Secuencia exacta

Para comprender la definición, es útil considerar casos relativamente sencillos donde la secuencia es de homomorfismos de grupos, es finita y comienza o termina con el grupo trivial . Tradicionalmente, este, junto con el único elemento identidad, se denota con 0 (notación aditiva, generalmente cuando los grupos son abelianos) o con 1 (notación multiplicativa).

• Consideremos la secuencia${\displaystyle 0\to A\to B}$. La imagen del mapa más a la izquierda es 0. Por lo tanto, la secuencia es exacta si y solo si el mapa más a la derecha (desde${\displaystyle A}$a${\displaystyle B}$) tiene kernel${\displaystyle \{0\}}$; es decir, si y solo si esa aplicación es un monomorfismo (inyectivo, o biyectivo).
• Consideremos la secuencia dual${\displaystyle B\to C\to 0}$. El núcleo del mapa más a la derecha es${\displaystyle C}$Por lo tanto, la secuencia es exacta si y solo si la imagen del mapa más a la izquierda (de${\displaystyle B}$a${\displaystyle C}$) es todo de${\displaystyle C}$; es decir, si y solo si ese mapa es un epimorfismo (sobreyectivo o sobreyectivo).
• Por lo tanto, la secuencia${\displaystyle 0\to X\to Y\to 0}$es exacto si y solo si el mapa de${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y}$es a la vez un monomorfismo y un epimorfismo (es decir, un bimorfismo ), y por lo tanto es un isomorfismo de${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y}$(la equivalencia de bimorfismo e isomorfismo se cumple en${\displaystyle \mathbf {Grp} }$y, de forma más general, en cualquier categoría exacta ).

Las secuencias exactas cortas son secuencias exactas de la forma $${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0.}$$ Como se estableció anteriormente, para cualquier secuencia exacta corta de este tipo,${\displaystyle f}$es un monomorfismo y${\displaystyle g}$es un epimorfismo. Además, la imagen de${\displaystyle f}$es igual al núcleo de${\displaystyle g}$Es útil pensar en${\displaystyle A}$como un subobjeto de${\displaystyle B}$con${\displaystyle f}$incrustación${\displaystyle A}$en${\displaystyle B}$y de${\displaystyle C}$como el objeto factor (o cociente ) correspondiente ,${\displaystyle B/A}$, con${\displaystyle g}$induciendo un isomorfismo $${\displaystyle C\cong B/\operatorname {im} (f)=B/\operatorname {ker} (g)}$$

La secuencia corta exacta $${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0\,}$$ Se denomina división si existe un homomorfismo.${\displaystyle h:C\to B}$de tal manera que la composición${\displaystyle g\circ h}$es el mapa de identidad en${\displaystyle C}$. De ello se deduce que si estos son grupos abelianos ,${\displaystyle B}$es isomorfo a la suma directa de${\displaystyle A}$y${\displaystyle C}$: $${\displaystyle B\cong A\oplus C.}$$

Una sucesión exacta general a veces se denomina sucesión exacta larga , para distinguirla del caso especial de una sucesión exacta corta. ^{[ 1 ]}

Una secuencia exacta larga es equivalente a una familia de secuencias exactas cortas en el siguiente sentido: Dada una secuencia larga

${\displaystyle A_{0}\;\xrightarrow {\ f_{1}\ } \;A_{1}\;\xrightarrow {\ f_{2}\ } \;A_{2}\;\xrightarrow {\ f_{3}\ } \;\cdots \;\xrightarrow {\ f_{n}\ } \;A_{n},}$(1)

con n ≥ 2, podemos dividirlo en secuencias cortas

${\displaystyle {\begin{aligned}0\rightarrow K_{1}\rightarrow {}&A_{1}\rightarrow K_{2}\rightarrow 0,\\0\rightarrow K_{2}\rightarrow {}&A_{2}\rightarrow K_{3}\rightarrow 0,\\&\ \,\vdots \\0\rightarrow K_{n-1}\rightarrow {}&A_{n-1}\rightarrow K_{n}\rightarrow 0,\\\end{aligned}}}$(2)

dónde${\displaystyle K_{i}=\operatorname {im} (f_{i})}$por cada${\displaystyle i}$. Por construcción, las secuencias (2) son exactas en el${\displaystyle K_{i}}$(independientemente de la exactitud de (1) ). Además, (1) es una secuencia exacta larga si y solo si (2) son todas secuencias exactas cortas.

Consulte el lema de tejido para obtener detalles sobre cómo reconstruir la secuencia exacta larga a partir de las secuencias exactas cortas.

