Teorema de Euler en geometría

En geometría , el teorema de Euler establece que la distancia d entre el circuncentro y el incentro de un triángulo está dada por ^{[1] [2]} o equivalentemente donde y denotan el circunradio y el inradio respectivamente (los radios del círculo circunscrito y del círculo inscrito respectivamente). El teorema recibe su nombre de Leonhard Euler , quien lo publicó en 1765. ^[3] Sin embargo, el mismo resultado fue publicado anteriormente por William Chapple en 1746. ^[4]$${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$$$${\displaystyle {\frac {1}{Rd}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},}$$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización r}$

Del teorema se deduce la desigualdad de Euler : ^[5] que se cumple con igualdad sólo en el caso equilátero . ^[6]$${\estilo de visualización R\geq 2r,}$$

Una versión más fuerte ^[6] es donde , y son las longitudes de los lados del triángulo. $${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,}$$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización c}$

Si y denotan respectivamente el radio del círculo inscrito opuesto al vértice y la distancia entre su centro y el centro del círculo circunscrito, entonces . ${\displaystyle r_{a}}$$Estilo de visualización d_{a}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle d_{a}^{2}=R(R+2r_{a})}$

La desigualdad de Euler, en la forma que establece que, para todos los triángulos inscritos en un círculo dado, el máximo del radio del círculo inscrito se alcanza para el triángulo equilátero y sólo para él, es válida en geometría absoluta . ^[7]

• Teorema de Fuss para la relación entre las mismas tres variables en cuadriláteros bicéntricos
• Teorema de cierre de Poncelet , que muestra que hay una infinidad de triángulos con los mismos dos círculos (y por lo tanto los mismos R , r y d )
• Conjetura de Egan , generalización a dimensiones superiores
• Lista de desigualdades triangulares

• Weisstein, Eric W. , "Fórmula del triángulo de Euler", MathWorld