EI}}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\frac {q}{EI}}}$$

Para una columna con carga axial únicamente, la carga lateral${\displaystyle q(x)}$desaparece y sustituye${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}}$, obtenemos: $${\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+\lambda ^{2}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}=0}$$

Esta es una ecuación diferencial homogénea de cuarto orden y su solución general es $${\displaystyle w(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)+Cx+D}$$

Las cuatro constantes${\displaystyle A,B,C,D}$están determinadas por las condiciones de contorno (restricciones de extremo) en${\displaystyle w(x)}$, en cada extremo. Hay tres casos:

1. Extremo fijado con pasador:

   ${\displaystyle w=0}$y${\displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}$

2. Extremo fijo:

   ${\displaystyle w=0}$y${\displaystyle {dw \over dx}=0}$

3. Extremo libre:

   ${\displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}$y${\displaystyle V=0\rightarrow {d^{3}w \over dx^{3}}+\lambda ^{2}{dw \over dx}=0}$

Para cada combinación de estas condiciones de contorno, se obtiene un problema de valores propios . Al resolverlos, obtenemos los valores de la carga crítica de Euler para cada uno de los casos presentados en la Figura 2.