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Articulo de referencia

Teorema de Fermat sobre los números poligonales

En la teoría aditiva de números , el teorema de Fermat sobre números poligonales establece que todo entero positivo es suma de, como máximo, n números n -gonales . Es decir, tod...

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En la teoría aditiva de números , el teorema de Fermat sobre números poligonales establece que todo entero positivo es suma de, como máximo, n números n -gonales . Es decir, todo entero positivo puede escribirse como la suma de tres o menos números triangulares , como la suma de cuatro o menos números cuadrados , como la suma de cinco o menos números pentagonales , y así sucesivamente. En otras palabras, los números n -gonales forman una base aditiva de orden n .

Ejemplos

A continuación se muestran, por ejemplo, tres representaciones del número 17:

  • 17 = 10 + 6 + 1 ( números triangulares )
  • 17 = 16 + 1 ( números cuadrados )
  • 17 = 12 + 5 ( números pentagonales ).

Historia

Anotación en el diario de Gauss relacionada con la suma de números triangulares (1796)

El teorema recibe su nombre de Pierre de Fermat , quien lo enunció en 1638 sin demostración, prometiendo escribirlo en una obra aparte que nunca apareció. [ 1 ] Joseph Louis Lagrange demostró el caso cuadrado en 1770, que establece que todo número positivo puede representarse como suma de cuatro cuadrados, por ejemplo, 7 = 4 + 1 + 1 + 1 . [ 1 ] Gauss demostró el caso triangular en 1796, conmemorando la ocasión escribiendo en su diario la línea " ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ ", [ 2 ] y publicó una demostración en su libro Disquisitiones Arithmeticae . Por esta razón, el resultado de Gauss a veces se conoce como el teorema Eureka . [ 3 ] El teorema completo de los números poligonales no se resolvió hasta que Cauchy lo demostró finalmente en 1813. [ 1 ] La demostración de Nathanson (1987) se basa en el siguiente lema debido a Cauchy:

Para enteros positivos impares a y b tales que b 2 < 4 a y 3 a < b 2 + 2 b + 4 podemos encontrar enteros no negativos s , t , u , y v tales que a = s 2 + t 2 + u 2 + v 2 y b = s + t + u + v .

Véase también

Notas

  1. 1 2 3 Heath (1910) .
  2. ↑ Bell, Eric Temple ( 1956), "Gauss, el príncipe de los matemáticos", en Newman, James R. (ed.), El mundo de las matemáticas , vol.  I, Simon & Schuster , págs. 295–339 Reimpresión de Dover, 2000, ISBN 0-486-41150-8.
  3. ↑ Ono, Ken; Robins, Sinai; Wahl, Patrick T. (1995), "Sobre la representación de enteros como sumas de números triangulares", Aequationes Mathematicae , 50 ( 1–2 ): 73–94 , doi : 10.1007/BF01831114 , MR 1336863 , S2CID 122203472  .

Referencias

  • Weisstein, Eric W. "Teorema de los números poligonales de Fermat" . MathWorld .
  • Heath, Sir Thomas Little (1910), Diofanto de Alejandría; un estudio sobre la historia del álgebra griega , Cambridge University Press, pág.  188.
  • Nathanson, Melvyn B. (1987), "Una breve demostración del teorema de los números poligonales de Cauchy", Actas de la Sociedad Matemática Americana , 99 (1): 22– 24, doi : 10.2307/2046263 , JSTOR 2046263 , MR 0866422  .
  • Nathanson, Melvyn B. (1996), Teoría aditiva de números: Las bases clásicas , Berlín: Springer , ISBN 978-0-387-94656-6Contiene demostraciones del teorema de Lagrange y del teorema de los números poligonales.