Topologías de progresiones aritméticas

En topología general y teoría de números , ramas de las matemáticas , se pueden definir varias topologías en el conjunto${\displaystyle \mathbb {Z} }$de enteros o el conjunto${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}$de enteros positivos tomando como base una colección adecuada de progresiones aritméticas , secuencias de la forma${\displaystyle \{b,b+a,b+2a,...\}}$o${\displaystyle \{...,b-2a,ba,b,b+a,b+2a,...\}.}$ Los conjuntos abiertos serán entonces uniones de progresiones aritméticas en la colección. Tres ejemplos son la topología de Furstenberg en${\displaystyle \mathbb {Z} }$y la topología de Golomb y la topología de Kirch en${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}$Las definiciones precisas se ofrecen a continuación.

Hillel Furstenberg ^{[ 1 ]} introdujo la primera topología para proporcionar una prueba topológica de la infinitud del conjunto de los números primos . La segunda topología fue estudiada por Solomon Golomb ^{[ 2 ]} y proporciona un ejemplo de un espacio de Hausdorff infinito numerable que es conexo . La tercera topología, introducida por A. M. Kirch ^{[ 3 ],} es un ejemplo de un espacio de Hausdorff infinito numerable que es conexo y localmente conexo . Estas topologías también poseen interesantes propiedades de separación y homogeneidad .

La noción de una topología de progresión aritmética puede generalizarse a dominios de Dedekind arbitrarios .

Progresiones aritméticas bilaterales en${\displaystyle \mathbb {Z} }$son subconjuntos de la forma

${\displaystyle a\mathbb {Z} +b:=\{an+b:n\in \mathbb {Z} \},}$

dónde${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$y${\displaystyle a>0.}$ La intersección de dos progresiones aritméticas de este tipo es vacía o es otra progresión aritmética de la misma forma:

${\displaystyle (a\mathbb {Z} +b)\cap (c\mathbb {Z} +b)=\operatorname {lcm} (a,c)\mathbb {Z} +b,}$

dónde${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,c)}$es el mínimo común múltiplo de${\displaystyle a}$y${\displaystyle c.}$^{[ 4 ]}

De manera similar, las progresiones aritméticas unilaterales en${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}=\{1,2,...\}}$son subconjuntos de la forma

${\displaystyle a\mathbb {N} +b:=\{an+b:n\in \mathbb {N} \}=\{b,a+b,2a+b,...\},}$

con${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,...\}}$y${\displaystyle a,b>0}$La intersección de dos progresiones aritméticas de este tipo es vacía o bien es otra progresión aritmética de la misma forma:

${\displaystyle (a\mathbb {N} +b)\cap (c\mathbb {N} +d)=\operatorname {lcm} (a,c)\mathbb {N} +q,}$

con${\displaystyle q}$igual al elemento más pequeño de la intersección.

Esto demuestra que toda intersección no vacía de un número finito de progresiones aritméticas es también una progresión aritmética. Entonces se puede definir una topología en${\displaystyle \mathbb {Z} }$o${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}$al elegir una colección${\displaystyle {\mathcal {B}}}$de progresiones aritméticas, declarando todos los elementos de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ser conjuntos abiertos, y tomando la topología generada por ellos. Si cualquier intersección no vacía de dos elementos de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es nuevamente un elemento de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, la colección${\displaystyle {\mathcal {B}}}$será una base para la topología. En general, será una subbase para la topología, y el conjunto de todas las progresiones aritméticas que son intersecciones finitas no vacías de elementos de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$servirá de base para la topología. A continuación se presentan tres casos especiales.

La topología de Furstenberg , ^{[ 1 ]} o topología de enteros espaciados uniformemente , ^{[ 5 ]} en el conjunto${\displaystyle \mathbb {Z} }$de enteros se obtiene tomando como base la colección de todos${\displaystyle a\mathbb {Z} +b}$con${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$y${\displaystyle a>0.}$

La topología de Golomb , ^{[ 2 ]} o topología de enteros primos relativos , ^{[ 6 ]} en el conjunto${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}$de enteros positivos se obtiene tomando como base la colección de todos${\displaystyle a\mathbb {N} +b}$con${\displaystyle a,b>0}$y${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$relativamente primos . ^{[ 2 ]} Equivalentemente, ^{[ 7 ]} la subcolección de tales conjuntos con la condición adicional${\displaystyle b<a}$También constituye una base para la topología. ^{[ 6 ]} El espacio topológico correspondiente se denomina espacio de Golomb . ^{[ 8 ]}