Consideremos la siguiente secuencia de grupos abelianos: $${\displaystyle \mathbb {Z} \mathrel {\overset {2\times }{\,\hookrightarrow }} \mathbb {Z} \twoheadrightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$$

El primer homomorfismo asigna cada elemento${\displaystyle i}$en el conjunto de los enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$al elemento${\displaystyle 2i}$en${\displaystyle \mathbb {Z} }$. El segundo homomorfismo asigna cada elemento${\displaystyle i}$en${\displaystyle \mathbb {Z} }$a un elemento${\displaystyle j}$en el grupo cociente; es decir,${\displaystyle j=i{\bmod {2}}}$Aquí está la flecha de gancho${\displaystyle \hookrightarrow }$indica que el mapa${\displaystyle 2\times }$de${\displaystyle \mathbb {Z} }$a${\displaystyle \mathbb {Z} }$es un monomorfismo y la flecha de dos cabezas${\displaystyle \twoheadrightarrow }$indica un epimorfismo (el mapa${\displaystyle {\bmod {2}}}$). Esta es una secuencia exacta porque la imagen${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$del monomorfismo es el núcleo del epimorfismo. Esencialmente "la misma" secuencia también se puede escribir como

$${\displaystyle 2\mathbb {Z} \mathrel {\,\hookrightarrow } \mathbb {Z} \twoheadrightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$$

En este caso el monomorfismo es ${\displaystyle 2n\mapsto 2n}$y aunque parece una función identidad, no es sobreyectiva (es decir, no es un epimorfismo) porque los números impares no pertenecen a${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$La imagen de${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$Sin embargo, a través de este monomorfismo se trata exactamente del mismo subconjunto de${\displaystyle \mathbb {Z} }$como la imagen de${\displaystyle \mathbb {Z} }$a través de${\displaystyle n\mapsto 2n}$utilizado en la secuencia anterior. Esta última secuencia difiere en la naturaleza concreta de su primer objeto de la anterior, ya que${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$no es el mismo conjunto que${\displaystyle \mathbb {Z} }$aunque ambos son isomorfos como grupos.

La primera secuencia también puede escribirse sin utilizar símbolos especiales para monomorfismo y epimorfismo: $${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \mathrel {\overset {2\times }{\longrightarrow }} \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to 0}$$

Aquí 0 denota el grupo trivial, el mapa de${\displaystyle \mathbb {Z} }$a${\displaystyle \mathbb {Z} }$es la multiplicación por 2, y el mapa de${\displaystyle \mathbb {Z} }$al grupo cociente${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$se obtiene reduciendo los enteros módulo 2. Esta es, en efecto, una secuencia exacta:

• la imagen del mapa${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} }$es${\displaystyle \{0\}}$y el núcleo de la multiplicación por 2 también es${\displaystyle \{0\}}$, por lo que la secuencia es exacta en el primer${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• La imagen de la multiplicación por 2 es${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$y el núcleo de reducción módulo 2 también es${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$, por lo que la secuencia es exacta en el segundo${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• La imagen de reducción módulo 2 es${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$y el núcleo del mapa cero también lo es${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, por lo que la secuencia es exacta en la posición${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.

La primera y la tercera secuencias son un caso un tanto especial debido a la naturaleza infinita de${\displaystyle \mathbb {Z} }$No es posible que un grupo finito sea mapeado por inclusión (es decir, por un monomorfismo) como un subgrupo propio de sí mismo. En cambio, la secuencia que surge del primer teorema de isomorfismo es

$${\displaystyle 1\to N\to G\to G/N\to 1}$$ (aquí se denota el grupo trivial${\displaystyle 1,}$ya que se supone que estos grupos no son abelianos ).

Como ejemplo más concreto de una sucesión exacta en grupos finitos:

${\displaystyle 1\to C_{n}\to D_{2n}\to C_{2}\to 1}$

dónde${\displaystyle C_{n}}$es el grupo cíclico de orden n y${\displaystyle D_{2n}}$es el grupo diedral de orden 2 n , que es un grupo no abeliano.

Dejar${\displaystyle I}$y${\displaystyle J}$ser dos ideales de un anillo${\displaystyle R}$. Entonces $${\displaystyle 0\to I\cap J\to I\oplus J\to I+J\to 0}$$ es una secuencia exacta de${\displaystyle R}$-módulos, donde el homomorfismo de módulos${\displaystyle I\cap J\to I\oplus J}$mapea cada elemento${\displaystyle x}$de${\displaystyle I\cap J}$al elemento${\displaystyle (x,x)}$de la suma directa${\displaystyle I\oplus J}$y el homomorfismo${\displaystyle I\oplus J\to I+J}$asigna cada elemento${\displaystyle (x,y)}$de​${\displaystyle I\oplus J}$a​${\displaystyle x-y}$.​

Estos homomorfismos son restricciones de homomorfismos definidos de manera similar que forman la secuencia exacta corta.

$${\displaystyle 0\to R\to R\oplus R\to R\to 0}$$

Al pasar a los módulos cociente se obtiene otra secuencia exacta.

$${\displaystyle 0\to R/(I\cap J)\to R/I\oplus R/J\to R/(I+J)\to 0}$$

La importancia de las secuencias exactas cortas se subraya por el hecho de que cada secuencia exacta resulta de "entrelazar" varias secuencias exactas cortas superpuestas. Consideremos, por ejemplo, la secuencia exacta.

$${\displaystyle A_{1}\to A_{2}\to A_{3}\to A_{4}\to A_{5}\to A_{6}}$$

lo cual implica que existen objetos C _k en la categoría tales que

$${\displaystyle C_{k}\cong \ker(A_{k}\to A_{k+1})\cong \operatorname {im} (A_{k-1}\to A_{k})}$$.