La topología de Kirch , ^{[ 3 ]} o topología de enteros primos , ^{[ 9 ]} en el conjunto${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}$de enteros positivos se obtiene tomando como subbase la colección de todos${\displaystyle p\mathbb {N} +b}$con${\displaystyle b>0}$y${\displaystyle p}$primo no divisor${\displaystyle b.}$^{[ 10 ]} De manera equivalente, ^{[ 7 ]} se puede tomar como subbase la colección de todos${\displaystyle p\mathbb {N} +b}$con${\displaystyle p}$principal y${\displaystyle 0<b<p}$. ^{[ 3 ] [ 9 ]} Una base para la topología consiste en todos${\displaystyle a\mathbb {N} +b}$con relativamente primera${\displaystyle a,b>0}$y${\displaystyle a}$libre de cuadrados (o lo mismo con la condición adicional)${\displaystyle b<a}$). El espacio topológico correspondiente se llama espacio de Kirch . ^{[ 10 ]}

Las tres topologías están relacionadas en el sentido de que todo conjunto abierto en la topología de Kirch es abierto en la topología de Golomb, y todo conjunto abierto en la topología de Golomb es abierto en la topología de Furstenberg (restringida al subespacio${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}$). En el set${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}$La topología de Kirch es más gruesa que la topología de Golomb, que a su vez es más gruesa que la topología de Furstenberg.

La topología de Golomb y la topología de Kirch son de Hausdorff , pero no regulares . ^{[ 6 ] [ 9 ]}

La topología de Furstenberg es de Hausdorff y regular. ^{[ 5 ]} Es metrizable , pero no completamente metrizable . ^{[ 5 ] [ 11 ]} De hecho, es homeomorfa a los números racionales.${\displaystyle \mathbb {Q} }$con la topología de subespacio heredada de la recta real . ^{[ 12 ]} Broughan ^{[ 12 ]} ha demostrado que la topología de Furstenberg está estrechamente relacionada con la completitud p -ádica de los números racionales.

En cuanto a las propiedades de conectividad, la topología de Furstenberg es totalmente desconectada . ^{[ 5 ]} La topología de Golomb es conexa , ^{[ 6 ] [ 2 ] [ 13 ]} pero no localmente conexa . ^{[ 6 ] [ 13 ] [ 14 ]} La topología de Kirch es conexa y localmente conexa. ^{[ 9 ] [ 3 ] [ 13 ]}

Los enteros con la topología de Furstenberg forman un espacio homogéneo , porque es un anillo topológico; en cierto sentido, la única topología en${\displaystyle \mathbb {Z} }$para lo cual es un anillo. ^{[ 15 ]} Por el contrario, el espacio de Golomb y el espacio de Kirch son topológicamente rígidos ; el único autohomeomorfismo es el trivial. ^{[ 8 ] [ 10 ]}

Tanto la topología de Furstenberg como la de Golomb proporcionan una prueba de que existen infinitos números primos . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Un esbozo de la prueba es el siguiente:

1. Fijemos un número primo p y observemos que los enteros (positivos, en el caso del espacio de Golomb) son una unión de un número finito de clases de residuos módulo p . Cada clase de residuo es una progresión aritmética y, por lo tanto, clopen .
2. Consideremos los múltiplos de cada primo. Estos múltiplos son una clase residual (por lo tanto, cerrada), y la unión de estos conjuntos son todos los enteros (Golomb: positivos) excepto las unidades ±1 .
3. Si hay un número finito de números primos, esa unión es un conjunto cerrado, y por lo tanto su complemento ( {±1 }) es abierto.
4. Pero todo conjunto abierto no vacío es infinito, por lo que {±1 } no es abierto.

La topología de Furstenberg es un caso especial de la topología profinita en un grupo. En detalle, es la topología inducida por la inclusión${\displaystyle \mathbb {Z} \subset {\hat {\mathbb {Z} }}}$, dónde${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$es el anillo de enteros profinitos con su topología profinita.

La noción de progresión aritmética tiene sentido en contextos arbitrarios.${\displaystyle \mathbb {Z} }$- módulos , pero la construcción de una topología sobre ellos se basa en el cierre bajo intersección. En cambio, la generalización correcta construye una topología a partir de ideales de un dominio de Dedekind . ^{[ 16 ]} Este procedimiento produce un gran número de conjuntos conexos de Hausdorff, infinitos numerables, pero si diferentes dominios de Dedekind pueden producir espacios topológicos homeomorfos es un tema de investigación actual. ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

• Furstenberg, Harry (1955), "Sobre la infinitud de los números primos", American Mathematical Monthly , 62 (5), Mathematical Association of America: 353, doi : 10.2307/2307043 , JSTOR 2307043 , MR 0068566  .
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de la edición de 1978  ). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446 .