Supongamos además que el conúcleo de cada morfismo existe y es isomorfo a la imagen del siguiente morfismo en la secuencia:

$${\displaystyle C_{k}\cong \operatorname {coker} (A_{k-2}\to A_{k-1})}$$

(Esto es cierto para varias categorías interesantes, incluyendo cualquier categoría abeliana como los grupos abelianos; pero no es cierto para todas las categorías que permiten secuencias exactas, y en particular no es cierto para la categoría de grupos , en la que${\displaystyle \operatorname {coker} (f):G\to H}$no lo es${\displaystyle H/\operatorname {im} (f)}$pero${\displaystyle H/{\left\langle \operatorname {im} f\right\rangle }^{H}}$, el cociente de${\displaystyle H}$por el cierre conjugado de${\displaystyle \operatorname {im} (f)}$.) Entonces obtenemos un diagrama conmutativo en el que todas las diagonales son secuencias exactas cortas:

La única parte de este diagrama que depende de la condición del conúcleo es el objeto${\textstyle C_{7}}$y el último par de morfismos${\textstyle A_{6}\to C_{7}\to 0}$. Si existe algún objeto${\displaystyle A_{k+1}}$y morfismo${\displaystyle A_{k}\to A_{k+1}}$de tal manera que${\displaystyle A_{k-1}\to A_{k}\to A_{k+1}}$es exacto, entonces la exactitud de${\displaystyle 0\to C_{k}\to A_{k}\to C_{k+1}\to 0}$está garantizado. Tomando nuevamente el ejemplo de la categoría de grupos, el hecho de que${\displaystyle \operatorname {im} (f)}$es el núcleo de algún homomorfismo en${\displaystyle H}$implica que es un subgrupo normal , lo que coincide con su clausura conjugada; por lo tanto${\displaystyle \operatorname {coker} (f)}$es isomorfo a la imagen${\displaystyle H/\operatorname {im} (f)}$del siguiente morfismo.

Por el contrario, dada cualquier lista de secuencias exactas cortas superpuestas, sus términos intermedios forman una secuencia exacta de la misma manera.

El término "exacto" tiene su origen en las formas diferenciales exactas ^{[ 2 ]} en el contexto del complejo de De Rham : ^{[ 3 ]}$${\displaystyle 0\ \to \ \Omega ^{0}(X)\ {\stackrel {d^{0}}{\to }}\ \Omega ^{1}(X)\ {\stackrel {d^{1}}{\to }}\ \Omega ^{2}(X)\ {\stackrel {d^{2}}{\to }}\ \Omega ^{3}(X)\ {\stackrel {d^{3}}{\to }}\ \cdots \ {\stackrel {d^{n-1}}{\to }}\ \Omega ^{n}(X)\ \to \ 0}$$ Cuando${\displaystyle n=3}$Esta secuencia se puede escribir como: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle 0\ \to \ \Omega ^{0}(X)\ {\stackrel {\text{grad}}{\to }}\ \Omega ^{1}(X)\ {\stackrel {\text{curl}}{\to }}\ \Omega ^{2}(X)\ {\stackrel {\text{div}}{\to }}\ \Omega ^{3}(X)\ \to \ 0}$$ Dónde${\displaystyle {\text{grad}},{\text{curl}},{\text{div}}}$representan el gradiente , el rotacional y la divergencia . La secuencia luego produce las identidades${\displaystyle {\text{curl}}\cdot {\text{grad}}=0}$y${\displaystyle {\text{div}}\cdot {\text{curl}}=0}$del cálculo avanzado . ^{[ 3 ]}

Una forma diferencial${\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(X)}$está cerrado cuando${\displaystyle \omega \in {\text{im }}d^{p-1}}$, es decir${\displaystyle \omega =d^{p-1}\omega '}$y se considera exacto cuando${\displaystyle \omega \in \ker d^{p}}$, eso es,${\displaystyle d^{p}\omega =0}$El complejo de De Rham es una secuencia exacta de módulos si y solo si cada forma cerrada es exacta, lo que explica por qué la palabra exacto es un adjetivo de "secuencia exacta". ^{[ 3 ]}